专题05 导数与函数的最值（讲义）（学生版）

专题5导数与函数的最值【重难点知识点网络】：1．函数的最值与导数一般地，如果在区间上函数的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．2．求函数最值的步骤求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在内的________；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【重难点题型突破】：一、求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．例1．（1）（2021·江苏高三专题练习）（多选题）对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则（2）（2021·江苏高二单元测试）函数在[0，2]上的最大值是（）A． B． C．0 D．（3）（2021·广东湛江市·高三一模）（多选题）已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（）A．f(x)的极大值为0 B．曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴C．f(x)的最小值为0 D．f(x)在定义域内单调【变式训练1-1】、（2021·全国高二月考（理））函数在上的最大值与最小值之和为（）A．-46 B．-35 C．6 D．5【变式训练1-2】、（2021·河南驻马店市·高三期末（文））已知函数，则的最大值是（）A． B． C． D．【变式训练1-3】、（2021·天津静海区·静海一中高二月考）函数在区间上的最大值为（）A．0 B． C． D．例2．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，．（1）求函数的最小值（为函数的导函数）；（2）试判断曲线与公切线的条数．

【变式训练2-1】、（2021·全国高二课时练习）已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.

二、函数最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值．例3、（2021·辽宁高三二模（理））已知函数，，若成立，则的最小值为（）A． B． C． D．【变式训练3-1】、（2020·江苏省滨海中学高三月考）对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.例4．（2021·全国高三月考（文））已知函数．（1）求函数在上的最值；（2）求证：当时，关于的方程仅有1个实数解．

【变式训练4-1】、（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

三、恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立．例5（2021·湖北高三月考）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是___________.【变式训练5-1】、（2021·浙江高三其他模拟）已知，在上恒成立，则实数的取值范围为______．

例