组合变形的设计计算PPT434

第十一章组合变形形内容提要要本章介绍绍杆件在在拉压、、扭转与与弯曲时时的内力力计算和和内力图图的绘制制，应力力和强度度计算，，变形和和刚度计计算，以以及杆件件在组合合变形时时的强度度计算。。本章内内容是杆杆件计算算的核心心。11.1拉压杆11.2受扭轴11.3单跨梁本章内容容11.4组合变形形小结4.1杆杆件件拉压时时的内力力计算4.1.1工程实例例和计算算简图工程中承承受轴向向拉伸或或压缩的的杆件：：桁架中的的杆件［图(a)］斜拉桥中中的拉杆［图(b)］闸门启闭闭机中的的螺杆［图(c)］承受轴向向拉伸或或压缩的的杆件称称为拉(压)杆。拉压杆的的计算简简图拉压杆的的受力特点点：外力或或外力合合力的作作用线与与杆件的的轴线重重合。拉压杆的的变形特点点：沿轴线线方向的的伸长或或缩短，，同时横横向尺寸寸也发生生变化。。FFFF4.1.2.轴力和和轴力图图物体没有有受到外外力作用用时，其其内部各各质点之之间就存存在着相相互作用用的内力力。这种种内力相相互平衡衡，使得得各质点点之间保保持一定定的相对对位置。。1.内内力的的概念在物体受受到外力力作用后后，其内内部各质质点之间间的相对对位置就就要发生生改变，，内力也也要发生生变化而而达到一一个新的的量值。。这里所讨讨论的内内力，指指的是因因外力作作用而引引起的物物体内部部各质点点间相互互作用的的内力的的改变量量，即由由外力引引起的““附加内力力”，简称称为内力。●内力随随外力的的增大而而增大，，当内力力达到某某一限度度时就会会引起构构件的破破坏，因因而它与与构件的的强度问问题是密密切相关关的。截面法是是求构件件内力的的基本方方法。下下面通过过求解图图（a）所示拉拉杆m—m横截面上上的内力力来具体体阐明截截面法。。2.截面法为了显示示内力，，假想地沿沿横截面面m—m将杆截开开成两段段，任取取其中一一段，例例如取左左段，作作为研究究对象。。左段上上除受到到力F的作用外外，还受受到右段段对它的的作用力力，此即横截截面m—m上的内力力[图(b)]。根据均匀匀连续性性假设，，横截面m—m上将有连连续分布布的内力力，以后后称其为为分布内力力，而把内内力这一一名词用用来代表表分布内内力的合合力(力力或力偶偶)。现现要求的的内力就就是图(b)中的合力力FN。因左段处处于平衡衡状态，，故列出出平衡方方程。∑X＝0FN－F＝0得FN＝F这种假想想地将构构件截开开成两部部分，从从而显示示并求解解内力的的方法称称为截面法。用截面法法求构件件内力可可分为以以下四个个步骤：：截、取、、代、平平。1）截开沿需要求内内力的截面面，假想地地将构件截截开成两部部分。2）取出取截开后的的任一部分分作为研究究对象。3）代替把弃去部分分对留下部部分的作用用以截面上上的内力代代替。根据均匀连连续性假设设，横截面m—m上将有连续续分布的内内力，以后后称其为分布内力，而把内力力这一名词词用来代表表分布内力力的合力(力或力偶偶)。4）平衡列出研究对对象的静力力平衡方程程，解出需需求的内力力。∑X＝0FN－F＝0得FN＝F●若取右段为为研究对象象，同样可求得得轴力FN＝F∑X＝0F－FN＝0得FN＝F内力的正负负号规则拉力为正，，压力为负负拉力为正压力为负3.轴轴力图FN的作用线与与杆轴线重重合，故FN称为轴力。规定轴力的的正负号如如下：当轴轴力的方向向与横截面面的外法线线方向一致致时，杆件件受拉伸长长，轴力为为正；反之之，杆件受受压缩短，，轴力为负负。以平行于杆杆轴线的坐坐标表示横横截面的位位置，垂直直于杆轴线线的坐标（（按适当的的比例）表表示相应截截面上的轴轴力数值，，从而绘出出轴力与横横截面位置置关系的图图线，称为为轴力图，也称FN图。通常将正正的轴力画画在上方，，负的画在在下方。画轴力图FAB113F22C2F4KN9KN3KN2KN4KN5KN2KNF2F轴力与截面面位置关系系的图线称称为轴力图图.【例题】拉压杆如图图所示，求横截面1—1、2—2、3—3上的轴力，，并绘制轴轴力图。【解】1）求支座反反力。由杆AD的平衡方程程∑X＝0FD－2kN－3kN＋6kN＝0得FD＝－1kN2)求横截面1—1、2—2、3—3上的轴力。设截面上的的轴力为FN1，由平衡方方程∑X＝0FN1－2kN＝0FN1＝2kN算得的结果果为正，表表明F为拉力。得11①1—1截面FN1●当然也可可以取右段段为研究对对象来求轴轴力F，但右段上上包含的外外力较多，，不如取左左段简便。。因此，计算时应选取受力力较简单的的部分作为为研究对象象。设截面上的的轴力为FN2，由平衡方程程∑X＝0FN2－2kN－3kN＝＝0得FN2＝5kN22FN2②2—2截面沿横截面3—3将杆截开，，取右段为为研究对象象，可得轴轴力F为FN3＝FD＝－1kN算得的结果果为负，表表明F为压力。③3—3截面FN333轴力图一般般应与受力力图对正。。在图上应应标注内力力的数值及及单位，在在图框内均均匀地画出出垂直于横横轴的纵坐坐标线，并并标明正负负号。当杆杆竖直放置置时，正负负值可分别别画在杆的的任一侧，，并标明正正负号。3)绘制轴力图图。251FN图(kN)【例4.1】小结●最大轴力力FNmax=5kN。。内力较大大的截面称称为危险截面，例如本题题中BC段各横截面面。4.1.3拉压杆的应应力1.应力力的概念轴力是拉压压杆横截面面上分布内内力的合力力，它只表表示截面上上总的受力力情况，单单凭轴力的的大小还不不能判断杆杆件在外力力作用下是是否发生破破坏。例如如，相等的的内力分布布在较大的的面积上时时，比较安安全；分布布在较小的的面积上时时，就比较较危险。