拉氏变换傅里叶变换

积分变换第一章付里叶变换第二章拉普拉斯变换§1.1付氏积分§1.2付氏变换§1.3付氏变换的公式和性质§1.4卷积与相关函数§2.1拉普拉斯变换的概念§2.2拉氏变换的基本公式和性质§2.3拉氏逆变换§2.4拉氏变换的应用(一)付氏级数称实系数R上的实值函数f（t）在闭区间[a,b]上满足狄利克莱（DirichLet）条件，如果它满足条件：⑴在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一类间断点；⑵f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。§1.1付氏积分第一章付里叶变换

从T为周期的周期函数fT(t)，如果在上满足狄利克雷条件，那么在上fT(t)可以展成付氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为

其中称为频率，频率ω对应的周期T与fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)的n次谐波频率。(二)付氏级数的复指数形式

在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为

即(三)付氏积分

任何一个非周期函数f(t)都可以看成由某个周期函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。

这个公式称为函数f(t)的付里叶积分公式

付氏积分定理若f(t)在(-∞，+∞)上满足下列条件：

2°则积发存在,并且在f(t)的连续点处

1°在任一有限区间满足狄利克雷条件；而在f(t)的间断点t0处，应以代替该式左端的f(t)。

注非周期函数满足付氏积分定理的条件1°，才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数。满足付氏积分定理的第2°条,才能保证存在。§1.2付氏变换(一)定义1.1.1设f(t)和F(ω)分别是定义在R上的实值和复值函数，称它们是一组付里叶变换对，如果成立并称F(ω)为f(t)的象函数或付里叶变换，记为F[f(t)]；称f(t)为F(ω)的象原函数或付里叶逆变换，记为F-1[F(ω)](二)积分变换的作用(三)δ函数及其付氏变换

1.δ函数的定义

(1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为δ函数。

(2)普通函数序列极限形式的定义其中

(3)广义函数形式的定义

若f(t)为无穷次可做函数，则3.δ函数在积分变换中的作用(1)有了δ函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待。(2)尽管δ函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(-∞,+∞)上的积分都有确定的值。(3)δ函数的付氏变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即不存在)，这些函数的广义付氏变换都可以利用δ函数而得到。

这种频谱图称为离散频谱，也称为线状频谱(四)付氏变换的物理意义——频谱

1.非正弦的周期函数的频谱(一)常用函数付里叶变换公式§1.3付氏变换的公式和性质(二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式(三)付氏变换的性质

1．线性性质。

设F=，F=，和为常数，则b2．位移性质该性质在无线电技术中也称为时移性质。3．对称性质

若，则

4．相似性质若，则5．象函数的位移性质若，则

象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质。

6.翻转性质若，则

7.微分性质

若f在上连续或只有有限个可去间断点,且当时，，则推论若（k=1,2,…,n）在上连续或只有有限个可去间断点，且=0，k=0,1,2,…(n-1),则有8.象函数的微分性质若，则一般地，有若当时，=,则如果，则9.积分性质其中10.象函数的积分性质若，则11.乘积定理

若，，则

其中，均为t的实函数，、分别为、的共轭函数。

12.能量积分

若，则

该等式又称为巴塞瓦等式。

13.卷积定理

设，都满足付氏积分定理中的条件，且，，则

§1.4卷积与相关函数一、卷积的意义

若已知函数f1(t)，f2(t)，则积分称为函数f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t)*f2(t)，即二、卷积的性质第二章拉普拉斯变换§2.1拉普拉斯变换的概念一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义

设函数f(t)当ｔ0时有定义，而且积分

（s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此积分决定的函数可写为

称为的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或象函数，记为，即又称为的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏逆变换）或象原函数，记

即二、拉氏变换的存在定理

拉氏变换存在定理设函数f(t)满足下列条件：

1°当t＜0时，f(t)=0；

2°f(t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点；

3°f(t)是指数级函数。

则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)=β＞βc上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛而且一致收敛，同时在此半平面内，F(s)是解析函数。关于拉氏变换存在定理，做如下的几点说明：(1)从物理应用观点来看，条件2°、3°都是容易满足的。实用上所考察的物理过程，往往是用时间函数来描述的，并且是从某一时刻开始，因此可以选这时刻为t=0，在此以前情况则不加考虑。例如sint，若要对它进行拉氏变换则应把它理解为sintu(t)。(2)工程技术中所遇到的函数大部分是存在拉氏变换的。(3)如果f(t)为指数级函数，则其增长指数不唯一。三、关于拉氏变换的积分下限问题

f(t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点。假如包括，我们把积分下限记为0-；假如不包括，我们把积分下限记为0+，于是得出了不同的拉氏变换。记§2.2拉氏变换的基本公式和性质一、常用函数的拉氏变换公式

当m为正整数时，有

[注]①Γ函数具有如下的递推公式

当m是正整数时，②(9)设是[0，+∞)上的周期为T的函数，即则的拉氏变换为二、拉氏变换的性质

设

则有

(1)线性性质（设α、β为常数）（2）位移性质（设a为常数）

（3）延迟性质

若t<0时，则对任一非负实数有

亦可写为

[注]中的意味着（当时）

只有此式成立时才能使用延迟性质，这一点容易被忽略，因而造成错误，为了避免出现这种错误。故将延迟性质写为(2.2.16)式的形式。

(4)微分性质

推论

=

特别地，当初值时，有

(5)积分性质

推论

(6)象函数微分性质

一般地，有

(7)象函数积分性质

若积分收敛，则

一般地，有

[注]由象函数的积分性质得即

利用此式，可计算右端的广义积分。这是拉氏变换的应用之一。

在上式中令s=0，如果收敛，存在，则有

(8)卷积定理

[注]付氏变换中的卷积定理包含两个公式，而拉氏变换中卷积定理只含一个公式。

(9)初值定理

若存在，则

(10)终值定理

若的所有奇点全在s平面的左半部，则

(11)相似性质（设a为正实数）

§2.3拉氏逆变换

定理2.3.1若函数f(t)满足拉氏变换存在定理中的条件。β0为收敛坐标，则L-1[F(s)]由下式给出其中t为f(t)的连续点。

如果t为f(t)的间断点，则改成：

这里的积分路线是平行于虚轴的任一直线Res=β(＞β0)称(2.3.1)