复杂电力系统静态稳定分析课件

NorthChinaElectricPowerUniversityDepartmentofElectricalEngineeringBaoding2008.09-12

电力系统稳定性分析NorthChinaElectricPowerUni目录

一．概述二．复杂电力系统静态稳定分析

四．电力系统低频振荡分析及解决方法

三．复杂电力系统暂态稳定性分析五．电力系统电压稳定性分析及处理措施

六．电力系统中、长期稳定性研究

目录一．概述二．复杂电力系统静态稳定分析四．电力系统低第二章复杂电力系统静态稳定分析

一．电力系统数学模型线性化

二．电力系统线性化状态方程

三．复杂电力系统静态稳定判断第二章复杂电力系统静态稳定分析一．电力系统数学模型线性化第一节电力系统数学模型线性化

电力系统静态稳定性分析研究电力系统在某个运行工况下受到小干扰后电力系统能否保持同步运行。由于是小扰动，因此系统受扰动后其运行点偏离平衡点不远，故在分析时可用系统方程的一次近似方程代替原非线性方程，简化分析的难度。在电力系统稳定分析时，根据研究的重点和深度不同，所涉及的电力系统各部件的方程也不同。一般有以下方程：第二章复杂电力系统静态稳定分析

第一节电力系统数学模型线性化第二章复杂电力系统静态稳定分一、同步机组转子运动方程

研究电力系统小干扰稳定性的系统状态方程必须有能反映同步机组转速和角度的各同步机组的转子运动方程：(2-1)第二章复杂电力系统静态稳定分析

一、同步机组转子运动方程第二章复杂电力系统静态稳定分析式中：是额定同步电角速度；

是第台同步机组的惯性时间常数，用秒表示；是第台同步机组相对于参考点的电角度；第二章复杂电力系统静态稳定分析

式中：是额定同步电角速度；第二章复杂电力

是第台同步机组的电角速度，用标幺值表示；是第台同步机组的机械功率，用标幺值表示；是第台同步机组的电磁功率，用标幺值表示；第二章复杂电力系统静态稳定分析

是第台同步机组的电角速度，用标幺值表

即使在暂态过程，同步机组的角速度变化也不大，可以近似地认为转矩的标幺值等于功率的标幺值。因此用和分别代替机械转矩和电磁转矩。第二章复杂电力系统静态稳定分析

即使在暂态过程，同步机组的角速度变化也不大，可以将(2-1)式在运行点线性化。令：，，，

代入(2-1)式，整理得：

(2-2)

第二章复杂电力系统静态稳定分析

将(2-1)式在运行点线性化。令：第二章复杂电力系统(2-2)式不是状态方程，因为在(2-2)式中，除了能作为状态变量的，及其变化率外，还有其它中间变量和。要把这些中间变量消除后，相应的方程才能构成状态方程。第二章复杂电力系统静态稳定分析

(2-2)式不是状态方程，因为在(2-2)式中，除了能二、原动机功率方程分析电力系统小干扰稳定性时，通常有以下简化条件：⑴原动机功率（转矩）恒定，即

；⑵用恒定阻抗代替负荷；⑶不计电力网络内的电磁暂态过程。第二章复杂电力系统静态稳定分析

二、原动机功率方程第二章复杂电力系统静态稳定分析在这些简化条件下，根据(2-2)式可知：转子上不平衡力矩的出现是由于电磁功率的变化引起的。因此需知电磁功率的方程。第二章复杂电力系统静态稳定分析

在这些简化条件下，根据(2-2)式可知：转子上不平衡力

在电力系统小干扰稳定性分析时，根据研究的需要，发电机采用不同精度的模型。对于不同的发电机模型，电磁功率的计算有不同的方式。因而相应的系统状态方程也有所不同。第二章复杂电力系统静态稳定分析

在电力系统小干扰稳定性分析时，根据研究的需第二节电力系统线性化状态方程一、发电机采用模型Ⅳ的多机系统状态方程

当发电机采用比例式励磁调节器，按电压偏差调节励磁电压时，发电机可以近似地用模型Ⅳ表示。这种隐极化的发电机模型，可以简化多机系统小干扰稳定性的分析，计算。第二章复杂电力系统静态稳定分析

第二节电力系统线性化状态方程第二章复杂电力系统静态稳定分多机系统小干扰稳定性的计算步骤：⑴确定待分析的电力系统某一运行方式并作潮流计算，算出系统各节点的电压相量和各发电机输出功率（换算成节点注入电流）；⑵根据给定的节点负荷功率和对应的节点电压，求出代替负荷功率的导纳。即用恒定导纳（阻抗）代替负荷。(2-3)第二章复杂电力系统静态稳定分析

