物化-p2-4最概然分布

12-4最概然分布The

Most

Probable

Distribution1.独立子系统的分布(distributions

in

independent-particle

systems)N,E,V固定的系统量子态分布：微观粒子在子量子态上的分配方式微观状态：某时刻全部粒子所处的量子态的总和1

1

1

N

N

Nj

(

x

,

y

,

z

, ,

x

,

y

,

z

)

简写为

(1,

2, ,

N

)独立子

(1)

(2)

i1

i2

iN(N

);

:单粒子波函数另时刻粒子分布N

0子量子态能

量某时刻粒子分布

0

0N

011N1N1

2

…

2

···N2

···N2

···

j

…

j

···N

j

···N

j

·········能

级能级简并度粒子分布数

0g0N

01

2g1

g2N1

N2

j

g

jN

j············按能级分布能级分布：微观粒子在各能级上的分配方式012

j

g

jN

j······g0N

0g1

g2N1

N2············按能级分布能

级能级简并度粒子分布数按量子态分布

0N

01

2N1

N2

lNl…

j······…······子量子态量子态能量粒子分布数

01

2能量各不相同能量可以相同j

Nj

l

Nl

Nj

Nj

j

l

Nll

E2.宏观状态、分布和微观状态的关系(relationsamong

macroscopic

state,

distributions

andmicroscopic

state)3个可辨粒子3个能级，能量0,1,2单位，简并度

1,1,2总能量4个单位分布？微观状态？(0)

(1)

(2)

总能量4排列组合问题1.从N

个不同的物体中，取其中m

个编成一组，则不同的编组方式共有N

!m

!(

N

m)!NCm

2.如果把

N

个不同的物体放入

k

个不同的篮子中，其中第1个篮子N1个，第2个篮子N2个，···

，第k个篮子Nk个，篮子可以是空的，则总的投放方式为NN

N1

N

N1

N

!

Nk1CN1

C

N2

C

NkiN

!N1

!

N2

!

Nk

!

Ni

!i

iNi式表示：a

表示篮子，a

，表示第i个篮子中的有则总的投放方式就是系数之和，即(1

1

1)N

k

N1{

Ni

}NNi

个物体(a1

a2

ak

)i

Ni

N排列组合问题3.如果把N

个不同的物体放入k

个不同的篮子中，每个篮子中的物体数量任意，则每个物体有k种投放方式，总的投放方式为kN种，也可以用下述二项排列组合问题4.

如果把

N

个相同的物体放入

k

个不同的篮子中，其中第一个篮子中有N1个物体，第二个篮子中有N2个物体，···

，第k

个篮子中有Nk个物体，则投放方式仅为一种（请与前页2比较）。如果每个篮子中的物体数量是任意的，那么总的投放方式为(

N

k

1)!N

!(k

1)!设置N+k-1个座位，在其中任意选k-1个座位作为隔板，这些隔板正好构成k个篮子，剩下的N个座位放物体。分配方案Z盒(0分)A盒(1分)B盒(2分)分配方式数得分3300323

864201C

2

21

6325210C

2

33C1

22

123C1

33811P

3

21

123C1

22

1231C

2

21

634掷球结果总计：分配方案=10（能级分布）分配方式数=64（微观状态数）各种得分种类=7（宏观状态）2.宏观状态、分布和微观状态的关系要求得分=4（宏观状态）分配方案=2（能级分布）分配方式数=18（微观状态数）2.宏观状态、分布和微观状态的关系类比：3个小球盒子的个数盒中的小格分配方案按盒子（分数）分配按格子分配一种分配方式最终得分要求微观粒子能级简并度分布按能级分布按量子态分布一个微观状态确定的宏观状态2.宏观状态、分布和微观状态的关系3个可辨粒子3个能级，能量0,1,2单位，简并度

1,1,2总能量4个单位分布？微观状态？

18Z(1)A(0)B(2)：2!

22

121!2!

2!0!3!2

2213C

C

2

1

11232!1!

1!0!C

C

2

3!

1!

21

6Z(0)A(2)B(1)：2

j

g

jN

j······能

级能级简并度粒子分布数

0g0N

01

2g1

g2N1

N2············推广（N,E,V

一定）x

(

N

,

E

,V

)

jj

j

x

xN

!

g

N

j

N

!x

(

N

,

E

,V

)

C

Nm

g

N0

g

N1

g

N2Nm

0

1

2C

N2N N

N0

N

N0

N1N

!

C

N0

C

N1g

N0

g

N1

g

N2

g

Nm

0

1

2

mN0

!

N1

!

N2

!

Nm

!m

g

Nmjg

N

jN

j

!N

!

j

分配方案Z盒(0分)A盒(1分)B盒(2分)分配方式数得分330034642012252101128111239012351002124了解一下，不作要求！作为比较，如果粒子不可辨总计：分配方案=10（能级分布）分配方式数=20（微观状态数）各种得分种类=7（宏观状态）要求得分=4（宏观状态）分配方案=2（能级分布）分配方式数=5（微观状态数）了解一下，不作要求！3.热力学概率(thermodynamic

probability)xP

xx(

N

,E

,V

)x

(

N

,

E,V

)

热力学概率≠数学概率对应一定宏观状态（或分布）可能出现的微观状态总数

22

123!

2!1!2!

