2018-2019学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷

广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小題3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2018秋•白云区期末）抛物线y＝﹣x2开口方向是（）A．向上 B．向下 C．向左 D．向右2．（3分）（2018秋•白云区期末）下列旋转中，旋转中心为点A的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2018秋•白云区期末）二次函数y＝3x2+2x的图象的对称轴为（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D．4．（3分）（2019•沈河区一模）下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一次骰子，向上一面的点数是6 B．任意画个三角形，其内角和为180° C．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 D．一元二次方程一定有两个实数根5．（3分）（2018秋•白云区期末）一元二次方程ax2+bx+c＝0，若有两根1和﹣1，那么a+b+c＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．（3分）（黄陂区模拟）在抛物线y＝x2﹣4x﹣4上的一个点是（）A．（4，4） B．（3，﹣1） C．（﹣2，﹣8） D．（）7．（3分）（2018秋•白云区期末）把抛物线y（）得到抛物线y1．A．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向石平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度8．（3分）（2018秋•白云区期末）AB、CD为⊙O的两条不重合的直径，则四边形ACBD一定是（）A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形9．（3分）（2018秋•白云区期末）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25 B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100 C．2t2﹣7t﹣4＝0化为 D．3x2﹣4x﹣2＝0化为10．（3分）（2018秋•白云区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y的图象大致是（）A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2018秋•白云区期末）反比例函数y的图象在第象限．12．（3分）（2018秋•白云区期末）⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为12cm，则点P和⊙O的位置关系是．13．（3分）（2018秋•白云区期末）当m满足条件时，关于x的方程（m2﹣4）x2+mx+3＝0是一元二次方程．14．（3分）（2018秋•白云区期末）已知函数y＝2（x﹣3）2+1，当（填写x需满足的条件）时，y随x的增大而增大．15．（3分）（乌鲁木齐）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为．16．（3分）（2010•塘沽区二模）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：射击次数20401002004001000射中9环以上次数153378158321801根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是．三、解答题（本大题共9小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）（2018秋•白云区期末）解下列方程：x2+x（3x﹣4）＝018．（12分）（2019春•港南区期末）画出△AOB关于点O对称的图形．19．（10分）（2018秋•白云区期末）请你用树状图分析以下问题：某校亲子运动会中，小美一家三口参加“三人四足”比赛，需要小美、爸爸和妈妈排成一横排，求小美排在妈妈右侧身旁的概率．20．（9分）（泉州）如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y的图象经过点A．（1）求k的值；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？21．（10分）（2018秋•白云区期末）⊙O的直径为10cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，求AB和CD之间的距离．22．（12分）（北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．23．（12分）（2018秋•白云区期末）如图，有一块矩形铁皮（厚度不计），长10分米，宽8分米，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．（1）若无盖方盒的底面积为48平方分米，那么铁皮各角应切去边长是多少分米的正方形？（2）若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的3倍，并将无盖方盒内部进行防锈处理，侧面每平方分米的防锈处理费用为0.5元，底面每平方分米的防锈处理费用为2元，问铁皮各角切去边长是多少分米的正方形时，总费用最低？最低费用为多少元？24．（14分）（2018秋•白云区期末）已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．（1）求证：∠B＝∠ACD，DEBC；（2）已知如图2，BG是△BDE的中线，延长ED至点F，使ED＝FD，求证：BF＝2BG．25．（14分）（2018秋•白云区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），二次函数ybx﹣2的图象经过C点．（1）求二次函数的解析式；（2）平移该二次函数图象的对称轴所在直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出此时直线l与x轴的交点坐标；（3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°，得到△AB′C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB′C是以B′C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小題3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2018秋•白云区期末）抛物线y＝﹣x2开口方向是（）A．