数学分析课件-21章重积分应用

一、曲面的面积设D

为可求面积的平面有界区域,

f

(

x,

y)

在

D

上由方程具有连续的一阶偏导数，现z

f

(

x,

y所表示的曲面S

的面积.(1)

对区域D

作分割T，把D

分成n

个小区域

i(i

1,

2,,n).这个分割相应地将曲面S

也分成n

个小曲面片Si

(i

1,

2, ,

n).(2)

在每个

Si

上任取一点Mi

,作曲面在这一点的切近用切平面Ai

代替小曲面片Si

,从而当T充分小时,有ii

1

i

1n

nS

S

iA

,平面

i

,并在

i

上取出一小块Ai

,使得Ai

与Si

在这里S,Si

,Ai

分别图21

38xyzS

:

z

f

(

x,

y)DOAiiiMSixy

平面上的投影都是

i(见图21-38).在点Mi

附ni1(3)

当

T

0

时,

定义和式

Ai

的极限(若存在)作为S

的面积.现在按照上述曲面面积的概念,来建立曲面面积的计算公式.为此首先计算Ai

的面积.由于切平面πi

的法向量就是曲面S在点Mi

(i,i,

i

)处的法向量n,记它与z轴的夹角为

i

,则的面积.表示S,Si1.i|

cos(n,

z)

|

|

cos

|

1

f

2

(

,

)

f

2

(

,

)x

i

i

y

i

i因为

Ai

在

xy

平面上的投影为

i

,所以i

x

i

i

y

i

i

icos

A

i

1

f

2

(

,

)

f

2

(

,

)

.i注意到和数n

nii1

i1i1

f

2

(

,

)

f

2

(

,

)x

i

i

y

i

i

A

是连续函数1

f

2

(x,y)

f

2

(x,y)

在有界闭域Dx

y上的积分和,

于是当

T

0

时,

上式左边趋于

S;而右边趋于22xy1

f

(

x,

y)

f

(

x,

y)

dxdy.D这就得1

f

2

(

x,

y)

f

2

(

x,

y)

dxdy,

(1)x

yDS

(2)|

cos(n,

z)

|S

1

dx

dy.D或另一形式:到曲面S

的面积计算公式:那一部分的面积.解据曲面面积公式,S

1

z2

z2

dxdy,x

yD1

2

y2

14,曲面方程2

其中D

是x2

y2

x,即

x

x2

y2例1

求圆锥z

x2

y在圆柱体内x2

y2x2

y2,xy,

z

xyx2是

z

y2

.

故

z42dxdy

2D

2

π.S

1

z2

z2

2,x

y若空间曲面S

由参数方程D参数曲面的面积公式x

x(u,v),y

y(u,v),z

z(u,v),(u,v)

D

(3)表示，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D

上具有连续的一阶偏导数,且

(

y,

z)

2

(z,

x)

2

(

x,

y)

2

(u,v)

(u,v)

(u,v)

0,

则曲面S

在点(x,y,z)的法线方向为n

(

y,

z)

,

(z,

x)

,

(

x,

y)

.

(u,v)

(u,v)

(u,v)

记

(

x,

y)

2

(z,

x)

2

(

y,

z)

2W

(u,v)

(u,v)

(u,v)

(u,

v)

(

x2

y2

z2

)(

x2

y2

z2

)

(

x

x

y

y

z

z

)2

,u

u

u

v

v

v

u

v

u

v

u

vn

与z

轴夹角的余弦则为其中E

x2

y2

z2

,u

uF

xu

xv

yu

yv

zuzv

,G

x2

y2

z2

.v

vEG

F

2

(

x,

y)

1,(4)(u,v)cos(n,

z)

(

x,

y)

W

(u,v)1(u,v)(u,v)当(x,y)

0

时,对公式(2)

作变换:|

cos(n,

z)

|x

x(u,v则有S

1

dx

dyD|

cos(n,

z)

|

(

x,

y)

1

(

x,

y)

dudv.D由(4),便得参数曲面(3)的面积公式：EG

F

2

dudv.(5)DS

例2

求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积（图21-39中阴影部分).

解设球面的参数方程为:x

R

cos

cos

,y

R

cos

sin

,z

R

sin

,其中

R

是球面半径.这里是求当1

2

,1

2

时球面上的面积.由于图21

39xyzO

2122R2

cos2

,R

,

F

0,

G

E

y2

z

所以EG

F

2

R2

cos

.由公式(5)即得所求曲面的面积:222R

cos

dS

11d注在

R2

(

)(sin

sin

).2

1

2

1曲线的弧长时,

曾用弧内接折线长度的极限来定义(当各段的长趋于零时),但能否类似地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积呢?

曾举出一个反例说明这样的定义方法是不可行的，对此读者可参见有关的数学分析（如菲赫

尔茨《微积分学

》中译本第三卷第二分册).在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面的面积公式，下面用二重积分给予严格证明.*例3

设平面光滑曲线的方程为y

f

(

x),

x

[a,b]

(

f

(

x)

0).求证此曲线绕x

轴旋转一周得到的旋转面的面积为S

22f

(

x) 1

f

(

x)dx.ba证由于上半旋转面的方程为z

f

2

(x)

y2

,

因此f2

(

x)

y2f

(

xf

(xyz

f

2

(

x)

f

2

(

x)

f

2

(

x)1

z2

z2

x

yf

2

(

x)

y2.f

2

(

x)

f

2

(

x)

f

2

(

x)f

(

x

)f2

(

x)

y2

f

(

x

)dxdyba

S

2f

(

x

)0f

(

x)y2f2

(

x)1

f

2

(

x)

y

d

f

(

x)