2!0!2

21C

C

2

Z(1)A(0)B(2)：

3

2

3!

1!

1

2

62!1!

1!0!1 1123C

C

2

Z(0)A(2)B(1)：

x

12xP

12/

18P

6

/

18

x

6x

18

,

例有七个独立的可区别的粒子，分布在简并度为1、3和2的

0

、1

和

2

三个能级中，数目分别为3个、3

个和1个粒子，问这一分布拥有多少微观状态。

33

21

3!3!1!

75603jNj

jN

!

7!1gj解：

N!

这一分布拥有7560个微观状态，热力学概率为7560。例：有三个一维谐振子，只能在O，P和Q三个定点上振动，若它们的总能量为

11h

/2。试问系统的这个宏观状态共有几种可能的分布，每种分布拥有多少微观状态。解：能级9h

27h

25h

23h

2h

2分布10002A301011B600201C300120D3微观状态例：有N个可分辨的独立子，分布在能量分别为

0、、2

、3

的四个不同的能级上，其中第四个能级的简并度为2，其余各能级均是非简并的。若系统的总能量为3

，试该系统可能的能级分布，并写出各分布的微观状态数的计算式。解：能级能量023简并度g1112分布1N

-3300分布2N

-2110分布3N

-1001

N N

1N

2

N

!

1N

3!

3

!

61

jg

N

jN

j

!

N!

j

例：有N

个可分辨的独立子，分布在能量分别为

0、、2

、3的四个不同的能级上，其中第四个能级的简并度为2，其余各能级均是非简并的。若系统的总能量为3

，试该系统可能的能级分布，并写出各分布的微观状态数的计算式。解：能级能量023简并度g1112分布1N

-3300分布2N

-2110分布3N

-1001

N

(

N

1)N

2 !

1

!

1

!N

!2

jg

N

jN

j

!

N!

j

N

!N

1!

1

!3

21

2N例：假定某系统分子的能级为0，，2，3，系统中有6个分子，问：（1）总能量为3的系统有哪几种分布？（2）如各能级是非简并的，计算各种分布的微观状态数和概率。（3）如能量为0和的两个能级是非简并的，而2和3两个能级的简并度分别为6和10，计算各种分布的微观状态数和概率。ABCε0534ε1031ε2001ε3100解：（1）

有A、B、C三种分布ABCε0534ε1031ε2001ε3100例：假定某系统分子的能级为0，，2，3，系统中有6个分子，问：（1）总能量为3的系统有哪几种分布？（2）如各能级是非简并的，计算各种分布的微观状态数和概率。（3）如能量为0和的两个能级是非简并的，而2和3两个能级的简并度分别为6和10，计算各种分布的微观状态数和概率。解：（2）6!5!1!

3!3!

4!1!1!A

B

C

30

6!

6，

6!

20，Ω

A

B

C

6

20

30

56CΩ

28

15CBBΩ

14Ω

28

A

3

5A

，P

，P

P例：假定某系统分子的能级为0，，2，3，系统中有6个分子，问：（1）总能量为3的系统有哪几种分布？（2）如各能级是非简并的，计算各种分布的微观状态数和概率。（3）如能量为0和的两个能级是非简并的，而2和3两个能级的简并度分别为6和10，计算各种分布的微观状态数和概率。ABCε0534ε1031ε2001ε3100解：（3）ABC5!1!

3!3!6!4!1!1!

6!

15

101

60,

6!

13

13

20

14

11

61

180Ω

A

B

C

60

20

180

260CCBBΩ

13

1 ,

P

Ω

13

3 ,

P

Ω

13

A

9AP小

结按能级分布，无论粒子是否可分辨，一个分布对应多个微观态。按量子态分布，如果粒子是可分辨的，一个分布仍然对应多个微观态，如果粒子不可分辨，一个分布只对应一个微观态。

i

g

Ni可分辨：

N

!i

(能级）Ni

!不可分辨：玻色子和 分别计算1i

(量子态）Ni

!可分辨：

N

!

1不可分辨：无论玻色子还是最概然分布(the

most

probable

distribution)一个分布（按能级）对应多个微观状态拥有微观状态数最多或热力学概率最大的分布就是最概然分布。在粒子的系统中，最概然分布代表了一切可能的分布，也就是与最概然分布差别较大的分布出现的可能性很小。A(0)B(N)，

A(1)B(N-1)，···A

B可分辨小球按量子态的分布：，A(N-1)B(1)，A(N)B(0)N!M!(

N

M

)!

(M

,

N

M

)

CMN

N!

2N

M

0

M!(

N

M

)!NM

0

(M

,

N

M

)

NN!(

N

/

2)!(

N

/

2)!max(2N

)1/

2

e

N

NN!

N

=

1024最概然分布的热力学概率相对于总的热力学概率是一个小量，换一个角度看：考虑最概然分布附近一个小区间的各种分布之和，取定这个总概率为

0.99994，看分布范围的大小，当N>>1时：max2N

2N

maxmax2

8

10132N

1024P2

Nm

2

N(

N

/

2

m,

N

/

2

m)2

N2

N2

NN2m2

exp

dm

0.999942N

分布范围的大小为：

N

2N

,

N

2

2

P

N

m

2A(0)B(

N

)A(

N

)B(

0)

N

2A

N

m

B

m