向上 B．向下 C．向左 D．向右【考点】二次函数的性质．【分析】根据当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下即可判定；解：∵a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键，属于中考基础题．2．（3分）（2018秋•白云区期末）下列旋转中，旋转中心为点A的是（）A． B． C． D．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质可得解．解：A、旋转中心为点A，符合题意；B、旋转中心为点B，不符合题意；C、旋转中心为C，不符合题意；D、旋转中心为O，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．3．（3分）（2018秋•白云区期末）二次函数y＝3x2+2x的图象的对称轴为（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】直接利用公式法得出二次函数的对称轴．解：y＝3x2+2x的对称轴为：直线x．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆对称轴公式是解题关键．4．（3分）（2019•沈河区一模）下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一次骰子，向上一面的点数是6 B．任意画个三角形，其内角和为180° C．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 D．一元二次方程一定有两个实数根【考点】根的判别式；三角形内角和定理；随机事件．【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；B．任意画个三角形，其内角和为180°，属于必然事件；C．篮球队员在罚球线上投篮一次未投中，属于随机事件；D．一元二次方程一定有两个实数根，属于随机事件；故选：B．【点评】本题主要考查了随机事件，解题时注意：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．5．（3分）（2018秋•白云区期末）一元二次方程ax2+bx+c＝0，若有两根1和﹣1，那么a+b+c＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】根与系数的关系．【分析】由一元二次方程解的意义把方程的根x＝1代入方程，得到a+b+c＝0．解：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得：a+b+c＝0；故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，属于基础题型，比较简单．6．（3分）（黄陂区模拟）在抛物线y＝x2﹣4x﹣4上的一个点是（）A．（4，4） B．（3，﹣1） C．（﹣2，﹣8） D．（）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐一检验．解：A、x＝4时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣4≠4，点（4，4）不在抛物线上；B、x＝3时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣7≠﹣1，点（3，﹣1）不在抛物线上；C、x＝﹣2时，y＝x2﹣4x﹣4＝8≠﹣8，点（﹣2，﹣8）不在抛物线上；D、x时，y＝x2﹣4x﹣4，点（）在抛物线上．故选：D．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系．7．（3分）（2018秋•白云区期末）把抛物线y（）得到抛物线y1．A．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向石平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定抛物线y的顶点坐标为（0，0），抛物线y1的顶点坐标为（﹣1，﹣1），然后利用（0，0）平移得到点（﹣1，﹣1）的过程得到抛物线的平移过程．解：抛物线y的顶点坐标为（0，0），抛物线y1的顶点坐标为（﹣1，﹣1），因为点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到点（﹣1，﹣1），所以把抛物线y向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y1．故选：B．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8．（3分）（2018秋•白云区期末）AB、CD为⊙O的两条不重合的直径，则四边形ACBD一定是（）A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【考点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；等腰梯形的判定；圆周角定理．【分析】根据圆的直径相等，且圆心为直径的中点，得到圆心到A、B、C及D四点的距离相等，根据对角线互相平分且对角线相等，得到四边形ACBD为矩形．解：连接AC、BC、BD、AD，∵AB、CD为圆O的直径，∴OA＝OB，OC＝OD，∴四边形ACBD为平行四边形，∵AB＝CD，∴四边形ACBD是矩形．故选：B．【点评】此题考查圆周角定理和矩形的判别方法，考查了数形结合的数学思想，是一道基础题．9．（3分）（2018秋•白云区期末）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25 B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100 C．2t2﹣7t﹣4＝0化为 D．3x2﹣4x﹣2＝0化为【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】利用配方法对各选项进行判断．解：A、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，所以A选项的配方错误；B、x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，所以B选项的配方正确；C、2t2﹣7t﹣4＝0先化为t2t＝2，再化为，所以C选项的配方正确；D、3x2﹣4x﹣2＝0先化为x2x，再化为（x）2，所以D选项的配方正确．