多机系统小干扰稳定性的计算步骤：第二章复杂电力系统静态稳定⑶

修正网络方程。设系统原有个节点，其中有个发电机节点，且把发电机节点排在前面。原网络方程为：

(2-4)式中：是网络节点注入电流；

是网络节点电压。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑶修正网络方程。设系统原有个节点，其中有个发电机节

在所有发电机节点增加一支路，支路导纳为发电机阻抗的倒数，支路末端是新增的发电机电势节点。发电机电势节点的节点注入电流为原发电机节点的节点注入电流。原发电机节点的节点注入电流现在为0，即节点成了联络节点。第二章复杂电力系统静态稳定分析

在所有发电机节点增加一支路，支路导纳负荷节点用恒定阻抗代替负荷后，其节点注入电流也为0，即负荷节点也成了联络节点。这样，网络方程的原个节点就都成了联络节点。第二章复杂电力系统静态稳定分析

负荷节点用恒定阻抗代替负荷后，其节点注入电流也为0，

包括发电机电势节点的新的网络矩阵为阶。新网络矩阵为：

(2-5)式中：是发电机电势节点注入电流；是发电机电势。第二章复杂电力系统静态稳定分析

包括发电机电势节点的新的网络矩阵为阶

是在式(2-4)中的发电机节点增加发电机导纳，在负荷节点增加负荷导纳后形成的导纳阵，为阶；第二章复杂电力系统静态稳定分析

第二章复杂电力系统静态稳定分析

是原网络中的发电机节点与对应的发电机电势间的互导纳（）组成的导纳阵，为阶；；是各发电机电势节点的自导纳（）组成的对角阵，为阶。第二章复杂电力系统静态稳定分析

是原网络中的发电机节点与对应⑷消去联络节点。由(2-5)式，有：解出：(2-6)将(2-6)式代入(2-5)第二式，整理得：(2-7)式中：由发电机电势节点的自导纳和互导纳组成。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑷消去联络节点。第二章复杂电力系统静态稳定分析⑸发电机电磁功率表达式。

由式(2-7)，有：

(2-8)第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑸发电机电磁功率表达式。第二章复杂电力系统静态稳定分析式中：是自导纳的模；是互导纳的模；是互导纳的阻抗角；是电势与电势间的相对功角。第二章复杂电力系统静态稳定分析

式中：是自导纳的模；是互导纳的模；是互导纳⑹系统状态方程。(2-8)式是发电机输出有功功率的表达式。即为(2-1)式中的。将(2-8)式代入(2-1)式，消去。此时，方程中除了状态变量，外，，都是常数，没有其它中间变量。因而可以构成状态方程。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑹系统状态方程。第二章复杂电力系统静态稳定分析取状态变量，。可得状态方程：展开为：

(2-9)第二章复杂电力系统静态稳定分析

取状态变量，第二章复杂⑺系统线性化状态方程。根据(2-8)式(2-10)

第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑺系统线性化状态方程。第二章复杂电力系统静态稳定分析在(2-9)式中，取，，(2-11)

将(2-10)和(2-11)代入(2-9)式,有：式中：第二章复杂电力系统静态稳定分析

在(2-9)式中，取，，第二章写成矩阵形式：

(2-12)(2-12)式即为系统线性化状态方程。求出系数矩阵的特征根，然后根据特征根就可判断系统的稳定性。第二章复杂电力系统静态稳定分析

写成矩阵形式：第二章复杂电力系统静态稳定分析用(2-12)式计算特征根时会得到一个零根。这个零根的出现是由于(2-12)式中使用了绝对角偏移，如果采用相对角偏移（，是基准节点）,则不会出现这个零根。设以发电机节点为基准节点，做相对角偏移（）。第二章复杂电力系统静态稳定分析

用(2-12)式计算特征根时会得到一个零根。这个零根由于（），，所以

(2-13)由于，所以第二章复杂电力系统静态稳定分析

由于（），，

(2-14)

