空间几何体的内切球及外接球问题

.3/3空间几何体的内切球与外接球问题1．[2016·全国卷Ⅱ]体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为<>A．12πB.eq\f<32,3>πC．8πD．4π[解析]A因为正方体的体积为8,所以正方体的体对角线长为2eq\r<3>,所以正方体的外接球的半径为eq\r<3>,所以球的表面积为4π·<eq\r<3>>2＝12π.2．[2016·全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC,AB＝6,BC＝8,AA1＝3,则V的最大值是<>A．4πB.eq\f<9π,2>C．6πD.eq\f<32π,3>[解析]B当球与三侧面相切时,设球的半径为r1,∵AB⊥BC,AB＝6,BC＝8,∴8－r1＋6－r1＝10,解得r1＝2,不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时,设球的半径为r2,则2r2＝3,即r2＝eq\f<3,2>.∴球的最大半径为eq\f<3,2>,故V的最大值为eq\f<4,3>π×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,2>>>eq\s\up12<3>＝eq\f<9,2>π.3.[2016·XX模拟]在平行四边形ABCD中,∠CBA＝120°,AD＝4,对角线BD＝2eq\r<3>,将其沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一球面上,则该球的体积为________．答案：eq\f<20\r<5>,3>π；解析：因为∠CBA＝120°,所以∠DAB＝60°,在三角形ABD中,由余弦定理得<2eq\r<3>>2＝42＋AB2－2×4·AB·cos60°,解得AB＝2,所以AB⊥BD.折起后平面ABD⊥平面BCD,即有AB⊥平面BCD,如图所示,可知A,B,C,D可看作一个长方体中的四个顶点,长方体的体对角线AC就是四面体ABCD外接球的直径,易知AC＝eq\r<22＋42>＝2eq\r<5>,所以球的体积为eq\f<20\r<5>,3>π.4.[2016·XX右玉一中模拟]球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S­ABC的体积的最大值为<>A.eq\f<\r<3>,3>B.eq\r<3>C．2eq\r<3>D．4选A；[解析]<1>由于平面SAB⊥平面ABC,所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上,根据球的对称性可知,当S在"最高点",即H为AB的中点时,SH最大,此时棱锥S­ABC的体积最大．因为△ABC是边长为2的正三角形,所以球的半径r＝OC＝eq\f<2,3>CH＝eq\f<2,3>×eq\f<\r<3>,2>×2＝eq\f<2\r<3>,3>.在Rt△SHO中,OH＝eq\f<1,2>OC＝eq\f<\r<3>,3>,所以SH＝eq\r<\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<2\r<3>,3>>>\s\up12<2>－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,3>>>\s\up12<2>>＝1,故所求体积的最大值为eq\f<1,3>×eq\f<\r<3>,4>×22×1＝eq\f<\r<3>,3>.5.[2016·XX模拟]如图7­38­19所示,设A,B,C,D为球O上四点,AB,AC,AD两两垂直,且AB＝AC＝eq\r<3>,若AD＝R<R为球O的半径>,则球O的表面积为<>图7­38­19A．πB．2πC．4πD．8π选D；解析：因为AB,AC,AD两两垂直,所以以AB,AC,AD为棱构建一个长方体,如图所示,则长方体的各顶点均在球面上,AB＝AC＝eq\r<3>,所以AE＝eq\r<6>,AD＝R,DE＝2R,则有R2＋6＝<2R>2,解得R＝eq\r<2>,所以球的表面积S＝4πR2＝8π.6.[2016·XX皖南八校三联]如图所示,已知三棱锥A­BCD的四个顶点A,B,C,D都在球O的表面上,AC⊥平面BCD,BC⊥CD,且AC＝eq\r<3>,BC＝2,CD＝eq\r<5>,则球O的表面积为<>A．12πB．7πC．9πD．8π[解析]A由AC⊥平面BCD,BC⊥CD知三棱锥A­BCD可以补成以AC,BC,CD为三条棱的长方体,设球O的半径为R,则有<2R>2＝AC2＋BC2＋CD2＝3＋4＋5＝12,所以S球＝4πR2＝12π.7．[2016·XXXX质检]已知A,B,C在球O的球面上,AB＝1,BC＝2,∠ABC＝60°,且点O到平面ABC的距离为2,则球O的表面积为________．答案：20π[解析]在△ABC中用余弦定理求得AC＝eq\r<3>,据勾股定理得∠BAC为直角,故BC的中点O1即为△ABC所在小圆的圆心,则OO1⊥平面ABC,在直角三角形OO1B中可求得球的半径r＝eq\r<5>,则球O的表面积S＝4πr2＝20π.8.[2016·XX中原名校一联]如图K38­16所示,ABCD­A1B1C1D1是边长为1的正方体,S­ABCD是高为1的正四棱锥,若点S,A1,B1,C1,D1在同一个球面上,则该球的表面积为<>图K38­16A.eq\f<9,16>πB.eq\f<25,16>πC.eq\f<49,16>πD.eq\f<81,16>π选D；[解析]如图所示作辅助线,易知球心O在SG1上,设OG1＝x,则OB1＝SO＝2－x,同时由正方体的性质知B1G1＝eq\f<\r<2>,2>,则在Rt△OB1G1中,由勾股定理得OBeq\o\al<2,1>＝G1Beq\o\al<2,1>＋OGeq\o\al<2,1>,即<2－x>2＝x2＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<2>,2>>>eq\s\up12<2>,解得x＝eq\f<7,8>,所以球的半径R＝2－eq\f<7,8>＝eq\f<9,8>,所以球的表面积S＝4πR2＝eq\f<81,16>π.9．