反比例函数常见几何模型

..反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=〔k≠0．其解析式有三种表示方法：=1\*GB3①〔；=2\*GB3②〔；=3\*GB3③2．反比例函数y=〔k≠0的性质〔1当k>0时函数图像的两个分支分别在第一,三象限内在每一象限内,y随x的增大而减小．〔2当k<0时函数图像的两个分支分别在第二,四象限内在每一象限内,y随x的增大而增大．〔3在反比例函数y=中,其解析式变形为xy=k,故要求k的值<也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积>.〔4若双曲线y=图像上一点〔a,b满足a,b是方程Z2－4Z－2=0的两根,求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2,又ab=k,∴k=－2,故双曲线的解析式是y=．〔5由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零,所以图像和x轴,y轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练模型一：如图,点A为反比例函数图象上的任意一点,且AB垂直于轴,则有例1：如图的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线y=在第一象限的交点,且,〔1求m的值〔2求的面积变式题1、如图所示,点,,在x轴上,且O==,分别过,,作y轴平行线,与反比例函数y=<x>0>的图像交于点,,,分别过点,,作x轴的平行线,分别与y轴交于点,,,连结,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、如图,点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为.模型二：ABDFMNxyO如图：点A、B是双曲线任意不重合的两点,直线AB交轴于M点,交轴于N点,再过A、B两点分别作轴于D点,ABDFMNxyODDFyxDCABOFE例2：如图,一次函数的图象与轴,轴交于A,B两点,与反比例函数的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作轴,轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE．有下列四个结论：=1\*GB3①；=2\*GB3②相似于；③△DCE≌△CDF；④其中正确的结论是．〔把你认为正确结论的序号都填上yxDCABOFE例3：一次函数的图象分别与轴、轴交于点,与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴,轴,垂足分别为；过点分别作轴,轴,垂足分别为与交于点,连接．〔1若点在反比例函数的图象的同一分支上,如图1,试证明：①；②．〔2若点分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图2,则与还相等吗？试证明你的结论．图1图2图1图1图2图1模型三：如图,已知反比例函数〔k≠0,x>0上任意两点P、C,过P做PA⊥x轴,交x轴于点A,过C做CD⊥x轴,交x轴于点D,则.例4：如图,在直角坐标系中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A<1,4>、B<4,1>两点,则△AOB的面积是______.例5：如图,在直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于A〔1,4、B〔3,m两点,则△AOB的面积是______.例6：如图1,已知直线与双曲线交于A、B两点,且点A的横坐标为4．

〔1求k的值；

〔2如图2,过原点O的另一条直线l交双曲线于C、D两点〔点C在第一象限且在点A的左边,当四边形ACBD的面积为24时,求点C的坐标．模型四：在矩形AOBC中,OB=a,OA=b,分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点〔不与B、C重合,过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E,则.例7：两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示,点P在的图象上,PC⊥x轴于点C,交的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交的图象于点B,当点P在的图象上运动时,以下结论：=1\*GB3①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点．课堂练习：一、选择题1、已知m<0,则函数与的图像如图,大致是〔A.B.C.D2、如图,点A在双曲线上,且OA=4,过点A作ACx轴,垂足为c,OA的垂直平分线交OC于B,则的周长为〔B.5C.D.3、如图,双曲线〔k>0经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D,若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的解析式为〔A.B.C.D.题3题4题54、如图,A,B是函数的图像上关于原点对称的任意两点,BC//x轴,AC//y轴,的面积记为S,则S〔A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB,AC分别平行于x轴,y轴,若双曲线y=〔k≠0与△ABC有交点,则k的取值范围是〔A．1<k<2B．1≤k≤3C．1≤k≤4D．1≤k<4二、填空题1、如图,点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为.2、如图,双曲线经过四边形OABC的顶点A、C,∠ABC＝90°,OC平分OA与轴正半轴的夹角,AB∥轴,将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C,B＇点落在OA上,则四边形OABC的面积是.3、如图,将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中,B〔2,0,∠AOB＝60°,点A在第一象限,过点A的双曲线为y=EQ\f<k,EQ\f<,>x>,在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.〔1当点O′与点A重合时,点P的坐标是.〔2设P〔t,0,当O′B′与双曲线有交点时,t的取值范围是.4、如图,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为〔,4,则△AOC的面积为.5、双曲线、在第一象限的图像如图,,过上的任意一点,作轴的平行线交于,交轴于,若,则的解析式是．课后习练一、填空题1、如图,直线y=kx〔k>0与双曲线y=交于A〔x1,y1,B〔x2,y2两点,则2x1y2－7x2y1的值等于_______．反比例函数y=的图像上有一点P〔a,b,且a,b是方程t2－4t－2=0的两个根,则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+无交点,则b的取值范围是______．4、反比例函数y=的图像经过点P〔a,b,其中a,b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根,那么点P的坐标是_______．5、如图,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3,则k＝___．ABABCDEyxO第5题图第6题图6、如图,已知点A是一