因此，为了了解决强度度问题，还还必须研究究截面上各各点处内力力的分布规规律，即用用截面上各各点处的内内力的大小小和方向来来表明内力力作用在该该点处的强强弱程度。。为此，引引入应力的概念。A上的平均应应力：M点处的应力力：M点处的正应应力：M点处的切应应力：=pcos=psin应力的常用用单位为Pa（帕），1Pa=1N/m2。工程实际中中常采用帕帕的倍数单单位：kPa（千帕）、、MPa（兆帕）和和GPa（吉帕），，其关系为为1kPa=1××103Pa1MPa=1×106Pa1GPa=1×109Pa2.拉拉压杆横截截面上的正正应力因为拉压杆杆横截面上上的轴力沿沿截面的法法向，所以以横截面上上只有正应应力σ。由于横截面面上正应力力的合力等等于轴力，，因此欲计计算正应力力σ，必须知道道σ在截面上的的分布规律律。为此，，我们来观观察拉压杆杆的变形。。在图(a)所示拉杆的的侧面任意意画两条垂垂直于杆轴轴的横向线线ab和cd。拉伸后可可观察到横横向线ab、cd分别平行移移到了a'b'、c'd'位置，但仍仍为直线，，且仍然垂垂直于杆轴轴[图(b)]。根据这一现现象，可假假设变形前前为平面的的横截面，，变形后仍仍保持为平平面。这就就是平面假设。设想杆是由由许多纵向向纤维所组组成，根据据平面假设设，可断定定杆变形时时任意两横横截面间各各纵向纤维维的伸长相相等。又根根据均匀连连续性假设设，各条纤纤维的性质质相同，因因而它们的的受力必定定相等。所所以横截面面上的法向向分布内力力是均匀分分布的，即即σ等于常量。这个结论论对于压杆杆也是成立立的。因为σ为常量，所所以轴力F等于正应力力σ与横截面面面积A的乘积，即即FN＝σA或这就是拉压压杆横截面面上正应力的计计算公式。正应力σ的符号和轴轴力FN的符号规定定相同，即拉应力力为正，压压应力为负负。FN●作用于杆杆件上的轴轴向外力一一般是外力力系的静力力等效力系系，在外力力作用点附附近的应力力比较复杂杂，并非均均匀分布。。研究表明明，上述静静力等效替替换对原力力系作用区区域附近的的应力分布布有显著影影响，但对对稍远处的的应力分布布影响很小小，可以忽忽略。这就就是圣维南原理。根据这一原原理，除了外外力作用点附附近以外，都都可用公式计计算应力。【例4.2】】一正方方形截面的砖砖柱（压杆有有时也称为柱柱）如图所示示，F＝50kN。。求砖柱的最最大正应力。。【解】用用截面法求得得上、下两段段横截面上的的轴力分别为为FN1＝－50kN，FN2＝－150kN因为上、下两两段横截面的的面积也不相相同，所以必必须算出各段段横截面上的的应力，加以以比较后才能能确定柱的最最大正应力。。由横截面上上的应力计算算公式，得可见，砖柱的的最大正应力力发生在柱的的下段各横截截面上，其值值为σmax＝1.1MPa（压）●以后我们称称应力较大的的点为危险点，例如本题中中柱下段横截截面上各点。。●如果杆的各横横截面上的轴轴力都相同，，那么杆的最最大正应力发发生在截面积积最小的横截截面上。若是是等直杆，则则发生在轴力力最大的横截截面上。在一一般情况下，，应加以比较较后确定。4.1.4拉压杆的变形形杆件在轴向拉拉伸或压缩时时，所产生的的主要变形是是沿轴线方向向的伸长或缩缩短，称为纵向变形；与此同时，，垂直于轴线线方向的横向向尺寸也有所所缩小或增大大，称为横向变形[图(a，b)]。dd1d1d1.纵向变变形（1）纵向总总变形拉、压杆的原原长为，在轴轴向外力F的作用下，长度l变为l1，杆的纵向变形形为△l＝l1－l对于拉杆，△l为正值，表示纵向伸伸长[图(a)]；对于于压杆，△l为负值，表示纵向缩缩短[图(b)]。dd1d1d（2）纵向线线应变根据平面假设设，杆的各段段都是均匀变变形的，单位长度的的纵向变形为为式中的ε称为纵向线应应变。显然，，拉伸时ε＞0，为拉应应变；压缩时时ε＜0，为压应应变。ε是一个量纲为为1的量。（3）胡克定定律大量的实验表表明，当杆的的变形为弹性性变形时，杆杆的纵向变形形△l与外力F及杆的原长l成正比，而与杆的横横截面面积A成反比，即上式称为胡克定律。又因为F=FN，所以因σ＝，ε＝，故上式变为这是胡克定律律的另一表达达式。它表明明：在弹性限度内内，正应力与与线应变成正正比。●式中的比例常常数E称为弹性模量，它与材料的力学性能有关，是衡量材料抵抵抗弹性变形形能力的一个个指标。E的数值可由试验测定。E的单位与应力力的单位相同同。一些常用用材料的E的约值列于表4.1中，以供参考。。EA称为杆的拉压刚度，它是单位长长度的杆产生生单位长度的的变形所需的的力。表4.1常用材料的E和ν的约值材料名称E/GPaν低碳钢196～2160.24～0.28中碳钢2050.24～0.2816锰钢196～2160.25～0.30合金钢186～2160.25～0.30铸铁59～1620.23～0.27混凝土15～350.16～0.18石灰岩410.16～0.34木材(顺纹)10～12橡胶0.00780.472.横向向变形（1）横向总总变形设拉、压杆在在变形前、后的横向尺尺寸分别为d与d1，则其横向变形形△d为△d＝d1－d（2）横向线线应变横向线应变为（3）泊松比比大量的试验表明，当杆杆的变形为弹弹性变形时，横向线应变与纵向线应变变ε的绝对值之比比是一个常数数。此比值称称为泊松比或或横向变形系系数，用ν表示，即对于拉杆，△d与都为负；对于压杆，△d与都为正。ν＝ν是一个量纲为为1的量，其其数值随材料料而异，也是是通过试验测测定的。一些些常用材料的的ν的约值也列于于表4.1中中。