第二章复杂电力系统静态稳定分析

(2-14)第二章复杂电力系统静态稳定分析取，（）。从(2-13)，(2-14)可得：（）

（）第二章复杂电力系统静态稳定分析

取，（写成矩阵形式：

(2-15)(2-15)式有个方程，用(2-15)式计算特征根时不会出现上述零根。第二章复杂电力系统静态稳定分析

写成矩阵形式：第二章复杂电力系统静态稳定分析二、发电机采用模型Ⅲ的多机系统状态方程

发电机的模型Ⅲ较之模型Ⅳ更准确。但此时要计及发电机的凸极效应，发电机的电磁功率表达式不像(2-8)式那么简单。第二章复杂电力系统静态稳定分析

二、发电机采用模型Ⅲ的多机系统状态方程第二章复杂电力系统静在计算系统静态稳定性时，为计算简便起见，不去推导系统的非线性方程，然后再线性化。而是直接根据线性化的条件，推导线性化的方程。另外，由于这时要考虑发电机的轴分量和轴分量，而每台发电机的轴方向和轴方向又不一样，因此有坐标转换的问题。计算步骤如下：第二章复杂电力系统静态稳定分析

在计算系统静态稳定性时，为计算简便起见，不去推导系统⑴确定待分析的电力系统某一运行方式并作潮流计算，算出系统各节点的电压相量和各发电机输出功率（换算成节点注入电流）；第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑴确定待分析的电力系统某一运行方式并作潮流计算，算出系统各⑵根据给定的节点负荷功率和对应的节点电压，求出代替负荷功率的导纳。即用恒定导纳（阻抗）代替负荷。负荷节点的节点注入电流

，即(2-16)其增量形式为：写成矩阵形式：(2-17)第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑵根据给定的节点负荷功率和对应的节点电压，⑶列出线性化方程式：转子运动方程式

(2-18)电磁功率方程式(2-19)

第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑶列出线性化方程式：第二章复杂电力系统静态稳定分析发电机定子回路方程式其增量形式为：即

(2-20)第二章复杂电力系统静态稳定分析

发电机定子回路方程式第二章复杂电力系统静态稳定分析⑷列出网络方程式(2-21)式中为节点注入电流列向量，为节点电压列向量。网络节点包括负荷节点，发电机节点和联络节点。在有个发电机的电力系统中，每台发电机都有(2-18)式和(2-19)式的三个方程式，因此共有个。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑷列出网络方程式(2-21)第二(2-21)式中的和是经过潮流计算得到的相对于某一公共坐标的值，而(2-18)式和(2-19)式的是以各自发电机的轴为坐标的值。为了(2-18)式，(2-19)式与(2-21)式联立求解，这些变量必须转换到同一坐标系。第二章复杂电力系统静态稳定分析

(2-21)式中的和是经过潮流计算得到的相对⑸坐标变换图1-4表示坐标与坐标的相互关系，轴至轴的夹角为。由图有：（2-22)写成矩阵形式：式中：是坐标变换矩阵。且有。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑸坐标变换第二章复杂电力系统静态稳定分析对（2-22）式线性化：

（2-23）

（2-24）写成矩阵形式：而第二章复杂电力系统静态稳定分析

对（2-22）式线性化：第二章复杂电力系统静态稳定分析⑹修正网络方程式（2-21）式所示网络方程式中，各电压和电流值是对应于公共坐标的值，将其表示为轴分量和轴分量，即，。导纳按（2-17）式的方法表示。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑹修正网络方程式第二章复杂电力系统静态稳定分析写成增量形式为：

（2-25）

第二章复杂电力系统静态稳定分析

写成增量形式为：第二章复杂电力系统静态稳定分析式中：，是网络节点间的导纳的实部和虚部。设节点是负荷节点，则有：第二章复杂电力系统静态稳定分析

式中：，是网络节点间的导纳的实部和虚部。第二章复杂将其代入（2-25）式,合并同类项，有：式中：，。第二章复杂电力系统静态稳定分析

将其代入（2-25）式,合并同类项，有：第二章复杂电力这样一来，网络中原来的负荷节点就转变为联络节点。消去联络节点，得：

（2-26）式中：是各发电机节点电压偏移量的实部和虚部分量组成的列向量，是各发电机节点注入电流偏移量的实部和虚部分量组成的列向量。第二章复杂电力系统静态稳定分析

这样一来，网络中原来的负荷节点就转变为联络节点。消去联络对（2-26）式做坐标变换，变换到坐标系。有：（2-27）（2-28）其中：，，，，第二章复杂电力系统静态稳定分析

对（2-26）式做坐标变换，变换到坐标系将（2-27），（2-28）式代入（2-26）式，得：

（2-29）式中：，第二章复杂电力系统静态稳定分析

将（2-27），（2-28）式代入（2-26）式，得⑺初值计算计算角度：经过潮流计算已知坐标下发电机节点的电压和注入电流，设发电机为凸极机，根据公式定出轴方向（和轴方向）。算出：（2-30）第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑺初值计算第二章复杂电力系统静态稳定分析计算和的轴分量：，

