数字设计原理与实践：第二章 Number System and Codes

1Chapter2

NumberSystemsandcodes

(数制与编码)

2数字系统中的信息表征NumericData

数值信息：Numbersystem数制binarysystem二进制、decimalsystem十进制、hexnumbersystem十六进制、octalnumbersystem八进制、anyradix任意进制带符号的数值信息：Signed-Magnitude,Ones’

–Complement,andTwo’s–Complement原码、反码、补码

3NonnumericData

非数值信息（文字、符号）：Codes

编码有权码：8421BCD码、2421码、5421码无权码：余3码、余3循环码、格雷码（循环码）、ASCII码思考：“2006010134赵钱孙李2594”中，哪些信息是数值？哪些是非数值？学号姓名年龄数字逻辑成绩

4PositionalNumberSystem(按位计数制)数制也就是所谓的进位计数制，指一种带进位的计数方法十进制(Decimal)：是逢十进一的进位计数制，使用“0－9”十种符号来表示所有数值二进制(Binary)：是逢二进一的进位计数制，使用“0－1”两种符号来表示所有数值十六进制(Hexadecimal)：是逢十六进一的进位计数制，使用“0－9”和“A－F”共十六种符号来表示所有数值N进制：N种不同的符号表示数值，其运算法则是“逢N进一”

5任意数制的数N的表示AnyDecimalNumberDCanBeRepresentedtheFollowing(任意十进制数D可表示如下):D

=dp-1

dp-2...d1

d0

.

d-1

d-2...d-n推广：D2=∑di×2i

D16=∑di×16i

Weightofibit;BaseorRadixofrNumberSystem(第i位的权；r计数制的基数)

6按位计数制的特点1)采用基数（BaseorRadix），R进制的基数是R2)基数确定数符的个数如十进制的数符为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，个数为10

二进制的数符为：0、1，个数为23）逢基数进一

7思考按上述方法，十进制数“12345.67”如何表示？如果该数是八进制数呢，又如何表示？十六进制字符集有多少个数值符号？二进制数1011011.011如何表示？下列式表示多少进制的数？相当于十进制的多少？

8GeneralPositional-Number-SystemConversion(常用按位计数制的转换)

DecimaltoBinary

十进制→二进制转换

ANumberinRadix10toanyRadix十进制→任意进制转换ANumberinanyRadix

toRadix10

任意进制→十进制Binary

Octal

二进制←→八进制相互转换BinaryHexadecimal二进制←→十六进制相互转换

922

DecimaltoBinary

十进制二进制转换转换规则：整数部分除2(基数N)取余，倒序排；小数部分乘2(基数N)取整，顺序排。例1：（28.15）10＝（？）228214余07312余0余1余1余1整数部分：（28）10＝（11100）2小数部分：（0.15）10＝（0.0010011）20.15*2=0.3整数位为0整数位为0整数位为1整数位为0低位低位所以：（28.15）10＝（11100.0010011）2注意一个十进制小数未必能用有限位的二进制小数精确表示，有时应根据精度的要求来确定需要二进制小数位数0.3*2=0.60.6*2=1.20.2*2=0.4整数位为0整数位为1整数位为1，终止0.4*2=0.80.8*2=1.60.6*2=1.2MSBLSB

10十进制任意进制转换所以：（65.1）10＝（101.06）8小数部分：（0.1）10＝（0.06）80.1*8=0.8整数位为0整数位为6，终止低位0.8*8=6.4所以：（65.1）10＝（41.1）16小数部分：（0.1）10＝（0.1）160.1*16=1.6整数位为1，终止所以：（65.1）10＝（101.06

）8＝（41.1

）1686588余11余0余1整数部分：（65）10＝（101）8低位65164余1余4整数部分：（65）10＝（41）16低位例2：（65.1）10

＝（？）8＝（？）16ANumberinRadix10toanyRadix

11几种常用的数制对照10201000016F17111115E16111014D15110113C14110012B13101111A121010109111001981010008771117661106551015441004331132210211110000Hex

十六进制Octal八进制Binary二进制Decimal十进制Decimal(十进制)是日常生活中使用最多的数制；Binary(二进制)是数字系统（如计算机）中采用的数制；Octal(八进制)和Hexadecimal(十六进制)是为了简化二进制数值的书写而采用的；