考虑到与ε的正负号恒相相反，可得利用上式，可可由纵向线应应变或正应力力求横向线应应变。反之亦亦然。【例4.3】图图示木方柱柱受轴向荷载载作用，横截截面边长a＝200mm，材料的弹弹性模量E＝10GPa，杆的自重重不计。求各各段柱的纵向向线应变及柱柱的总变形。。【解】由于上下两段段柱的轴力不不等，故两段段柱的变形要要分别计算。。各段柱的轴轴力为FNBC＝－100kNFNAB＝－260kN各段柱的纵向向变形为各段柱的纵向向线应变为全柱的总变形形为两段柱的的变形之和，，即△l=△lBC+△lAB=－0.5mm－0.975mm=－1.475mm4.1.5材料在拉(压)时的力学性能能材料的力学性性能是材料在在外力作用下下其强度和变变形等方面表表现出来的性性质，它是构件强强度计算及材材料选用的重重要依据。材材料的力学性性能由试验测测定。本节以工程中中广泛使用的的低碳钢（含含碳量＜0.25％)和铸铁两类材材料为例，介介绍材料在常常温、静载（（是指从零缓缓慢地增加到到标定值的荷荷载）下拉(压)时的力学性能能。1.材料在拉伸时时的力学性能能（1）低碳钢在拉拉伸时的力学学性能为了便于比较较不同材料的的试验结果，必须将试验验材料按照国国家标准制成成标准试件。。金属材料常常用的拉伸试试件如图所示示，中部工作作段的直径为为d0，工作段的长长度为l0，称为标距，且l0=10d0或l0=5d0。试验时将试件件的两端装在在试验机的夹夹头中，缓慢慢平稳地加载载直至拉断。。拉力F与试件的伸长长量Δl之间的关系曲曲线称为拉伸曲线或F-△l曲线。图（a）为为Q235钢钢的拉伸曲线线。图（a）拉伸曲线受试试件几何尺寸寸的影响，不不能直接反映映材料的力学学性能。为了消除试件件尺寸的影响响，将拉力F除以试件的原原横截面面积积A0，得到应力σ=F/A0作为纵坐标，，将标距的伸伸长量除以标标距的原有长长度l0，得到应变ε=△l/l0作为横坐标，，这样就得到到一条应力σ与应变ε之间的关系曲曲线(图b)，称为应力-应变曲线或σ-ε曲线。1）低碳钢拉拉伸过程的四四个阶段①弹性阶段段。σ-ε曲线上OB段为弹性阶段段。在此阶段段内，如果卸卸除荷载，则则变形能够完完全消失。弹性阶段的应应力最高值称称为弹性极限，用σe表示，即B点处的应力值值。在此阶段内，，除AB这一小段外，，OA段为直线，应应力与应变成成线性关系，，材料服从胡胡克定律，因因此图中直线线OA的斜率即为材材料的弹性模量E，即E=tan。在σ-ε曲线上对应于于点A的应力，表示示应力与应变变成比例关系系的最大值，，称为比例极限，用σp表示。Q235钢的比例例极限σp﹦200MPa。由于比例极限限与弹性极限限非常接近难难以区分，实实际应用中常常将两者视为为相等。②屈服阶段段。BC段称为屈服阶段。在此阶段，σ-ε曲线沿着锯齿齿形上下摆动动。此时应力力基本保持不不变而应变却却急剧增加，，材料暂时失失去了抵抗变变形的能力，，这种现象称称为屈服或流动。在屈服阶段中中，对应于曲线线最低点的应应力称为材料料的屈服极限，用σs表示。Q235钢的屈服服极限σs=235MPa。如果试件表面面经过磨光，，屈服时试件件表面会出现现一些与试件件轴线成45°的条纹称为滑移线。●材料在屈服服时产生显著著的塑性变形形，这是构件件正常工作所所不允许的，，因此屈服极限σs是衡量材料强强度的重要指指标。③强化阶段段。CD段称为强化阶段。在这一阶段，，材料又恢复复了抵抗变形形的能力，要要使它继续发发生变形必须须增加外力，，这种现象称称为材料的强化。这一阶段曲线线最高点D所对应的应力力值称为强度极限或抗抗拉强度，用σb表示，Q235钢的强度度极限σb﹦400MPa。④颈缩阶段。。在这一阶段，，试件的变形形开始集中于于某一局部区区域内，横截截面面积出现现局部迅速收收缩，这种现象称称为颈缩现象。点击画面试件拉断后，弹性应变（O3O4）恢复，塑性应变(OO3)永远残留。试试件工作段的的长度由l0伸长到l，断口处的横横截面面积由由原来的A0缩减到A。由于局部截面面的收缩，试试件继续变形形所需拉力逐逐渐减小，直至曲线的的E点，试件被拉拉断。工程中反映材材料塑性性能能的两个指标标分别为延伸率：断面收缩率：：Q235钢的延伸率δ=20%～30%，断面收缩率率ψ=60%～70％。●工程中常把的材料称为塑性材料，如碳钢、黄铜、铝合金等；而把δ<５％的材料称为脆性材料，如铸铁、陶瓷、玻璃、混凝土等。2）冷作硬化化在强化阶段任任一点G时，逐渐卸除除荷载，则应应力与应变之之间的关系将将沿着与OA近乎平行的直直线O1G回到O1点，如图所示。O1O2这部分弹性应应变消失，而OO1这部分塑性应应变则永远残残留。如果卸卸载后重新加加载，则应力力与应变曲线线将大致沿着着O1GDE的曲线变化，，直至断裂。。●由此可以看看出，重新加载后后材料的比例例极限提高了了，而断裂后后的塑性应变变减少了OO1。这种在常温温下将钢材拉拉伸超过屈服服阶段，卸载载再重新加载载时，比例极极限σp提高而塑性变变形降低的现现象称为材料料的冷作硬化。●在实际工程程中常利用冷冷作硬化提高高材料的强度度。例如冷拉拉后的钢筋比比例极限提高高了，可以节节约钢材的用用量，降低工工程造价。但但是由于冷作作硬化后材料料的塑性降低低，有些时候候则要避免或或设法消除冷冷作硬化。图中给出了几几种塑性材料料的σ-ε曲线。可以看出，除除了16Mn钢与低碳钢的的σ-ε曲线比较相似似外，一些材材料（如铝合合金）没有明明显的屈服阶阶段，但它们们的弹性阶段段、强化阶段段和颈缩阶段段则都比较明明显；另外一一些材料（如如MnV钢））则只有弹性性阶段和强化化阶段而没有有屈服阶段和和颈缩阶段。。