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．10．（3分）（2018秋•白云区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y的图象大致是（）A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）【考点】正比例函数的图象；反比例函数的图象．【分析】分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．解：当k＞0时，函数y＝kx的图象位于一、三象限，y的图象位于一、三象限，（1）符合；当k＜0时，函数y＝kx的图象位于二、四象限，y的图象位于二、四象限，（4）符合；故选：B．【点评】考查了反比例函数和正比例函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2018秋•白云区期末）反比例函数y的图象在第第一、三象限．【考点】反比例函数的性质．【分析】直接根据反比例函数的性质求解．解：因为k＝5＞0，所以反比例函数图象分布在第一、三象限．故答案为第一、三．【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．12．（3分）（2018秋•白云区期末）⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为12cm，则点P和⊙O的位置关系是点P在⊙O外．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．解：∵⊙O的半径r＝10cm，点P到圆心O的距离OP＝12cm，∴OP＞r，∴点P在⊙O外，故点P在⊙O外．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．13．（3分）（2018秋•白云区期末）当m满足条件m≠±2时，关于x的方程（m2﹣4）x2+mx+3＝0是一元二次方程．【考点】一元二次方程的定义．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出所求．解：∵关于x的方程（m2﹣4）x2+mx+3＝0是一元二次方程，∴m2﹣4≠0，即m≠±2，故m≠±2【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．14．（3分）（2018秋•白云区期末）已知函数y＝2（x﹣3）2+1，当x≥3（或x＞3）（填写x需满足的条件）时，y随x的增大而增大．【考点】二次函数的性质．【分析】直接利用二次函数的性质分析得出答案．解：∵函数y＝2（x﹣3）2+1，2＞0，∴图象开口向上，对称轴为直线x＝3，∴x≥3（或x＞3）时，y随x的增大而增大．故x≥3（或x＞3）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键．15．（3分）（乌鲁木齐）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到红球的情况数，即可确定出所求的概率．解：列表如下：红绿红（红，红）（绿，红）绿（红，绿）（绿，绿）所有等可能的情况有4种，所以第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率，故．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．（3分）（2010•塘沽区二模）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：射击次数20401002004001000射中9环以上次数153378158321801根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是0.8．【考点】利用频率估计概率．【分析】首先根据表格分别求出每一次实验的频率，然后根据频率即可估计概率．解：15÷20＝0.75，33÷40＝0.825，78÷100＝0.78，158÷200＝0.79，321÷400＝0.8025，801÷1000＝0.801，∴估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是0.80．故0.80．【点评】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．三、解答题（本大题共9小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）（2018秋•白云区期末）解下列方程：x2+x（3x﹣4）＝0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】先将方程整理成一般式，再利用因式分解法求解可得．解：∵x2+x（3x﹣4）＝0，∴x2+3x2﹣4x＝0，4x2﹣4x＝0，∴4x（x﹣1）＝0，则4x＝0或x﹣1＝0，解得x1＝0，x2＝1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．（12分）（2019春•港南区期末）画出△AOB关于点O对称的图形．【考点】作图﹣旋转变换．【分析】利用中心对称图形的性质，得出对应点位置，进而得出答案．解：如图所示：△A′B′O即为所求．【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．19．（10分）（2018秋•白云区期末）请你用树状图分析以下问题：某校亲子运动会中，小美一家三口参加“三人四足”比赛，需要小美、爸爸和妈妈排成一横排，求小美排在妈妈右侧身旁的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】记小美、爸爸和妈妈分别为A，B，C，列出三人排成一排所有等可能结果，并从中找到小美排在妈妈右侧身旁的结果数，再根据概率公式求解可得．解：记小美、爸爸和妈妈分别为A，B，C，则三人排成一排有如下6种等可能结果：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，其中小美排在妈妈右侧身旁的有ACB和BAC两种情况，所以小美排在妈妈右侧身旁的概率为．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（9分）（泉州）如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y的图象经过点A．（1）求k的值；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．