g-概率统计交大48学时feb.2点估计评价

若

E(ˆ)

则称ˆ是

的无偏估计量.无偏性定义定义的合理性不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.21

是样本,证明:

不论

X

服从什么分布(但期望存在),是k的无偏估计量.ninkikXni1i1E(

X

k

)1n)

1E(

A

)

E(例1设总体X

的k

阶矩k

E(X

)存在,kkkiE(

X

)

i

1,2,,n

因而由于kkn

1

n

nikX

kni1A

1则证n

iXA

i1221n是总体特别地样本均值X

是总体期望E(X

)的无偏估计量样本二阶原点矩的无偏二阶原点矩

2

E(

X

)2估计量例2

设总体

X

的期望与方差存在,

X

的样本为

(

n

)

(n

>

1).nin(1)

S

2(X

X

)2

不是D(X)的无偏估量;1n(2)n

iS

i122

X

)是D(X

)的无偏估计量.(

Xn

1i11证2X1n1nn2in

2i

X(

X

X

)i1i1前已证证明2E(

X

)

E(

X

)

,

D(

X

)

D(

X

)

i

in

2E(

X

)

E(

X

)

,

D(

X

)

12niniE(

X

2

)

E(

X

2

)E

1(

X

X

)n

n

i1i1因而22

2

2

)

(

)

(nn

n

1

2

222

1ni1i(

X

X

)

n

1E故证毕.21

例3设

是总体

X

的一个样本

,X~B(n,p)

n

>1,求p

2

的无偏估计量.解由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.X

E(X

)

np令miX

2

E(

X

2

)

(np)2

np(1

p)m1

i1

X

X

n

mmi12in2p2

1

1n(n

1)

m

i11

m

X

(

X

1)i

i故Xmm

Xi1因此,p

2

的无偏估计量为2i21(n2

n)

p

例4

设总体X的密度函数为

0

1x

0,

xe

f

(x;

)

0为常数x

0为X

的一个样本21

都是

的无偏21

证明

X

与估计量证

E(

X

)

X

~

E

1

故E(X

)

E(X

)

X

是

的无偏估计量.令n

E(Z

)

Z

~

E

n

E(nZ

)

即故

n

Z

是

的无偏估计量.)n都是总体参数

的无偏估计量,且D(ˆ

)

D(ˆ

)1

212则称ˆ

比ˆ

更有效.定义

设

ˆ

(有效性21221

1ˆ

所以,X

比n

min{是

的无偏估计量,问哪个估计量更有效？21

由例4可知,

X

与

都1x

0x

0,

xe

f

(x;

)

0

0

为常数例5设总体X

的密度函数为n

})

2n}更有效.D(n

min{n2D(

X

)

解，例6

设总体

X，且

E(

X

)=

, D(

X

)=

221

为总体X

的一个样本ni1证明

ˆ1

ci

Xini1(2)

证明

ˆ

X

比

ˆ1

ci

Xi更有效n

ni1

i1证

(1)

E(ˆ1)

ci

E(

Xi

)

ci

ni1是

的无偏估计量

ic

1.ni(1)

设常数

c

1

i

1,2,,

n.(2)而结论算术均值比均值更有效.例如X

~

N(

,

2

),(X

1

,X

2

)是一样本.2

1ˆˆ都是

的无偏估计量ˆ由例6(2)知

ˆ3

最有效.罗—克拉美（Rao–Cramer）不等式若ˆ

是参数

的无偏估计量,则10

D

(

)2nE

ln

p(

X

,

)

D(ˆ)

其中p

(x,

)是总体X

的概率分布或密度函数，称D0

(

)为方差的下界.当D(ˆ)

D0

(

)时,称ˆ

为达到方差下界的无偏估计量,此时称ˆ

为最有效的估计量,简称有效估计量.例7

设总体X

的密度函数为

0

1x

0x

0,

xe

f

(

x;

)

21

为X

的一个样本值.

0为常数求

的极大似然估计量,并判断它是否达到方差下界的无偏估计量.解由似然函数nxie

i11

nL(

)

ni

xi1ln

L(

)

n

ln

2ddn

xinln

L(

)

令

i1

0nix

xn

i11ˆ

niX

Xn

i1

的极大似然估计量为ˆ

1它是

的无偏估计量.nnni1ˆ

2X

)

D(

)

D(i1而ln

f

(x,

)

ln

x故X

是达到方差下界的无偏估计量.12

2

x

2

ln

f

(x,

)

212

X

2E

ln

f

(

X

,

)

E21n1

22nE

ln

f

(

X

,

)

D(

X

)定义

设是总体参数21

ˆˆ一致性的估计量.若对于任意的

,当n

时,ˆ

依概率收敛于

,即

0,lim

P(ˆ

)

0n则称ˆ

是总体参数

的一致(或相合)估计量.一致性估计量仅在样本容量n

足够大时,才显示其优越性.关于一致性的两个常用结论由大数定律证明不用切等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量量,且lim

D(ˆ)

0,则nˆ

是

的一致估计量.样本

k

阶矩是总体

k阶矩的一致性估计量.设ˆ

是

的无偏估计例8

01x

0e

x

0,

xX

~

f

(x;

)

0为常数lim

D(

X

)

lim

0nn

n则

X

是

的无偏、有效、一致估计量.证由例7

知X

是

的无偏、有效估计量.

2所以X

是

的一致估计量,证毕.作业习题七12

15

16

20

21补充题设总体X

~

N

(

,

2),21

为X

的一个样本,常数k

取n何值可使

k|

X

i

X

|

为

的无偏估计量i1nn

i1

i1解E

k

|

Xi

X

|

k

E

|

Xi

X

|注意到

Xi

X

是

X1,

X2,…,

Xn

的线性函数,X1

E(X

X

)

0,i2nin

1D(

X

X

)

补充题设总体X

~

N

(

,

2),21

为X

的一个样本,常数k

取ni1

何值可使

k|

X

i

X

|

为

的无偏估计量2nn

1X

X

~

N

0,idzennz2122

n1

2n

1E(|