●对于没有屈屈服阶段的塑塑性材料，国国家标准规定定以产生0.2％塑性应变时时的应力值作作为材料的名义屈服极限限，用σ0.2表示。（2）铸铁等脆性材材料在拉伸时时的力学性能能铸铁拉伸时的的应力-应变曲线如图图所示。由应应力-应变曲线可以以看出，它没有明显显的直线段，，应力与应变变不成正比关关系。在工程程计算中通常常以产生0.1%的总应变所所对应的曲线线的割线斜率率来表示材料料的弹性模量，E=tan。铸铁在拉伸过过程中，没有有屈服阶段，，也没有颈缩缩现象。拉断断时应变很小小，约为0.4%~0.5%，是典典型的脆性材材料。拉断时时的应力称为为强度极限或或抗拉强度，，用σb表示。强度极限σb是衡量脆性材材料强度的唯唯一指标。常用灰铸铁铁的抗拉强度度很低约为120～180MPa。。●由于铸铁等脆性材料拉伸伸的强度极限限很低，因此此不宜用于制制作受拉构件件。2.材料在压压缩时的力学学性能（1）塑性材材料在压缩时时的力学性能能金属材料的的压缩试件件一般采用用圆柱形的的短试件，，试件高度度与截面直直径的比值值为1.5～3。低碳钢压缩缩时的应力力-应变曲线如如图所示，同时在图中中用虚线表表示拉伸时时的应力-应变曲线。由图可以看看出，在屈屈服阶段以以前，低碳钢拉拉伸与压缩缩的应力-应变曲线基基本重合。因此，低碳钢压缩缩时的弹性性模量Ε、屈服极限限σs都与拉伸试试验的结果果基本相同同。在屈服阶段段后，试件出现现了显著的的塑性变形形，越压越越扁，由于于上下压板板与试件之之间的摩擦擦力约束了了试件两端端的横向变变形，试件件被压成鼓鼓形。由于于横截面不不断增大，，要继续产产生压缩变变形，就要要进一步增增加压力，，因此由σ=F/A0得出的σ-ε曲线呈上翘翘趋势，故故测不出压压缩时的强强度极限。。●低碳钢压压缩时的一一些性能指指标可通过过拉伸试验验测出，而不必再再作压缩试试验。一般般塑性材料料都存在上上述情况。但有些塑塑性材料压压缩与拉伸伸时的屈服服极限不同同，如铬钢、硅硅合金钢，，因此对这这些材料还还要测定其其压缩时的的屈服极限限。（2）脆性性材料在压压缩时的力力学性能1）图示为铸铸铁压缩时时的应力-应变曲线（（图中也大大致画出了了拉伸时的的应力-应变曲线）。铸铁拉、压时的应应力-应变曲线都都没有明显显的屈服阶阶段，但压缩时塑塑性变形较较明显。铸铁的抗压强度σc远大于抗拉拉强度σb，大约为抗抗拉强度的的4～5倍。破坏时时不同于拉拉伸时沿横横截面，而而是沿与轴轴线约成45°～55°°的斜截面破破坏，这说说明铸铁的的压缩破坏坏是由于超超过了材料料的抗剪能能力而造成成的。2）混凝土土是由水泥泥、石子、、沙子三种种材料用水水拌和经过过凝固硬化化后而成的的人工石料料。图1为混凝凝土拉、压压时的σ-ε曲线，由图图可知混凝凝土的抗压压强度为抗抗拉强度的的10倍左左右。图1

混凝土压缩缩时，破坏坏形式与端端部摩擦有有关。图2（a）是是立方体试试块端部未未加润滑剂剂时的破坏坏情况。图图2（b））是立方体体试块端部部加润滑剂剂时的破坏坏情况。两两种破坏形形式所对应应的抗压强强度不同，，后者破破坏荷载较较小。工程程中统一规规定采用两两端不加润润滑剂的试试验结果，，来确定材材料的抗压压强度。图2

●由于铸铁、、混凝土等等脆性材料的的抗压强度度比抗拉强强度高，宜用于制制作承压构构件，如底座、桥桥墩、基础础等。3.安全全因数与许许用应力（1）极限限应力通过拉压试试验可以测测出反映材材料强度的的两个性能能指标，即σs和σb。对低碳钢等等塑性材料料，当应力力达到屈服服极限σs(σ0.2)时，会产产生显著的的塑性变形形，影响构构件正常工工作；而对对铸铁等脆脆性材料，，当应力达达到抗拉强强度σb或抗压强度度σc时，会发生生断裂，丧丧失工作能能力。工程中将塑塑性材料的的屈服极限限σs(σ0.2)和脆性材料料的抗拉强强度σb（抗压强度度σc）统称为极限应力，用σ0表示。（2）安全因数数与许用应应力构件工作时时的最大应应力称为最大工作应应力。要求构件内内最大工作作应力小于于极限应力力σ0。构件内的最最大工作应应力限制在在极限应力力范围内还还是不够的的，这是因因为：①计算简简图与实际际结构之间间存在着差差异。②材料的的不均匀性性。③荷载值值的偏差。。④构件需需要有必要要的强度储储备。为了保证构构件能安全全正常地工工作，必须须将材料的的极限应力力打一个折折扣，除以以一个大于于1的因数数n以后，作为为构件最大大工作应力力所不允许许超过的数数值，这个个应力值称称为许用应力，用[σ]表示，即即[σ]=σ0/n对于塑性材材料[σ]=σs/ns或[σ]=σ0.2/ns对于脆性材材料[σ]=σb/nb或[σ]=σc/nb式中：ns和nb——塑性材材料和脆性性材料的安全因数。●安全因数的的确定是一一件复杂的的工作，一一般情况下下，在工业业的各个部部门都指定定有自己的的安全因数数规范供设设计人员查查用。如无无规范，则则对塑性材材料一般取取ns=1.4～～1.7，，对脆性材材料一般取取nb=2.5～～5。4.1.6拉压杆的强强度计算1.强度度条件要保证拉压压杆不致因因强度不足足而破坏，，应使杆的最最大正应力力σmax不超过材料料的许用应应力[σ]，即σmax≤[σ]（a）这就是拉压杆的强度条件。对于等直杆，由于，所以强度条件可写为（b）2.三类类强度计算算问题1）强度校校核。已知杆的材材料、尺寸寸和承受的的荷载（即即已知[σ]、A和F），要求校校核杆的强强度是否足足够。此时时只要检查查式（b））是否成立立。2）设计截截面尺寸。