（2-31），（2-32）第二章复杂电力系统静态稳定分析

计算和的轴分量：第二章复杂电力系统静⑻系统状态方程对于第台发电机，有：转子运动方程式（2-33）（2-33）式中，除了状态变量外，还有中间变量。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑻系统状态方程第二章复杂电力系统静态稳定分析为消除，引入：利用关系式(2-20)，消去。

（2-34）第二章复杂电力系统静态稳定分析

为消除，引入：第二章复杂电力系统静态稳定分析（2-34）式中又出现了发电机节点电压的轴和轴分量，为此，引入网络方程式（2-29）和发电机节点电压与注入电流的关系式(2-20)第二章复杂电力系统静态稳定分析

（2-34）式中又出现了发电机节点电压的轴和轴分量，这4组方程式联立，写成矩阵形式：

（2-35）第二章复杂电力系统静态稳定分析

这4组方程式联立，写成矩阵形式：第二章复杂电力系统静态稳定式中：，从（2-35）式中最后一组方程，有。代入（2-29）式，得：第二章复杂电力系统静态稳定分析

式中：，第二章复杂电力系统静态稳整理得：（2-36）将（2-36）式代入（2-35）式第二组方程：有：

（2-37）第二章复杂电力系统静态稳定分析

整理得：（2-36）第（2-37）式与（2-35）式第一组方程构成了系统线性化状态方程

（2-38）根据（2-38）式，求出系数矩阵的特征根，然后根据特征根就可判断系统的稳定性。第二章复杂电力系统静态稳定分析

（2-37）式与（2-35）式第一组方程构成了系统线性化状态同样，由于(2-38)式使用的是绝对角偏移，所以计算特征根时也会得到一个零根。解决办法是采用相对角偏移（，是基准节点）,具体方法同前类似。第二章复杂电力系统静态稳定分析

同样，由于(2-38)式使用的是绝对角偏移三、发电机采用模型Ⅱ的多机系统状态方程

此时不能再假设或，必须加入AER系统及励磁绕组的动态方程。考虑励磁自动调节时构造多机系统状态方程的方法与时基本一样，不同之处有以下几方面：第二章复杂电力系统静态稳定分析

三、发电机采用模型Ⅱ的多机系统状态方程第二章复杂电力系统静⑴因为考虑励磁自动调节，所以，即，所以的增量形式为：，即

（2-39）第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑴因为考虑励磁自动调节，所以，即第二章复杂电力系统⑵（2-39）式中出现了一个新变量，为计及的变化规律，须加上励磁绕组的动态方程。因为，即，所以有：（2-40）第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑵（2-39）式中出现了一个新变量，为计及的变化规⑶（2-40）式中又多出了一个新变量，是励磁控制规律的函数，是系统运行变量。如是比例式励磁控制规律，再考虑到通道的滞后作用，有：

（2-41）第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑶（2-40）式中又多出了一个新变量，⑷（2-41）式中有一个变量，是发电机机端电压，也可以是发电机节点电压。设是发电机节点电压，即。取增量形式：（2-42）在新增的方程中，（2-40），（2-41）式是一阶微分方程。所以，这时候系统状态方程的阶数要增加。新增状态变量可选为和。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑷（2-41）式中有一个变量，是发电机机端电压，也可⑸相关方程的修正对于第台发电机，有：转子运动方程式

（2-43）第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑸相关方程的修正第二章复杂电力系统静态稳定分析电磁功率方程式

利用关系式(2-39)，消去。

（2-44）第二章复杂电力系统静态稳定分析

电磁功率方程式

利用关系式(2-39)，消去对于（2-44）式中的，有关系式

将代入，有第二章复杂电力系统静态稳定分析

对于（2-44）式中的，有关系式

将

（2-45）

式中:

