【教学课件】环节四 全称量词命题和存在量词命题的否定

常用逻辑用语环节四全称量词命题和存在量词命题的否定

命题的否定→具体例子（全称量词命题和存在量词命题的否定）→发现规律，形成方法→巩固练习．问题1

前面我们学习了全称量词和存在量词以及全称量词命题和存在量词命题的真假判断，类比它们的学习过程，你认为对于全称量词命题和存在量词命题的否定，我们该如何展开研究呢？引入新课

（1）请举例说明，对于一个命题，什么是它的否定？一个命题和它的否定的真假有什么关系？（2）请分别写出下列命题的否定，并判断它们的真假．①集合A＝{x|x＞2}是集合B＝{x|x＞3}的真子集；②方程x2－x－2＝0有实根．（1）一个命题与它的否定在内容上是完全对立的，它们必然是一真一假．问题2

阅读教科书第26页及右下角的边框内容，完成下列问题：引入新课

（2）请分别写出下列命题的否定，并判断它们的真假．①集合A＝{x|x＞2}是集合B＝{x|x＞3}的真子集；②方程x2－x－2＝0有实根．命题②的否定：方程x2－x－2＝0没有实根．命题①为假命题，命题①的否定为真命题．问题2

阅读教科书第26页及右下角的边框内容，完成下列问题：引入新课

（2）请分别写出下列命题的否定，并判断它们的真假．①集合A＝{x|x＞2}是集合B＝{x|x＞3}的真子集；②方程x2－x－2＝0有实根．问题2

阅读教科书第26页及右下角的边框内容，完成下列问题：命题①的否定：集合A＝{x|x＞2}不是集合B＝{x|x＞3}的真子集；命题②为真命题，命题②的否定为假命题．引入新课

（1）所有的素数都是奇数；（2）每一个矩形都是平行四边形；（3）∀x∈R，x＋|x|≥0．要求：大家先写出（1）的否定，讨论之后再完成（2）（3）的否定．问题3

写出命题的否定：新知探究

追问1

大家给出的命题（1）的否定有如下结果，你认为哪些正确？哪些错误？并结合原命题和它的否定的关系，阐述你的理由．1）所有的素数都不是奇数；2）所有的素数不都是奇数；3）并非所有的素数都是奇数．新知探究

1）不正确，2）3）正确．素数按照其中的数是不是奇数分类，可分三类：①都是奇数；②有些不是奇数，有些是奇数；③都不是奇数．命题“所有的素数都是奇数”，包含第①类．（1）所有的素数都是奇数；（2）每一个矩形都是平行四边形；（3）∀x∈R，x＋|x|≥0．问题3

写出命题的否定：新知探究

因为一个命题与它的否定在内容上是完全对立的，所以该命题的否定应该包括两种情形：第②和③类．2）3）都包括第②和③类，所以正确．1）只包括第③类，所以不正确；（1）所有的素数都是奇数；（2）每一个矩形都是平行四边形；（3）∀x∈R，x＋|x|≥0．问题3

写出命题的否定：1）不正确，2）3）正确．新知探究

集合角度：如果用A表示所有素数的集合，B表示所有奇数的集合，那么命题“所有的素数都是奇数”可以表示为“A⊆B”，那么它的否定应该是“A

B”．而命题“所有的素数都不是奇数”可以表示为“A⊆CRB”，它与“A

B”不等价，只是“AB”的一种特殊情形．“所有的素数不都是奇数”、“并非所有的素数都是奇数”可以表示为“A∩CRB≠φ”，它与“AB”等价，所以2）3）正确．新知探究

命题真假：从原命题和它的否定的真假关系对结果进行初步判断．一个命题与它的否定不可能同时为真命题，也不可能同时为假命题，只能一真一假．命题“所有的素数都是奇数”是假命题．命题“所有的素数都不是奇数”也是假命题，所以它一定不是命题（1）的否定；命题“所有的素数不都是奇数”、“并非所有的素数都是奇数”都是真命题，所以它们有可能是命题（1）的否定．新知探究