已知杆杆的材料、、承受的荷荷载（即已已知[σ]、F），要求确确定横截面面面积或尺尺寸。为此此，将式（（b）改写为据此可算出出必须的横横截面面积积。根据已知知的横截面面形状再确确定横截面面尺寸。●当采用工工程中规定定的标准截截面（例如如型钢）时时，可能会会遇到为了了满足强度度条件而须须选用过大大截面的情情况。为经经济起见，，此时可以以考虑选用用小一号的的截面，但但由此而引引起的杆的的最大正应应力超过许许用应力的的百分数一一般限制在在5%以内，即3）确定许许用荷载。。已知杆的材材料和尺寸寸（即已知知[σ]和A），要求确确定杆所能能承受的最最大荷载。。为此，将将式（b））改写为FNmax≤A[σ]先计算出杆杆所能承受受的最大轴轴力，再由由荷载与轴轴力的关系系，计算出出杆所能承承受的最大大荷载。【例4.4】图图（a）所所示三铰屋屋架的拉杆杆采用16锰圆钢，，直径d=20mm。已已知材材料的的许用用应力力[σ]=200MPa，，试校校核钢钢拉杆杆的强强度。。【解】1）求支支座反反力。。取整个个屋架架为研研究对对象，，利用用对称称性，，得FA＝FB＝×(20m)×q

＝×(20m)×(4kN/m)

＝40kN取半个个屋架架为研研究对对象。2）求拉杆杆的轴轴力。。由平衡衡方程程∑M＝0(3.5m)×FN＋(10m)×q×(5m)－(10m)×FA＝0得钢拉杆杆是等等直杆杆，横横截面面上的的轴力力相同同，故故杆的的最大大正应应力为为3）求拉拉杆的的最大大正应应力。。因为σmax＝182MPa＜[σ]＝＝200MPa所以钢钢拉杆杆的强强度是是足够够的。。4）校核核拉杆杆的强强度。。【例4.5】】图图（a）所所示钢钢桁架架的所所有各各杆都都是由由两个个等边边角钢钢组成成。已已知角角钢的的材料料为Q235钢钢，其其许用用应力力[σ]＝170MPa，试试为杆杆EH选择所所需角角钢的的型号号。【解】1）求支座座反力力。取整个个桁架架为研研究对对象，，由对对称性性，得得FA=FB=F=220kNFAFB假想用用截面面m－m将桁架架截开开，取取左边边部分分为研研究对对象[图b]，，由平平衡方方程∑MC＝0(3m)×FNEH－(4m)×FA＝0得FNEH＝293kN2）求杆杆EH的轴力力。3）计算算杆EH的横截截面积积。杆EH所需的的横截截面积积为4）选择择等边边角钢钢的型型号。。由型钢钢表查查得，厚度度为6mm的7.5号等等边角角钢的的横截截面面面积为为8.797××102mm2＝879.7mm2，用两两个这这样的的等边边角钢钢组成成的杆杆的横横截面面面积积为879.7mm2×2＝＝1759.4mm2，稍大大于1720mm2。因此此，选用∟75××6。●型钢是是工程程中常常用的的标准准截面面（见见附录录一））。等等边角角钢是是型钢钢的一一种。。它的的型号号用边边长的的厘米米数表表示，在设设计图图上则则常用用边长长和厚厚度的的毫米米数来来表示示。例如符符号∟80××7表示8号角角钢，，其边边长为为80mm，厚厚度为为7mm。【例4.6】】如如图图(a)所所示三三角形形托架架，AB为钢杆杆，其其横截截面面面积为为A＝400mm2，许用应应力[σ]＝170MPa；；BC为木杆杆，其其横截截面面面积为为A＝10000mm2，许用压压应力力为[σ]＝10MPa。。求荷荷载F的最大大值Fmax。【解】】1）求两两杆的的轴力力与荷荷载的的关系系。取结点点B为研究究对象象[图图(b)]，由由平衡衡方程程∑Ｙ＝０ＦN2sin30o－F＝０∑X＝０FN2cos300－FN1＝０得得FN1＝FN2cos300＝F（拉）(压)2）计算算许用用荷载载。AB杆的许许用轴轴力为为FN1＝F≤A1[σ]所以对对于AB杆，许许用荷荷载为为同样，，对于于BC杆，许许用轴轴力为为FN2＝２F≤A2[σc]许用荷荷载为为为了保保证两两杆都都能安安全地地工作作，荷荷载F的最大大值为为Fmax＝39.3kN【例4.7】】图图(a)表示示一等等直杆杆，其其顶部部受轴轴向荷荷载F的作用用。已知知杆的的长度度为l，横截面面面积积为A，材料料的容容重为为，许用应应力为为[σ]，试试写出出考虑虑杆自自重时时的强强度条条件（（杆的的自重重可看看作沿沿轴线线均匀匀分布布的荷荷载））。【解】应应用截截面法法[图图(b)]，，杆的的任一一横截截面m—m上的轴轴力为为负号表表示轴轴力为为压力力。由由此作作出杆杆的轴轴力图图如图图(c)所所示。。根部部横截截面上上的轴轴力最最大，，其值值为由拉压压杆的的强度度条件件，得得或F＝FNmax＋Al(压)●由此例可知，当考虑杆的自重时，相当于材料的许用应力减小了

l。若，则自重对杆的影响很小，可以忽略；若有一定数量的值，则自重对强度的影响应加以考虑。例如，有一长l＝10m的等直钢杆，钢的容重＝76440N/m3，许用应力[σ]＝170MPa，则＝0.45%≤1；若有同样长度的砖柱，砖的容重