第二章复杂电力系统静态稳定分析

对于（2-45）式中的，

有

和

即

（2-46）第二章复杂电力系统静态稳定分析

对于（2-45）式中的，

有

和

即

（2-44）～（2-46）式中有发电机节点电压的轴和轴分量，为此，引入网络方程式

（2-47）

和发电机节点电压与注入电流的关系式

（2-48）第二章复杂电力系统静态稳定分析

联立写成矩阵形式：

（2-49）第二章复杂电力系统静态稳定分析

联立写成矩阵形式：

式中：;;;;;;;;;；。第二章复杂电力系统静态稳定分析

式中：;;第二章复从（2-49）式中最后一组方程，有

。

代入（2-49）式中倒数第二组方程，得：

整理得：（2-50）

将（2-50）式代入（2-49）式第二组方程，

有：

（2-51）第二章复杂电力系统静态稳定分析

从（2-49）式中最后一组方程，有

将（2-50）式代入（2-49）式第三组方程，有：

（2-52）第二章复杂电力系统静态稳定分析

将（2-50）式代入（2-49）式第三组方程第二章复杂电力将（2-50）式代入（2-49）式第四组方程，有

（2-53）第二章复杂电力系统静态稳定分析

将（2-50）式代入（2-49）式第四组方程第二章复杂电力

将（2-49）式第一组方程和（2-51）～（2-53）式联立：

（2-54）

第二章复杂电力系统静态稳定分析

将（2-49）式第一组方程和（2-51）～（2-5

根据（2-54）式，求出系数矩阵的特征根，再根据特征根就可判断系统的稳定性。同样，由于(2-54)式使用的是绝对角偏移，所以计算特征根时也会得到一个零根。解决办法是采用相对角偏移（，是基准节点）,方法类似。第二章复杂电力系统静态稳定分析

根据（2-54）式，求出系数矩阵的特征根，第三节复杂电力系统静态稳定判断根据系统线性化状态方程的特征根，就可判断系统的稳定性。当所有特征根都具有负实部时，系统就是稳定的。受到扰动后，系统的运行点最终都能趋近于稳定平衡点。第二章复杂电力系统静态稳定分析

第三节复杂电力系统静态稳定判断第二章复杂电力系统静态稳定当系统的特征根至少有一个具有正实部时，系统就是不稳定的。受到扰动后，系统的运行点将趋于发散；当系统有一个特征根实部为零时，系统处于稳定边缘。受到扰动后，系统的运行点将等幅振荡，从电力系统运行的角度来说，这种现象也属于不稳定。第二章复杂电力系统静态稳定分析

当系统的特征根至少有一个具有正实部时，系统就是有了系统的线性化状态方程后，就能写出系统的特征方程，求出系统的特征根，据此判断系统的稳定性。但是，由于电力系统的规模巨大，电力系统状态方程的阶数较高，一般能达到几百甚至上万阶。这么大的系数矩阵，其特征根的计算是十分困难的。因此要采取其它特殊方法来判断系统的稳定性。第二章复杂电力系统静态稳定分析

有了系统的线性化状态方程后，就能写出系统的特征方程，常用的方法一是采用降阶的方法，选择与研究相关的模式进行计算，这种方法将在第四章介绍。另一种方法是不计算系统的特征根，而是利用系统特征方程的系数与特征根的关系，根据系统特征方程的系数判断系统的稳定性，常用的有劳斯（Routh）判据和胡尔维茨判据，这些在其它课程已有介绍，这里就不再重复了。第二章复杂电力系统静态稳定分析

常用的方法一是采用降阶的方法，选择与研究相关的模式进电力工程系DepartmentofElectricalEngineeringNorthChinaElectricPowerUniversityThanks

Http\\\ee电力工程系DepartmentofElectricalNorthChinaElectricPowerUniversityDepartmentofElectricalEngineeringBaoding2008.09-12

电力系统稳定性分析NorthChinaElectricPowerUni目录

一．概述二．复杂电力系统静态稳定分析

四．电力系统低频振荡分析及解决方法

三．复杂电力系统暂态稳定性分析五．电力系统电压稳定性分析及处理措施

六．电力系统中、长期稳定性研究

目录一．概述二．复杂电力系统静态稳定分析四．电力系统低第二章复杂电力系统静态稳定分析

一．电力系统数学模型线性化

二．电力系统线性化状态方程

三．复杂电力系统静态稳定判断第二章复杂电力系统静态稳定分析一．电力系统数学模型线性化第一节电力系统数学模型线性化

电力系统静态稳定性分析研究电力系统在某个运行工况下受到小干扰后电力系统能否保持同步运行。由于是小扰动，因此系统受扰动后其运行点偏离平衡点不远，故在分析时可用系统方程的一次近似方程代替原非线性方程，简化分析的难度。在电力系统稳定分析时，根据研究的重点和深度不同，所涉及的电力系统各部件的方程也不同。一般有以下方程：第二章复杂电力系统静态稳定分析

