【知识点解析】平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示思考探究已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，i，j分别为与x、y轴方向相同的单位向量．a＋b＝x1i＋y1j＋x2i＋y2ja–b＝x1i＋y1j–(x2i＋y2j)λa＝λ(x1i＋y1j)λa＝(λx1，λy1)那么a＋b=?a–b=?λa=?a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)a–b＝(x1

–x2，y1

–y2)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，＝(x1

–x2)i＋(y1

–y2)j，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．＝λx1i＋λy1j．平面向量线性运算的坐标表示在平面直角坐标系xOy中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

＝(x1，y1)，则

＝

＝(x2

–x1，y2

–y1)．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．＝(x2，y2)，思考探究平面向量线性运算的坐标表示例详解根据向量加减法和数乘运算的坐标表示直接求解.所以a＋b＝(1，2)＋(–3，4)因为a＝(1，2)，b＝(–3，4)a–b＝(1，2)

–(–3，4)3a–4b＝3×(1，2)–4×(–3，4)两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．＝(–2，6)，＝(4，–2)，＝(15，–10)．分析：已知a＝(1，2)，b＝(–3，4)，求向量a＋b，a–b，3a–4b的坐标．平面向量线性运算的坐标表示例设点C，D的坐标分别为

(x1，y1)，(x2，y2)．分析：详解设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意得＝(–3，–6)，又∵∴(x1＋1，y1–2)＝

×(3，6)，(–1–x2，2–y2)＝

×(–3，–6)，＝(x1＋1，y1–2)，＝(3，6)，＝(–1–x2，2–y2)，即(x1＋1，y1

–2)＝(1，2)，(–1

–x2，2

–y2)＝(1，2)，∴解得∴点C，D的坐标分别为(0，4)，(–2，0)，∴

＝(–2，–4)．然后根据列方程组求解．分别计算出的坐标.已知A(–1，2)，B(2，8)，

，求点C，D和向量

的坐标．平面向量线性运算的坐标表示知识梳理已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．a，b共线用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，向量a，b（b≠0）共线的充要条件是即

，充要条件存在实数λ，使a＝λbx1y2–x2y1＝0．x1y2–x2y1＝0．平面向量线性运算的坐标表示在平面直角坐标系中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），设点P的坐标为（x0，y0），则：由，解得

即

＝（x0–x1，y0–y1），＝（x2–x0，y2–y0），思考探究得OxyAB你能借助向量求出线段AB的中点P的坐标吗？P平面向量线性运算的坐标表示例详解先计算λa＋b，a＋λb，＝(3λ＋2，2λ–1)，根据题意：λa＋b＝(3λ，2λ)＋(2，–1)a＋λb＝(3，2)＋(2λ，–λ)∵λa＋b与a＋λb平行，∴(3λ＋2)(–λ＋2)–

(2λ＋3)(2λ–1)＝0，解得：λ＝±1．再根据向量共线的坐标运算进行求解．＝(2λ＋3，–λ＋2)，a＝(x1，y1)，b＝

(x2，y2)

已知a＝（3，2），b＝（2，–1），若λa＋b与a＋λb平行，求实数λ的值．平面向量线性运算的坐标表示例详解∵P(–3，0)，Q(1，4)，∵A(–1，2)，B(2，0)，C(x，3)，∵A，B，C三点共线，∴3×3–(x–2)(–2)

＝0，再由A，B，C三点共线，转化为向量共线，即

，∴

．∴

＝(3，–2)，

＝(x–2，3)，∴x＝–

．由中点坐标公式算得A点坐标，再根据向量共线的坐标表示