＝17640N/m3，许用应力[σ]＝1.2MPa，而＝15%。因此一一般地地，金金属材材料制制成的的拉压压杆在在强度度计算算中可可以不不考虑虑自重重的影影响（（有些些很长长的杆杆件，，如起起重机机的吊吊缆、、钻探探机的的钻杆杆等除除外））；但但对砖砖、石石、混混凝土土制成成的柱柱（压压杆）），在强度度计算算中应应该考考虑自自重的的影响响。●当考虑虑杆的的自重重时，，如果果按杆杆根部部横截截面上上的正正应力力σmax来设计计截面面，把把杆制制成等等直杆杆，那那么只只有根根部横横截面面上的的应力力达到到材料料的许许用应应力[σ]，其其他横横截面面上的的应力力都比比[σ]小，，显然然造成成了材材料的的浪费费。因此，，为了了合理理地利利用材材料，，应使使杆的的每一一横截截面上上的应应力都都等于于材料料的许许用应应力[σ]，这样样设计计的杆杆称为为等强度度杆，其形形状如如图(a)所示。。不过过，等等强度度杆的的制作作复杂杂而且且昂贵贵，故故在工工程中中，一一般都都制成成与等等强度度杆相相近的的阶梯梯形杆杆[图(b)]或截锥锥形杆杆[图(c)]。4.2受扭轴轴4.2.1工程实实例和和计算算简图图工程中中承受受扭转转的杆杆件：：汽车方方向盘盘的操操纵杆杆［图(a)］Me(a)机器中中的传传动轴轴［图(b)］钻机的钻钻杆［图(c)］(c)MeABMtBMeAMeBF2F2A(b)房屋中的的雨篷梁梁和边梁梁［图(d，e)］MeMFF(e)MeAMeAMtFAFBAB(d)●工程中中常把以以扭转为为主要变变形的杆杆件称为为轴。本书主主要研究究圆轴的扭转。。扭转杆件件的受力力特点：在杆件两两端受到到两个作作用面垂垂直于杆杆轴线的的力偶的的作用，，两力偶偶大小相相等、转转向相反反。扭转杆件件变形特特点：杆件任意意两个横横截面都都绕杆轴轴线作相相对转动动，两横横截面之之间的相相对角位位移称为为扭转角，用表示。受扭轴的的计算简简图MeMe4.2.2扭矩和扭扭矩图1.外外力偶矩矩的计算算工程中作作用于轴轴上的外外力偶矩矩一般不不直接给给出，而而是由轴轴的转速速和轴所所传递的的功率进进行计算算。若轴的转转速为n（单位为为r／min）），轴的的功率为为P（单位为为kW）），则外力偶矩矩为式中：Me——轴上某处处的外力力偶矩，，单位为为N·m；P——轴上某处处输入或或输出的的功率，，单位为为kW；n——轴的转速速，单位位为r/min。2.扭矩和扭扭矩图由于左端端有外力力偶作用用，为使使其保持持平衡，，m—m截面上必必存在一一个内力力偶矩。。它是截截面上分分布内力力的合力力偶矩，，称为扭矩，用T来表示。。MeMeMeT－Me=0得T＝Me由平衡方方程Me若取右段为研究对对象，也也可得到到相同的的结果，，但扭矩矩的转向向相反。。T＝MeMeMeTMe为了使同同一截面面上扭矩矩不仅数数值相等等，而且且符号相相同，对对扭矩T的正负号号作如下下规定：：使右手四四指的握握向与扭扭矩的转转向一致致，若拇拇指指向向截面外外法线，，则扭矩矩T为正，反反之为负负。MeMeMeMeT为了直观观地表示示出轴的的各个截截面上扭扭矩的变变化规律律，与轴轴力图一一样用平平行于轴轴线的横横坐标表表示各横横截面的的位置，，垂直于于轴线的的纵坐标标表示各各横截面面上扭矩矩的数值值，选择择适当的的比例尺尺，将扭扭矩随截截面位置置的变化化规律绘绘制成图图，称为为扭矩图。在扭矩图图中，把把正扭矩矩画在横横坐标轴轴的上方方，负扭扭矩画在在下方。。【例4.8】已已知传动动轴的转转速n＝300r／min，主主动轮A的输入功功率PA＝29kW，从从动轮B、C、、D的输出功功率分别别为PB＝7kW，PC＝PD＝11kW。试绘制该轴的扭扭矩图。MeBMeCMeAMeD【解】1)计算外力力偶矩。轴上的外外力偶矩矩为2)计算各段段轴内横横截面上上的扭矩矩。得T1为负值，表示假设设的扭矩矩方向与与实际方方向相反反。由平衡方方程MeBMeCMeAMeDxT1MeB11得由平衡方方程MeBMeCMeAMeDMeBMeC22得由平衡方方程MeD333)绘制扭矩矩图。最大扭矩矩发生在在CA段轴的各各个截面面上，其其值为|Tmax|=573N·m。。223573350T图(N.m)4.2.3圆轴扭转转时的应应力与强强度计算算1.扭扭转试验验现象与与分析图（a））所示为为一圆轴轴，在其其表面画画上若干干条纵向向线和圆圆周线，，形成矩矩形网格格。扭转转变形后后[图（（b）]，在弹弹性范围围内，可可以观察察到以下下现象：：ee1）各纵纵向线都都倾斜了了一个微微小的角角度，矩矩形网格格变成了了平行四四边形。。2）各圆圆周线的的形状、、大小及及间距保保持不变变，但它它们都绕绕轴线转转动了不不同的角角度。ee根据以上上观察到到的现象象，可以以作出如如下的假假设及推推断：①由于于各圆周周线的形形状、大大小及间间距保持持不变，，可以假假设圆轴轴的横截截面在扭扭转后仍仍保持为为平面，，各横截截面象刚刚性平面面一样绕绕轴线作作相对转转动。这这一假设设称为圆圆轴扭转转时的平面假设设。②由于于各圆周周线的间间距保持持不变，，故知横横截面上上没有正正应力。。③由于于矩形网网格歪斜斜成了平平行四边边形，即即左右横横截面发发生了相相对转动动，故可可推断横横截面上上必有切切应力τ，且切应应力的方方向垂直直于半径径。④由于各纵向线都倾斜了一个角度，故各矩形网格的直角都改变了

角，直角的改变量称为切应变。切应变