第一节电力系统数学模型线性化第二章复杂电力系统静态稳定分一、同步机组转子运动方程

研究电力系统小干扰稳定性的系统状态方程必须有能反映同步机组转速和角度的各同步机组的转子运动方程：(2-1)第二章复杂电力系统静态稳定分析

一、同步机组转子运动方程第二章复杂电力系统静态稳定分析式中：是额定同步电角速度；

是第台同步机组的惯性时间常数，用秒表示；是第台同步机组相对于参考点的电角度；第二章复杂电力系统静态稳定分析

式中：是额定同步电角速度；第二章复杂电力

是第台同步机组的电角速度，用标幺值表示；是第台同步机组的机械功率，用标幺值表示；是第台同步机组的电磁功率，用标幺值表示；第二章复杂电力系统静态稳定分析

是第台同步机组的电角速度，用标幺值表

即使在暂态过程，同步机组的角速度变化也不大，可以近似地认为转矩的标幺值等于功率的标幺值。因此用和分别代替机械转矩和电磁转矩。第二章复杂电力系统静态稳定分析

即使在暂态过程，同步机组的角速度变化也不大，可以将(2-1)式在运行点线性化。令：，，，

代入(2-1)式，整理得：

(2-2)

第二章复杂电力系统静态稳定分析

将(2-1)式在运行点线性化。令：第二章复杂电力系统(2-2)式不是状态方程，因为在(2-2)式中，除了能作为状态变量的，及其变化率外，还有其它中间变量和。要把这些中间变量消除后，相应的方程才能构成状态方程。第二章复杂电力系统静态稳定分析

(2-2)式不是状态方程，因为在(2-2)式中，除了能二、原动机功率方程分析电力系统小干扰稳定性时，通常有以下简化条件：⑴原动机功率（转矩）恒定，即

；⑵用恒定阻抗代替负荷；⑶不计电力网络内的电磁暂态过程。第二章复杂电力系统静态稳定分析

二、原动机功率方程第二章复杂电力系统静态稳定分析在这些简化条件下，根据(2-2)式可知：转子上不平衡力矩的出现是由于电磁功率的变化引起的。因此需知电磁功率的方程。第二章复杂电力系统静态稳定分析

在这些简化条件下，根据(2-2)式可知：转子上不平衡力

在电力系统小干扰稳定性分析时，根据研究的需要，发电机采用不同精度的模型。对于不同的发电机模型，电磁功率的计算有不同的方式。因而相应的系统状态方程也有所不同。第二章复杂电力系统静态稳定分析

在电力系统小干扰稳定性分析时，根据研究的需第二节电力系统线性化状态方程一、发电机采用模型Ⅳ的多机系统状态方程

当发电机采用比例式励磁调节器，按电压偏差调节励磁电压时，发电机可以近似地用模型Ⅳ表示。这种隐极化的发电机模型，可以简化多机系统小干扰稳定性的分析，计算。第二章复杂电力系统静态稳定分析

第二节电力系统线性化状态方程第二章复杂电力系统静态稳定分多机系统小干扰稳定性的计算步骤：⑴确定待分析的电力系统某一运行方式并作潮流计算，算出系统各节点的电压相量和各发电机输出功率（换算成节点注入电流）；⑵根据给定的节点负荷功率和对应的节点电压，求出代替负荷功率的导纳。即用恒定导纳（阻抗）代替负荷。(2-3)第二章复杂电力系统静态稳定分析

多机系统小干扰稳定性的计算步骤：第二章复杂电力系统静态稳定⑶

修正网络方程。设系统原有个节点，其中有个发电机节点，且把发电机节点排在前面。原网络方程为：

(2-4)式中：是网络节点注入电流；

是网络节点电压。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑶修正网络方程。设系统原有个节点，其中有个发电机节

在所有发电机节点增加一支路，支路导纳为发电机阻抗的倒数，支路末端是新增的发电机电势节点。发电机电势节点的节点注入电流为原发电机节点的节点注入电流。原发电机节点的节点注入电流现在为0，即节点成了联络节点。第二章复杂电力系统静态稳定分析

在所有发电机节点增加一支路，支路导纳负荷节点用恒定阻抗代替负荷后，其节点注入电流也为0，即负荷节点也成了联络节点。这样，网络方程的原个节点就都成了联络节点。第二章复杂电力系统静态稳定分析

负荷节点用恒定阻抗代替负荷后，其节点注入电流也为0，

包括发电机电势节点的新的网络矩阵为阶。新网络矩阵为：

(2-5)式中：是发电机电势节点注入电流；是发电机电势。第二章复杂电力系统静态稳定分析

包括发电机电势节点的新的网络矩阵为阶

是在式(2-4)中的发电机节点增加发电机导纳，在负荷节点增加负荷导纳后形成的导纳阵，为阶；第二章复杂电力系统静态稳定分析

第二章复杂电力系统静态稳定分析

是原网络中的发电机节点与对应的发电机电势间的互导纳（）组成的导纳阵，为阶；；是各发电机电势节点的自导纳（）组成的对角阵，为阶。第二章复杂电力系统静态稳定分析

是原网络中的发电机节点与对应⑷消去联络节点。由(2-5)式，有：解出：(2-6)将(2-6)式代入(2-5)第二式，整理得：(2-7)式中：由发电机电势节点的自导纳和互导纳组成。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑷消去联络节点。第二章复杂电力系统静态稳定分析⑸发电机电磁功率表达式。