1

ba

4

dx

121

t

20

1

dtba

4f

(

x) 1

f

(

x)

dx2

2baf

(

x) 1

f

(

x)

dx.不妨设

f

(x)

0,x

[a,b],则二、重

心设密度函数为

(x,y,z)的空间物体V，

(x,y,z)在V

上连续.为求得

V

的重心坐标,先对V

作分割

T,i是小块

V

的质量可用

(i

,i

,

i

)Vi近似代替,若把每一块看作质量集中在

(i

,i

,

i

)的质点时,整个物体就可用这n个质点的质点系来近似代替.由质点系的重心坐标公式为在属于T

的每一小块Vi上任取一点

(i,i,

i

),于nnnx

i

1

,i

(i,i

,

i

)Vi

(i

,i

,

i

)Vii

1nnny

i

1

,i

(i

,i

,

i

)Vi,

(i

,i

,

i

)Vii

1nnn

i

(i

,i

,

i

)Vi

i

1

(i

,i

,

i

)Vii

1z

的重心坐标:

x

(

x,

y,

z)dVx

V

,

(

x,

y,

z)dVV

y

(

x,

y,

z)dVy

V

,

(

x,

y,

z)dVVz

V

.

z

(

x,

y,

z)dV

(

x,

y,

z)dVV当物体V

的密度均匀分布时,即

为常数时，则有当

T

自然地可把它们的极限定义作为Vx

1V

V

VVV

V

xdV

,

y

1

ydV

,

z

1

zdV

.x

D

,y

D

.同样可以得到,密度函数为

(x,y)的平面薄板D

的重心坐标:

x

(

x,

y)d

y

(

x,

y)d

(

x,

y)dD

(

x,

y)dD当

为常数时，则有x

1

xd

,D

DD

Dy

1

yd

.例4

求密度均匀的上半椭球体的重心.x2

y2

z2

1,z

0

表示.借助对b2

c2解设椭球体由a2称性知道

x

0又由

为常数,所以

z

dV.23

z

dxdydzVπabcz

V

dVV由§5

例5

已知2

abc

3c

,3

84z

abc2故得4

z

dxdydz

abc2

,V8即求得上半椭球体的重心坐标为(0,0,3c

).三、转动惯量质点

A

对于轴

l

的转动惯量为

J

mr

2

,

其中m

是A

的质量,r

是A

与l

的距离.现在

空间物体

V

的转动惯量问题,

仍然采用前面的办法,把

V

看作由

n个质点组成的质点系，然后用取极限的方法求得

V

的转动惯量.设

(x,y,z)为V

的密度函数,它在V

上连续.照例对V

作分割T,在属于T

的每一小块Vi

上任取一点当以质点系(i

,i

,

i

),i

1,2,质点系对于x

轴的转动惯量是2

2

)

(

,

,

)V

.i

i

i

i

ix

,i

1nJ令

T

0,

上述和式的极限就是V

对于x

轴的转动动惯量:Jx

(

y

z

)(

x,

y,

z)dV

.2

2V(i

,i

,

i

),以(i

,i

,

i

)Vi近似替代Vi

的质量.,n近似替代V

时,类似可得V

对于y

轴与z

轴的转动惯量分别为J

y

(z

x

)(

x,

y,

z)dV

,2

2VJz

(

x

y

)(

x,

y,

z)dV

.2

2V同理,物体V对于坐标平面的转动惯量分别为Jxy

z

(

x,

y,

z)dV

,2VJ

yz

x

(

x,

y,

z)dV

,2VJzx

y

(

x,

y,

z)dV

.2V同样地,平面薄板D

对于坐标轴的转动惯量为Jx

y

(

x,

y)d

,

J

y

x

(

x,

y)d

;2

2D

D平面薄板D

对于轴l

的转动惯量为Jl

r

(

x,

y)(

x,

y)d

,2D其中r(x,y)为D

中点(x,y)到l

的距离.例5

求密度均匀的圆环

D

对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量(图21-40).解设圆环D

为R2

x2

y2

R2

,1

2密度为

,则D

中任一点(

x与z

轴的距离平方2R12J

(

x2D230

y

)d

dr

drR图21

40xyzO为x2

y2

.于是转动惯量为2

1

2

1

(R4

R4

)

m

(

R2

R2

),例6

求均匀圆盘

D

对其直径的转动惯量(图21-41).解设圆盘D

为x2

y2

R2

,密度为

,求对于y

轴的转动惯量.由于D

内任一点(

xJ

与y

轴的距离为x

,故yR

x图21

41DO其中m

(为圆环的质量.2

2222200

x

d

d(r

cos

)

r

drR

D422300

πRcos

d

r

dr

rdr

4

4

1

mR2

,R

其中m

为圆盘的质量.例7

设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，试求它对于切平面的转动惯量.解设球体由不等式y2

z2

R2

表示;密度函数为kx2

y2

z2

,

k

为比例常数;取切平面方程为x

R.

则球体对于此平面的转动惯量为

x)2

dxdydzVJ

k

2ππ000ddR(R

r

sin

cos

)2

r

3

sindr

k2π2π30

kR2000dr

drsin

d

2kRcosd

R2π4225300000r

drsin

d

kcos

dr

drsin

d

,RR9J

11

k

R6

.经详细计算,可得四、引

力V

对

外单位质点A求密度为

(x,y,z)的的引力.设A

的坐标为(

,

,

),V

中点的坐标用(x,y,z)表示,现用微元法来求

V

对A

的引力.V

中质量微元对A

的引力在坐标轴上的投影为xyr

3

r

3dF

k

x

dV

,

dF

k

y

d