是切应力τ引起的。2.圆圆轴扭转转时横截截面上的的切应力力（1）切切应力的的计算公公式圆轴扭转转时横截截面上的的切应力力的计算算公式为为（推导导从略））式中：T——横截截面上的的扭矩，以绝对对值代入；——横截截面上欲欲求应力力的点处处到圆心的的距离；Ip——横截截面对圆圆心的极极惯性矩矩。TR切应力的的大小与与该点到到圆心的的距离成成正比，，切应力力的方向向则与半半径垂直直，并与与扭矩的的转向一一致。由切应力的计算公式可知，当=R时，切应力最大，最大切应力为（2）最大切切应力则有式中：Wp——扭转截面面系数，单位为为mm3或m3。●扭转时横横截面上上切应力力的计算算公式只只适用于于圆轴。。令（3）极惯性性矩和扭扭转截面面系数的的计算极惯性矩矩Ip和扭转截截面系数数Wp是只与横横截面形形状、尺寸有有关的几几何量。。直径为D的圆截面面和外径径为D、内径为为d的圆环形形截面，，它们对对圆心的的极惯性性矩和扭扭转截面面系数分分别为圆截面：：圆环形截截面：式中：——内、外径的比值。【例4.9】空空心圆圆轴的横横截面外外径D=90mm，内内径d=85mm，横横截面上上的扭矩矩T=1.5kN··m。求求横截面面上内外外边缘处处的切应应力，并绘制横截面上上切应力力的分布布图。TT【解】1）计算极极惯性矩矩。极惯惯性矩为为2）计算切切应力。。内外边边缘处的的切应力力分别为为TT横截面上上切应力力的分布布如图所所示。3.圆圆轴的强强度计算算为使圆轴轴扭转时时能正常常工作，，必须要要求轴内内的最大大切应力力τmax不超过材材料的许许用切应应力[τ]，若用用Tmax表示危险险截面上上的扭矩矩，则圆轴扭扭转时的的强度条条件为式中：[τ]——材材料的许许用切应应力，通过试验验测得。。它与许用拉拉应力之之间有如如下关系系：塑性材料料：[τ]=（0.5～～0.6）[σ]脆性材料料：[τ]=（0.8～～1.0）[σ]利用强度度条件可可以对圆圆轴进行行强度校校核、设设计截面面尺寸和和确定许许用荷载载等三类类强度计计算问题题。【例4.10】】如图（a）所示的的空心圆圆轴，外外径D=100mm,内内径d=80mm，外力偶偶矩Me1=6kN··m、、Me2=4kN··m。材材料的许用用切应力[τ]=50MPa，，试进行强强度校核。。Me2Me1【解】1）求危险截截面上的扭扭矩。绘出出轴的扭矩矩图如图（（b）所示示，BC段各横截面面为危险截截面，其上上的扭矩为为Tmax=4kN··mMe2Me12）校核轴的的扭转强度度。截面的的扭转截面面系数为轴的最大切切应力为=34.5MPa<[τ]=50MPa可见轴是安安全的。【例4.11】实实心圆轴和和空心圆轴轴通过牙嵌嵌离合器连连在一起，，如图所示示。已知轴轴的转速n=100r/min，传递功功率P=10kW，材料的的许用切应应力[τ]=20MPa。（（1）选择择实心轴的的直径D1。(2)若若空心轴的的内外径比比为1/2，选择空空心轴的外外径D2。(3)若若实心部分分与空心部部分长度相相等且采用用同一种材材料，求实实心部分与与空心部分分的重量比比。MeMe【解】轴承承受的外力力偶矩为故轴任一横横截面上的的扭矩为1）选择实心轴轴的直径。。由强度条件件T=Me=955N·m得2）选择空心轴轴的外径D2。空心圆截面面的扭转截截面系数为为由强度条件件得3）求实心部部分与空心心部分的重重量比。实心部分与与空心部分分的重量比比为●显然空心心轴比实心心轴节省材材料。●从横截面面上切应力力的分布规规律可以说说明为什么么工程中许许多受扭杆杆件采用空空心圆截面面。4.2.4圆轴扭转时时的变形与与刚度计算算1.圆轴轴扭转时的的变形（1）扭转转角圆轴扭转时时的变形通通常是用两两个横截面面绕轴线转转动的相对对扭转角来来度量的，，其计算公公式为（推推导从略））T——横截面面上的扭矩矩，以绝对对值代入；；G——材料的的切变模量量；Ip——横截面面对圆心的的极惯性矩矩。上式也可写写成为式中：——相距为dx的两横截面间的扭转角；因此，相距距为l的两横截面面间的扭转转角为若该段轴为为同一材料料制成的等等直圆轴，，并且各横横截面上扭扭矩T的数值相同同，则积分分后得扭转角的单单位为rad。●GIp称为圆轴的的扭转刚度，用它来表表示圆轴抵抵抗扭转变变形的能力力。（2）单位位长度扭转转角工程中通常常采用单位位长度扭转转角，即对于由同一一材料制成成的等直圆圆轴，并且且各横截面面上扭矩T的数值相同同，则有单位长度扭扭转角的单位为rad／m。2.圆轴轴的刚度计计算对于承受扭扭转的圆轴轴，除了满满足强度条条件外，还还要求它的的扭转变形形不能过大大。例如，，精密机床床上的轴若若产生过大大变形则会会影响机床床的加工精精度；机器器的传动轴轴如有过大大的扭转变变形，将使使机器在运运转时产生生较大振动动。因此必必须对轴的的扭转变形形加以限制制，即使其其满足刚度条件：式中：[]——单位位长度许用用扭转角，，单位为rad/m，其数值是由轴轴上荷载的的性质及轴轴的工作条条件等因素素决定的，可从有关关设计手册册中查到。。在实际工工程中[]的单位通通常为/m，刚度条件变变为【例4.12】图图（a））所示的传传动轴，在在截面A、B、C三处作用的的外力偶矩矩分别为MeA=4.77kN·m、MeB=2.86kN·m、MeC=1.91kN·m。已知轴轴的直径D=90mm，材料料的切变模模量G=80103MPa，材材料的许用用切应力[τ]=60MPa，单位长长度许用扭扭转角[]=1.1/m。试校校核该轴的的强度和刚刚度。【解】1)求危险截面面上的扭矩矩。绘出扭矩图图如图所示示。由图可知知，BA段各横截面面为危险截截面，其上上的扭矩为为Tmax=2.86kN·m（b）T图（kN·m）2)强度校核。截面的扭转转截面系数数和极惯性性矩分别为为轴的最大切切应力为可见强度满满足要求。。3)刚度校核。轴的单位长长度最大扭扭转角为可见刚度也满满足要求。4.3单跨梁4.3.1工程实例和计计算简图1.弯曲的工工程实例工程中有大量量的构件，它它们所承受的的荷载是作用用线垂直于杆杆件轴线的横横向力，或者者是通过杆轴轴平面内的外外力偶。在这这些外力的作作用下，杆件件的横截面要要发生相对的的转动，杆件件的轴线将弯弯成曲线，这这种变形称为为弯曲变形。以弯曲为主要要变形的杆件件称为梁。