【分析】（1）根据函数y的图象过点A（，1），直接求出k的值；（2）过点D作DE⊥x轴于点E，根据旋转的性质求出OD＝OB＝2，∠BOD＝60°，利用解三角形求出OE和OD的长，进而得到点D的坐标，即可作出判断点D是否在该反比例函数的图象上．解：（1）∵函数y的图象过点A（，1），∴k＝xy1；（2）∵B（2，0），∴OB＝2，∵△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD，∴OD＝OB＝2，∠BOD＝60°，如图，过点D作DE⊥x轴于点E，DE＝OD•sin60°＝2，OE＝OD•cos60°＝21，∴D（1，），由（1）可知y，∴当x＝1时，y，∴D（1，）在反比例函数y的图象上．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及图形的旋转的知识，解答本题的关键掌握旋后的两个图形对应边相等，对应角相等，此题难度不大．21．（10分）（2018秋•白云区期末）⊙O的直径为10cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，求AB和CD之间的距离．【考点】平行线之间的距离；勾股定理；垂径定理．【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥AB，交AB于点F，交CD于点E，连接OA，OC，由AB∥CD，得到OE⊥CD，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由OE﹣OF即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由OE+OF求出EF的长即可．解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴E、F分别为CD、AB的中点，∴CE＝DECD＝3cm，AF＝BFAB＝4cm，在Rt△AOF中，OA＝5cm，AF＝4cm，根据勾股定理得：OF＝3cm，在Rt△COE中，OC＝5cm，CE＝3cm，根据勾股定理得：OE═4cm，则EF＝OE﹣OF＝4cm﹣3cm＝1cm；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF＝4cm+3cm＝7cm，综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．22．（12分）（北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．【考点】根的判别式．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，△＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．23．（12分）（2018秋•白云区期末）如图，有一块矩形铁皮（厚度不计），长10分米，宽8分米，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．（1）若无盖方盒的底面积为48平方分米，那么铁皮各角应切去边长是多少分米的正方形？（2）若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的3倍，并将无盖方盒内部进行防锈处理，侧面每平方分米的防锈处理费用为0.5元，底面每平方分米的防锈处理费用为2元，问铁皮各角切去边长是多少分米的正方形时，总费用最低？最低费用为多少元？【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设铁皮各角应切去边长是x分米的正方形，则无盖方盒的底面是长为（10﹣2x）分米、宽为（8﹣2x）分米的矩形，根据矩形的面积公式结合无盖方盒的底面积为48平方分米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）设铁皮各角切去边长是m分米的正方形，防锈处理所需总费用为w元，由无盖方盒的底面长不大于底面宽的3倍可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由总费用＝0.5×侧面积+2×底面积可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．解：（1）设铁皮各角应切去边长是x分米的正方形，则无盖方盒的底面是长为（10﹣2x）分米、宽为（8﹣2x）分米的矩形，由题意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝48，整理得：x2﹣9x+8＝0，解得：x1＝1，x2＝8．∵8﹣2x＞0，∴x＜4，∴x＝1．答：铁皮各角应切去边长是1分米的正方形．（2）设铁皮各角切去边长是m分米的正方形，防锈处理所需总费用为w元，∵制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的3倍，∴10﹣2m≤3（8﹣2m），解得：m．根据题意得：w＝0.5×2×[m（10﹣2m）+m（8﹣2m）]+2（10﹣2m）（8﹣2m）＝4m2﹣54m+160，∴a＝4，b＝﹣54，∴当0＜m时，w的值随m值的增大而减小，∴当m时，w取得最小值，最小值为20．答：当铁皮各角切去边长是分米的正方形时，总费用最低，最低费用为20元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．24．（14分）（2018秋•白云区期末）已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．（1）求证：∠B＝∠ACD，DEBC；（2）已知如图2，BG是△BDE的中线，延长ED至点F，使ED＝FD，求证：BF＝2BG．【考点】圆周角定理；切线的性质．【分析】（1）根据同角的余角相等可得：∠B＝∠ACD，连接OD，再证明E是BC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得结论；（2）由（1）知：BE＝DEEF，证明△BEG∽△FEB，得，可得结论．证明：（1）∵∠ACB＝90，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠B+∠BDC＝90°，∴∠B＝∠ACD，连接OD，如图1，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，∵∠CDE+∠BDE＝90°，∵OC＝OD，∴∠ACD＝∠ODC，∴∠ODC＝∠BDE＝∠B，∴DE＝BE，同理可得DE＝CE，∴CE＝BE，Rt△CDB中，DEBC；（2）如图2，由（1）知：BE＝DE，∵ED＝FD，∴BEEF，∵BG是△BDE