Binary(二进制)计数的特点（即数字系统中采用二进制计数的原因）：二进制中的“0”、“1”符号可以用 电路中 稳定的“开”、“关” 状态（“高”、“低” 电平）来表示。二进制运算规则简单，便于实现算术运算，也容易实现逻辑运算。

12小数位的确定数制转换前后，数值应保证相等。且精度相当。二进制十进制0.10.50.010.250.0010.1250.00010.06250.000010.031250.0000010.0156250.00000010.0078125

13ANumberinanyRadix

toRadix10

任意进制十进制

十进制数的含义可用多项式表达如下：

(3421.5)10

=3*103+4*102

+2*101

+1*100+5*10-1=

(3421.5)10

其中：10被称为基数；3、4、2、1、5

被称为系数；

103

、102

、101

、100、10-1被称为权，它表示系数所在的位置；

二进制数的含义亦可用多项式表达如下：(10101.01)2

=1*24+0*23

+1*22

+0*21

+1*20+0*2-1

+1*2-2＝(21.25)10

其中：2

被称为基数；1、0、1、0、1、0、1

被称为系数；

24

、23

、22

、21

、20、2-1、2-2被称为权，它表示系数所在位置；多项式结果21.25

则是该二进制数对应的十进制值；转换规则：将N进制数写成按权展开的多项式，并计算结果。

14例2：（45.4）8

＝（？）10例3：（14A.7）16

＝（？）10例1：（10111011.11）2

＝（？）10（14A.7）16

＝1*162+

4*161+10*160+7*16-1

＝256+64+10+0.4375

＝（330.4375）10（45.4）8

＝4*81+5*80+4*8-1＝32+5+0.5＝（37.5）10（10111011.11）2

＝27+25+24+23+21+20+2-1+2-2

＝128+32+16+8+2+1+0.5+0.25

＝（187.75）10anyRadix

toRadix10

任意进制十进制

15Binary

Octal

二进制八进制方法：每3位二进制数对应1位八进制数。二进制转换为八进制整数部分由小数点向左，小数部分由小数点向右，每三位二进制数转换为一位八进制数，不足部分分别在前、后添0处理。八进制转换为二进制每一位八进制数用相应的三位二进制数代替。十进制二进制八进制00000100112010230113410045101561106711178100010910011110101012

16例1：（11100111.11）2＝（？）8110011100111二进制数：.3476对应的八进制数：.例2：（56127.66）8＝（？）25676八进制数：.162110001111110对应的二进制数：.101010110Binary

Octal

二进制八进制

17BinaryHexadecimal

二进制十六进制方法：每4位二进制数对应1位十六进制数。二进制转换为十六进制整数部分由小数点向左，小数部分由小数点向右，每4位二进制数转换为1位十六进制数，不足部分分别在前、后添0处理。十六进制转换为二进制每1位十六进制数用相应的4位二进制数代替。十进制二进制十六进制000000100011200102300113401004501015601106701117810008910019101010A111011B121100C131101D141110E151111F161000010171000111181001012

18例1：（11000100111.101）2＝（？）16627A对应的十六进制数：.例2：（96AC7.F3）16＝（？）2967F十六进制数：.A3C0110101001111111对应的二进制数：.1001110000111010011000100111二进制数：.BinaryHexadecimal

二进制十六进制思考：二进制数、八进制、十六进制数的加法？减法？

19

基本的二进制运算Addition（加法）Carry（进位）1+1=10Subtraction（减法）

Borrows（借位）10–1=1

10111110+10001101?

10101010–01010101?

20Whatisthepossibleradixofthenumbersysteminoperationof302/20=12.1.()A)7 B)4 C)5 D)8B

21

RepresentationofNegativeNumbers

(负数的表示)真值：用＋、－分别表示正、负符号的带符号的数据，如：(－1011)2、(＋56)10、(－67)10

。真值是数的原始形式机器数：符号被数码化的带符号数据的表示，如：(1011)2表示-3；(0011)2表示+3最高有效位MSB表示符号位(Signbit)正数用0，负数用1表示带符号数的三种常用编码方式:原码（Signed-Magnitude）反码（Ones’Complement）补码（Two’sComplement）

22符号数值(原码)表示法原码：若数长度N则最高位为符号位；正数用0，负数用1表示。其余N-1位为数值位，为二进制数，位数不足时高位补0MSBastheSignbit(0=plus,1=minus)[最高有效位表示符号位（0=正，1=负）]TwopossiblerepresentationsofZero