弯曲的工程实实例楼板梁公路桥梁单位长度的挡挡水墙平面弯曲是工工程中最常见见的情况，也是最基本本的弯曲问题题，掌握了它它的计算对于于工程应用以以及进一步研研究复杂的弯弯曲问题具有有十分重要的的意义。本课课程主要研究究平面弯曲问问题。2.平面弯曲曲的概念工程中常用梁梁的横截面都都具有一个竖竖向对称轴。。梁的轴线与梁梁的横截面的的竖向对称轴轴构成的平面面，称为梁的纵向对称称面。如果梁的外力力和外力偶都都作用在梁的的纵向对称面面内，则梁的的轴线将在此此对称面内弯弯成一条曲线线，这样的弯弯曲变形称为为平面弯曲。3.梁的计计算简图为了得到便于于分析的计算算简图，须对对工程中的梁梁作以下三方方面的简化：：1)梁本身的的简化。通常用梁的轴轴线来代表梁梁。2)荷载的简简化。梁上的荷载一一般简化为集集中力、集中中力偶或分布布荷载。3)支座的简简化。梁的支座有固固定铰支座、、活动铰支座座和固定端支支座三种理想想情况。F1F2●静定梁有三三种型式：悬臂梁、简支梁和外伸梁。这三种梁的的支座反力都都可由静力平平衡方程求出出。●梁在两个支支座之间的部部分称为跨，其长度则称称为跨长或跨度。4.3.2梁的内力图1.剪力和和弯矩求简支梁任意意横截面m—m上的内力。假想地沿横截截面m—m把梁截开成两两段，取左段段为研究对象象，在横截面面m—m上必然存在一一个沿截面方方向的内力FS。由平衡方程程∑Y=0FAFS=0得FS=FAFS称为剪力。因剪力FS与支座反力FA组成一力偶，，故在横截面面m—m上必然还存在在一个内力偶偶与之平衡。。设此内力偶偶的矩为M，则由平衡方方程∑MO=0MFAx=0得M=FAx这里的矩心O是横截面m—m的形心。这个个内力偶矩M称为弯矩，它的矩矢垂垂直于梁的纵纵向对称面。。如果取右段梁梁为研究对象象，则同样可可求得横截面面m—m上的剪力FS和弯矩M。为了使无论取取左段梁还是是取右段梁得得到的同一横横截面上的FS和M不仅大小相等等，而且正负负号一致，根根据变形来规规定FS、M的正负号：1)剪力力正负号。梁截面上的剪剪力对所取梁梁段内任一点点的矩为顺时时针方向转动动时为正，反之为负。2)弯矩矩正负号。梁截面上的弯弯矩使梁段产产生上部受压压、下部受拉拉时为正，反反之为负。【例4.13】简支梁如图（（a）所示。求横横截面1—1、2——2、3—3上的剪力和弯弯矩。【解】1)求支座反力。由梁的平衡方方程求得支座座A、B处的反力为FA=FB=10kN2)求横截面1—1上的剪力和弯弯矩。假想地沿截面面1—1把梁截开成两两段，因左段段梁受力较简简单，故取它它为研究对象象，并设截面面上的剪力FS1和弯矩M1均为正。列出出平衡方程∑Y=0FAFS1=0∑MO=0M1FA×1m=0得M1=FA1m=（10kN）（1m）=10kNm得FA=FS1=10kN计算结果FS1与M1为正，表明两两者的实际方方向与假设相相同，即FS1为正剪力，M1为正弯矩。3)求横截面2—2上的剪力和弯弯矩。假想地沿截面面2—2把梁截开，仍仍取左段梁为为研究对象，，设截面上的的剪力FS2和弯矩M2均为正。由平平衡方程∑Y=0FAF1FS2=0∑MO=0M2FA（4m）+F1（2m）=0得M2=FA（4m）F1（2m）=10kN（4m）10kN（2m）=20kNm得FS2=FAF1=10kN10kN=0M2为正弯矩。4)求横截面3—3上的剪力和弯弯矩。假想地沿截面面3—3把梁截开，取取右段梁为研研究对象，设设截面上的剪剪力FS3和弯矩M3均为正。由平平衡方程∑Y=0FBFS3=0得FS3=FB=10kN∑MO=0M3+FB1m=0得M3=FB1m=10kN1m=10kNmFS3为负剪力，M3为正弯矩。●内力计算规律律从上面例题的的计算过程，，可以总结出出内力计算的的如下规律：：1）梁任一横横截面上的剪剪力，在数值值上等于该截截面左边（或或右边）梁上上所有外力在在截面方向投投影的代数和和。截面左边梁上上向上的外力力或右边梁上上向下的外力力在该截面方方向的投影为为正，反之为为负。2）梁任一横横截面上的弯弯矩，在数值值上等于该截截面左边（或或右边）梁上上所有外力对对该截面形心心之矩的代数数和。截面左边梁上上的外力对该该截面形心之之矩为顺时针针转向，或右右边梁上的外外力对该截面面形心之矩为为逆时针转向向为正，反之之为负。●利用上述规律律，可以直接接根据横截面面左边或右边边梁上的外力力来求该截面面上的剪力和和弯矩，而不不必列出平衡衡方程。2.剪力图图和弯矩图（1）用内力力方程法绘制制剪力图和弯弯矩图1）剪力方程程和弯矩方程程若沿梁的轴线线建立x轴，以坐标x表示梁的横截截面的位置，，则梁横截面面上的剪力和和弯矩均可表表示为坐标x的函数，即以上两式分别别称为梁的剪力方程和弯矩方程。2）剪力图和和弯矩图用与梁轴线平平行的x轴表示横截面面的位置，以以横截面上的的剪力值或弯弯矩值为纵坐坐标，按适当当的比例绘出出剪力方程和和弯矩方程的的图线，这种种图线称为剪力图或弯矩图。绘图时将正剪剪力绘在x轴上方，负剪剪力绘在x轴下方，并标标明正负号；；正弯矩绘在在x轴下方，负弯弯矩绘在x轴上方，即将将弯矩图绘在在梁的受拉侧侧，而不须标标明正负号。。【例4.14】绘制图（a）所示简支梁的剪剪力图和弯矩矩图。l【解】1)求支座反力。取梁整体为研研究对象，由由平衡方程∑MA=0，∑MB=0，得

FA=FB=lFAFB2)列剪力方程和和弯矩方程。取图中的A点为坐标原点点，由坐标为为x的横截面以左左梁上的外力力列出剪力方方程和弯矩方方程如下：（0＜x＜l)（0≤x≤l）●因在支座A、B处有集中力作作用，剪力在在此两截面处处有突变，而而且为不定值值，故剪力方方程的适用范范围用开区间