由式(2-7)，有：

(2-8)第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑸发电机电磁功率表达式。第二章复杂电力系统静态稳定分析式中：是自导纳的模；是互导纳的模；是互导纳的阻抗角；是电势与电势间的相对功角。第二章复杂电力系统静态稳定分析

式中：是自导纳的模；是互导纳的模；是互导纳⑹系统状态方程。(2-8)式是发电机输出有功功率的表达式。即为(2-1)式中的。将(2-8)式代入(2-1)式，消去。此时，方程中除了状态变量，外，，都是常数，没有其它中间变量。因而可以构成状态方程。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑹系统状态方程。第二章复杂电力系统静态稳定分析取状态变量，。可得状态方程：展开为：

(2-9)第二章复杂电力系统静态稳定分析

取状态变量，第二章复杂⑺系统线性化状态方程。根据(2-8)式(2-10)

第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑺系统线性化状态方程。第二章复杂电力系统静态稳定分析在(2-9)式中，取，，(2-11)

将(2-10)和(2-11)代入(2-9)式,有：式中：第二章复杂电力系统静态稳定分析

在(2-9)式中，取，，第二章写成矩阵形式：

(2-12)(2-12)式即为系统线性化状态方程。求出系数矩阵的特征根，然后根据特征根就可判断系统的稳定性。第二章复杂电力系统静态稳定分析

写成矩阵形式：第二章复杂电力系统静态稳定分析用(2-12)式计算特征根时会得到一个零根。这个零根的出现是由于(2-12)式中使用了绝对角偏移，如果采用相对角偏移（，是基准节点）,则不会出现这个零根。设以发电机节点为基准节点，做相对角偏移（）。第二章复杂电力系统静态稳定分析

用(2-12)式计算特征根时会得到一个零根。这个零根由于（），，所以

(2-13)由于，所以第二章复杂电力系统静态稳定分析

由于（），，

(2-14)

第二章复杂电力系统静态稳定分析

(2-14)第二章复杂电力系统静态稳定分析取，（）。从(2-13)，(2-14)可得：（）

（）第二章复杂电力系统静态稳定分析

取，（写成矩阵形式：

(2-15)(2-15)式有个方程，用(2-15)式计算特征根时不会出现上述零根。第二章复杂电力系统静态稳定分析

写成矩阵形式：第二章复杂电力系统静态稳定分析二、发电机采用模型Ⅲ的多机系统状态方程

发电机的模型Ⅲ较之模型Ⅳ更准确。但此时要计及发电机的凸极效应，发电机的电磁功率表达式不像(2-8)式那么简单。第二章复杂电力系统静态稳定分析

二、发电机采用模型Ⅲ的多机系统状态方程第二章复杂电力系统静在计算系统静态稳定性时，为计算简便起见，不去推导系统的非线性方程，然后再线性化。而是直接根据线性化的条件，推导线性化的方程。另外，由于这时要考虑发电机的轴分量和轴分量，而每台发电机的轴方向和轴方向又不一样，因此有坐标转换的问题。计算步骤如下：第二章复杂电力系统静态稳定分析

在计算系统静态稳定性时，为计算简便起见，不去推导系统⑴确定待分析的电力系统某一运行方式并作潮流计算，算出系统各节点的电压相量和各发电机输出功率（换算成节点注入电流）；第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑴确定待分析的电力系统某一运行方式并作潮流计算，算出系统各⑵根据给定的节点负荷功率和对应的节点电压，求出代替负荷功率的导纳。即用恒定导纳（阻抗）代替负荷。负荷节点的节点注入电流

，即(2-16)其增量形式为：写成矩阵形式：(2-17)第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑵根据给定的节点负荷功率和对应的节点电压，⑶列出线性化方程式：转子运动方程式

(2-18)电磁功率方程式(2-19)

第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑶列出线性化方程式：第二章复杂电力系统静态稳定分析发电机定子回路方程式其增量形式为：即