(零有两种表示)（+0、–0）Ann-bitsigned-magnitudeintegerrangeis(n位原码表示范围)：

–(2n-1–1)∽+(2n-1–1)

23反码表示法反码：正数时，与原码相同；负数时，符号位不变，数值位按位求反原码数值

反码按位取反零有两种表示（+0、–0）n位反码表示范围：–(2n-1–1)∽+(2n-1–1)

24补码表示法零只有一种表示n位补码表示范围：

–2n-1－+(2n-1–1)符号位扩展？原码数值

补码数值按位取反再加1补码：正数时，与原码相同；负数时，在反码的基础上加1，或者从原码直接求：符号位不变，最低数值位开始，出现第一个1之前，不变！其余数值位按位求反

25先求（65）10＝（？）22232216余08422余0余0余0余0低位652余121余1将得到的二进制码用0补足数 值位的位数—这里为15，得到：(65)10＝(000000001000001)2对正数，符号位（最高位）补0，且其原码＝反码＝补码，则：（＋65）10的原码＝反码＝补码＝0000000001000001对负数，符号位(最高位)补1，则：(－65)10原码＝1000000001000001(－65)10的反码＝1111111110111110(－65)10的补码＝1111111110111111例1：设机器码长度为16，求十进制数+65、-65的原码、反码和补码

261.（11110110）原码＝（？）真值因为是原码，去掉符号位后直接将数值部分转换为十进制数据： （1110110）2＝（64＋32＋16＋4＋2）10＝（118）10符号位为1，说明为负数，所以：（11110110）原码＝（－118）真值2.（11110110）反码＝（？）真值先将反码转换成原码——

符号位不变，数值部分按位取，得： （11110110）反码＝（10001001）原码按1中步骤将该原码转换为十进制数：（10001001）原码＝（－9）真值3.（11110110）补码＝（？）真值对负数而言，数值部分相同的补码比反码小1，得： （11110110）补码＝（－10）真值课外练习：先将补码转换为原码，再求其所对应的十进制数；例2：设机器码长度为8

278位二进制数的不同含义8位二进制数据十六进制数无符号十进制数原码反码补码0000000000H0＋0＋0＋00000000101H1＋1＋1＋10000001002H2＋2＋2＋2………………………………011111007CH124＋124＋124＋124011111017DH125＋125＋125＋125011111107EH126＋126＋126＋126011111117FH127＋127＋127＋1271000000080H128－0－127－1281000000181H129－1－126－1271000001082H130－2－125－126………………………………11111100FCH252－124－3－411111101FDH253－125－2－311111110FEH254－126－1－211111111FFH255－127－0－1

28原码、反码、补码的比较原码表示直观符号位和数值位不等同，加减运算的规则比较复杂N位的原码表示真值范围为-(2N-1-1)~+(2N-1-1)原码计算:0100+1010,1010-1001,0100+0010,1010+1001反码表示法将符号位和数值位等同看待即符号位和数值位一起参加运算，运算规则较简单N位的反码表示真值范围为-(2N-1-1)~+(2N-1-1)例:-5+7=?补码表示法是计算机中最普遍采用的数据表示方法。数据符号位都可以参加运算，可使减法运算转换为加法0的表示形式是唯一的N位的补码表示真值范围为-(2N-1)~+(2N-1-1)

29带符号数的运算（4位长度）＋20010－31101＋＋5

＋0101

＋－5

＋1011

＋70111－811000－51011＋70111

＋－6

＋1010

＋＋3

＋0011

－1110101=＋5＋101010＝－6溢出判断：不溢出：最高位和次高位都没有进位，或都有进位

溢出：最高位和次高位有且只有一个进位思考题：减法运算又如何判断？取有限长度4位取有限长度4位

30为何溢出？上述例题：1011＋1010＝10101为4位长度时，溢出！如果长度为5位，则10101(补码)为－11，正确！！溢出的原因是由于位数不足。练习：用8位二进制形式，实现45－78的计算

31符号扩展

(-5)＋(-6)用五位二进制长度计算－511011＋－6

＋11010

－1111010111111011(补码)＝－5，00000100(补码)＝4补码用符号位扩展后，数仍然不变！

32

定点数和浮点数的表示数原码(符号－数值表示法)反码补码带符号数无符号数数定点整数定点纯小数浮点数：阶码和尾数构成定点数小数点的位置仅仅为约定，实际上不存储！10101100＝172小数点位置10101100＝0.6718125小数点位置