追问2

命题“所有的素数不都是奇数”“并非所有的素数都是奇数”还能怎么表述？存在一个素数，它不是奇数．新知探究

追问3

类比命题（1），你能写出命题（2）和（3）的否定吗？（2）每一个矩形都是平行四边形；（3）∀x∈R，x＋|x|≥0．命题（3）的否定：并非∀x∈R，x＋|x|≥0．也就是说，存在一个矩形，不是平行四边形．也就是说，∀x∈R，x＋|x|＜0．命题（2）的否定：并非每一个矩形都是平行四边形．新知探究

追问4

以上全称量词命题的否定与它们的原命题在形式上有什么变化？你能用符号语言表示命题“∀x∈M，p（x）”的否定吗？全称量词命题的否定是一个存在量词命题．命题“∀x∈M，p（x）”的否定命题为“∃x∈M，p（x）”，记为“∃x∈M，﹁p（x）”．新知探究

追问5

你能梳理全称量词命题的否定的探究过程吗？请写出来．对命题直接否定（直接在命题前面添加否定词）→等价转化为存在量词命题→用符号语言表达规律．新知探究

（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3．追问命题“∀x∈M，p（x）”的否定命题是什么？（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的数不是奇数．（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．（3）该命题的否定：∃x∈Z，x2的个位数字等于3．例3

写出下列命题的否定：新知探究

（1）存在一个实数的绝对值是正数；（2）有些平行四边形是菱形；（3）∃x∈R，x2－2x＋3＝0．问题4

类比全称量词命题的否定，探究如何用符号语言表示命题“∃x∈M，p（x）”的否定？完成对下列命题的否定，并由此探究存在量词命题的否定的一般规律和形式：新知探究

（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3．命题（1）的否定：不存在一个实数的绝对值是正数．也就是说：任意一个实数的绝对值都不是正数．也就是说：任意一个实数的绝对值都小于或等于0．也就是说：∀x∈R，|x|≤0．例3

写出下列命题的否定：新知探究

（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3．命题（2）的否定：每一个平行四边形都不是菱形．命题（3）的否定：∀x∈R，x2－2x＋3≠0．存在量词命题的否定是一个全称量词命题．命题“∃x∈M，p（x）”的否定命题为“∀x∈M，﹁p（x）”．例3

写出下列命题的否定：新知探究

（1）∃x∈R，x＋2≤0；（2）有的三角形是等边三角形；（3）有一个偶数是素数．追问：求解的依据是存在量词命题的否定，那么命题“∃x∈M，p(x)”的否定命题是什么？例4

写出下列命题的否定：新知探究

（1）∃x∈R，x＋2≤0；（2）有的三角形是等边三角形；（3）有一个偶数是素数．（1）该命题的否定：∀x∈R，x＋2＞0．（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形．（3）该命题的否定：所有偶数都不是素数．例4

写出下列命题的否定：新知探究

（1）任意两个等边三角形都相似；（2）∃x∈R，x2＋x＋1＝0．追问如何对全称量词命题和存在量词命题进行否定？判断它们真假的方法是什么？例5

写出下列两个命题的否定，并判断它们的真假：新知探究

追问如何对全称量词命题和存在量词命题进行否定？判断它们真假的方法是什么？命题否定∀x∈M，p（x）∃x∈M，p（x）∃x∈M，﹁p（x）∀x∈M，﹁p（x）总之，全称量词命题、存在量词命题的否定要注意两个变、一个不变．“∀”与“∃”互变，结论“p”变为“﹁p”，条件中的范围不变．新知探究

（1）任意两个等边三角形都相似；（2）∃x∈R，x2＋x＋1＝0．（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题．例5

写出下列两个命题的否定，并判断它们的真假：新知探究

（1）任意两个等边三角形都相似；（2）∃x∈R，x2＋x＋1＝0．（2）该命题的否定：∀x∈R，x2＋x＋1≠0．所以这是一个真命题．因为对任意x∈R，

，例5

写出下列两个命题的否定，并判断它们的真假：新知探究

命题否定∀x∈M，p（x）∃x∈M，p（x）∃x∈M，﹁p（x）∀x∈M，﹁p（x）总之，全称量词命题、存在量词命题的否定要注意两个变、一个不变．“∀”与“∃”互变，结论“p”变为“﹁p”，条件中的范围不变．问题5

本节课我们学习了全称量词命题和存在量词命题的否定，它们的符号表示分别是什么？回顾本节学习过程，与你在问