[2013·课标全国Ⅰ]如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为<>A.eq\f<500π,3>cm3B.eq\f<866π,3>cm3C.eq\f<1372π,3>cm3D.eq\f<2048π,3>cm3解析：设球半径为R,由题可知R,R－2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角形,如图．BC＝2,BA＝4,OB＝R－2,OA＝R,由R2＝<R－2>2＋42,得R＝5,所以球的体积为eq\f<4,3>π×53＝eq\f<500,3>π<cm3>,故选A项．答案：A10．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3eq\r<2>,则这个四棱锥的外接球的表面积为<>A．12πB．36πC．72πD．108π选B；解析：依题意得,该正四棱锥的底面对角线长为3eq\r<2>×eq\r<2>＝6,高为eq\r<3\r<2>2－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>×6>>2>＝3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心,其外接球的半径为3,所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.11．[2014·XX质检一]已知球O,过其球面上A、B、C三点作截面,若O点到该截面的距离是球半径的一半,且AB＝BC＝2,∠B＝120°,则球O的表面积为<>A.eq\f<64π,3>B.eq\f<8π,3>C．4πD.eq\f<16π,9>解析：如图,球心O在截面ABC的射影为△ABC的外接圆的圆心O′.由题意知OO1＝eq\f<R,2>,OA＝R,其中R为球O的半径．在△ABC中,AC＝eq\r<AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°>＝eq\r<22＋22－2×2×2×\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>>>>＝2eq\r<3>.设△ABC的外接圆半径为r,则2r＝eq\f<AC,sin120°>＝eq\f<2\r<3>,\f<\r<3>,2>>＝4,得r＝2,即O′A＝2.在Rt△OO1A中,OOeq\o\al<2,1>＋O1A2＝OA2,即eq\f<R2,4>＋4＝R2,解得R2＝eq\f<16,3>,故球O的表面积S＝4πR2＝eq\f<64π,3>,故选A.答案：A12．[2014·XX模拟]在三棱锥A­BCD中,AB＝CD＝6,AC＝BD＝AD＝BC＝5,则该三棱锥的外接球的表面积为__________．解析：依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补形成一个长方体,设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c,且其外接球的半径为R,则eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a2＋b2＝62,,b2＋c2＝52,,c2＋a2＝52,>>得a2＋b2＋c2＝43,即<2R>2＝a2＋b2＋c2＝43,易知R即为该三棱锥的外接球的半径,所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝43π.答案：43π13．[2014·全国卷]正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为<>A.eq\f<81π,4>B．16πC．9πD.eq\f<27π,4>答案：A；[解析]如图所示,E为AC与BD的交点．因为正四棱锥的底面边长为2,所以AE＝eq\f<1,2>AC＝eq\r<2>.设球心为O,球的半径为R,则OE＝4－R,OA＝R.又因为△AOE为直角三角形,所以OA2＝OE2＋AE2,即R2＝<4－R>2＋2,解得R＝eq\f<9,4>,所以该球的表面积S＝4πR2＝4πeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<9,4>>>2＝eq\f<81π,4>.14．[2016·XX八校联考]如图是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为<>A．8πB．16πC．32πD．64π答案：C；[解析]该几何体为一个四棱锥,其外接球的球心为底面正方形的中心,所以半径为2eq\r<2>,表面积为4π×<2eq\r<2>>2＝32π.15．已知四棱锥S­ABCD的所有顶点在同一球面上,底面ABCD是正方形且球心O在此平面内,当四棱锥的体积取得最大值时,其表面积等于16＋16eq\r<3>,则球O的体积等于<>A.eq\f<4\r<2>π,3>B.eq\f<16\r<2>π,3>C.eq\f<32\r<2>π,3>D.eq\f<64\r<2>π,3>答案：D；[解析]由题意,当此四棱锥的体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥．设球O的半径为R,则AC＝2R,SO＝R,∴AB＝eq\r<2>R,则有<eq\r<2>R>2＋4×eq\f<1,2>×eq\r<2>R·eq\r<\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<2>,2>R>>\s\up12<2>＋R2>＝16＋16eq\r<3>,解得R＝2eq\r<2>,∴球O的体积是eq\f<4,3>πR3＝eq\f<64\r<2>,3>π.16．[2016·XX调研]已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB＝AC＝AA1＝2,∠BA