33浮点数浮点数(FloatingPointNumbers)，例如：阶符阶码数符尾数

34

数码和字符的二进制编码表示非数值如何用数字逻辑器件表示和变换？通过“编码”，得到0、1系列数字编码：BCD(BinaryCodedDecimal):用二进制表示十个不同的“符号”。需要用4位二进制表示1个十进制的“符号”(0-9)思考：“2006010134赵钱孙李2594”中，哪些信息是数值？哪些是非数值？学号姓名年龄数字逻辑成绩BinaryCodesforDecimalNumber(十进制数的二进制编码)

35BCD码而4位二进制代码最大可以表示24=16个不同的数字（“符号”）根据这十种“符号”所选二进制编码的不同，BCD码可以有很多种，其中最常用的是8421BCD码、余3码、余3循环码等BCD码采用“位内二进制，位间十进制”的编码方式，既有二进制的形式，又有十进制的特点，非常便于数字系统的识别和转换；

36常用的几种BCD码十进制数8421BCD码2421BCD码5121BCD码余3码余3循环码0000000000000001100101000100010001010001102001000100010010101113001100110110011001014010001000111011101005010110111000100011006011011001001100111017011111011010101011118100011101011101111109100111111111110010108421BCD码是最简单的一种BCD码，为一种有权码；2421BCD码和5121BCD码是有权码，特点：大于5的数字高位是1，5以下的高位为0；2421BCD码特点：编码方案可能不唯一（如十进制数“5”可以编码为“1011”或“0101”）；一般0和9、1和8、2和7等数字编码互为按位取反；Excess-3(余3码)是一种偏权码，0－9、1－8等数字编码也互为按位取反值；（8421BCD码加上3）余3循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有一位码元不同。

37负号的表示及BCD运算在符号－数值BCD表示中，符号位的编码是任意的；在十进制补码中，用0000表示正，1001表示负。结果大于9，再加6修正

38多位的十进制数与相应的8421BCD码之间的转换：00110000100100013091十进制数：对应的8421BCD码：

组合BCD码：每位十进制数字对应的BCD编码以四个二进制位来存放； （3091）10＝（0011000010010001）BCD

非组合BCD码：每位十进制数字对应的BCD编码以八个二进制位来存放，其中低四位存放真正的BCD码，高四位通常全为0；（3091）10＝（0000001100000000

0000100100000001）BCD注意：如无特别说明，本课程中的BCD码一概指组合的8421BCD码。BCD码有两种格式：组合BCD码与非组合BCD码

39Gray

（格雷码）格雷码的特点：任意两个相邻码组之间只有一位码元不同（0和最大数之间也只有一位不同），因此格雷码也称为循环码；这种编码在形成和传输时不易出错；最高位的0和1只改变一次。若以最高位的0和1的交界为轴，其他低位的代码以此轴对称，利用这一特点可以很容易地构成位数不同的格雷码；格雷码是一种无权码，不易直接进行运算，但可以很容易地与二进制进行换算；格雷码有许多形式，如余3循环码等；

40一种典型的格雷码两位格雷码000111100000

010110101101111

0110000000001001100100110011101010

10011001101111111101010101110011000三位格雷码四位格雷码00011110101101000110

100101111110010011001000000001011010110111101100

41格雷码（循环码）的求解方法已知某个数的二进制为：BnBn-1…Bi…B1B0,若其格雷码为GnGn-1…Gi…G1G0，则例：求(77)10的格雷码(77)10=(1001101)2则77的格雷码为1101011其中⊕为异或运算符号，运算规则：相异为1，相同为0

42格雷码（循环码）的求解方法已知某个数的二进制为：BnBn-1…Bi…B1B0,若其格雷码为GnGn-1…Gi…G1G0则

例：求格雷码(1110101100)G的二进制

(1011001000)B

43常用字符编码：ASCII码ASCII码即“美国国家标准信息交换码”的英文缩写，常用的有两种：1）ASCII-7编码用7位二进制编码表示一个字符，共可表示128个 不同的字符。通常使用时在最高位添0凑成8位二进制编码， 或根据 实际情况将最高位用做校验位。2）ASCII-8编码用8位二进制编码表示一个字符，共可表示256个不同的字符。本课程中不加声明时都指ASCII-7码。注意：

ASCII-7编码中0－9十个数字