(2-20)第二章复杂电力系统静态稳定分析

发电机定子回路方程式第二章复杂电力系统静态稳定分析⑷列出网络方程式(2-21)式中为节点注入电流列向量，为节点电压列向量。网络节点包括负荷节点，发电机节点和联络节点。在有个发电机的电力系统中，每台发电机都有(2-18)式和(2-19)式的三个方程式，因此共有个。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑷列出网络方程式(2-21)第二(2-21)式中的和是经过潮流计算得到的相对于某一公共坐标的值，而(2-18)式和(2-19)式的是以各自发电机的轴为坐标的值。为了(2-18)式，(2-19)式与(2-21)式联立求解，这些变量必须转换到同一坐标系。第二章复杂电力系统静态稳定分析

(2-21)式中的和是经过潮流计算得到的相对⑸坐标变换图1-4表示坐标与坐标的相互关系，轴至轴的夹角为。由图有：（2-22)写成矩阵形式：式中：是坐标变换矩阵。且有。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑸坐标变换第二章复杂电力系统静态稳定分析对（2-22）式线性化：

（2-23）

（2-24）写成矩阵形式：而第二章复杂电力系统静态稳定分析

对（2-22）式线性化：第二章复杂电力系统静态稳定分析⑹修正网络方程式（2-21）式所示网络方程式中，各电压和电流值是对应于公共坐标的值，将其表示为轴分量和轴分量，即，。导纳按（2-17）式的方法表示。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑹修正网络方程式第二章复杂电力系统静态稳定分析写成增量形式为：

（2-25）

第二章复杂电力系统静态稳定分析

写成增量形式为：第二章复杂电力系统静态稳定分析式中：，是网络节点间的导纳的实部和虚部。设节点是负荷节点，则有：第二章复杂电力系统静态稳定分析

式中：，是网络节点间的导纳的实部和虚部。第二章复杂将其代入（2-25）式,合并同类项，有：式中：，。第二章复杂电力系统静态稳定分析

将其代入（2-25）式,合并同类项，有：第二章复杂电力这样一来，网络中原来的负荷节点就转变为联络节点。消去联络节点，得：

（2-26）式中：是各发电机节点电压偏移量的实部和虚部分量组成的列向量，是各发电机节点注入电流偏移量的实部和虚部分量组成的列向量。第二章复杂电力系统静态稳定分析

这样一来，网络中原来的负荷节点就转变为联络节点。消去联络对（2-26）式做坐标变换，变换到坐标系。有：（2-27）（2-28）其中：，，，，第二章复杂电力系统静态稳定分析

对（2-26）式做坐标变换，变换到坐标系将（2-27），（2-28）式代入（2-26）式，得：

（2-29）式中：，第二章复杂电力系统静态稳定分析

将（2-27），（2-28）式代入（2-26）式，得⑺初值计算计算角度：经过潮流计算已知坐标下发电机节点的电压和注入电流，设发电机为凸极机，根据公式定出轴方向（和轴方向）。算出：（2-30）第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑺初值计算第二章复杂电力系统静态稳定分析计算和的轴分量：，

（2-31），（2-32）第二章复杂电力系统静态稳定分析

计算和的轴分量：第二章复杂电力系统静⑻系统状态方程对于第台发电机，有：转子运动方程式（2-33）（2-33）式中，除了状态变量外，还有中间变量。第二章复杂电力系统静态稳定分析

⑻系统状态方程第二章复杂电力系统静态稳定分析为消除，引入：利用关系式(2-20)，消去。

（2-34）第二章复杂电力系统静态稳定分析

为消除，引入：第二章复杂电力系统静态稳定分析（2-34）式中又出现了发电机节点电压的轴和轴分量，为此，引入网络方程式（2-29）和发电机节点电压与注入电流的关系式(2-20)第二章复杂电力系统静态稳定分析

（2-34）式中又出现了发电机节点电压的轴和轴分量，这4组方程式联立，写成矩阵形式：

（2-35）第二章复杂电力系统静态稳定分析

这4组方程式联立，写成矩阵形式：第二章复杂电力系统静态稳定式中：，从（2-35）式中最后一组方程，有。代入（2-29）式，得：第二章复杂电力系统静态稳定分析

式中：，第二章复杂电力系统静态稳整理得：（2-36）将（2-36）式代入（2-35）式第二组方程：有：

（2-37）第二章复杂电力系统静态稳定分析

整理得：（2-36）第（2-37）式与（2-35）式第一组方程构成了系统线性化状态方程

（2-38）根据（2-38）式，求出系数矩阵的特征根，然后根据特征根就可判断系统的稳定性。第二章复杂电力系统静态稳定分析

（2-37）式与（2-35）式第一组方程构成了系统线性化状态同样，由于(2-38)式使用的是绝对角偏移，所以计算特征根时也会得到一个零根。解决办法是采用相对角