平面向量的数量积练习题

平面向量的数量积练习题[平面向量的数量积练习题[平面向量的数量积练习题[资料仅供参考文件编号：2022年4月平面向量的数量积练习题[版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：§平面向量的数量积一、选择题1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4 B．3C．2 D．0解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案：D2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·a,a·b)))b，则向量a与c的夹角为()A．0\f(π,6)\f(π,3)\f(π,2)解析∵a·c＝a·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·a,a·b)))b))＝a·a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a·b)))a·b＝a2－a2＝0，又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝eq\f(π,2)，故选D.答案D3.设向量=（1.）与=（-1，2）垂直，则等于（）ABC.0解析正确的是C.答案C4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()．A．－4 B．4 C．－2 D．2解析设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(2,3)，∴|a|cosθ＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－4.答案A5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()．\r(2)－1 B．1 \r(2) D．2解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·故|a＋b－c|≤1.答案B6．已知非零向量a、b满足|a|＝eq\r(3)|b|，若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))解析∵f(x)＝eq\f(1,3)x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′(x)＝0有两不相等的实根，∵f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b＞0，即a·b＜eq\f(1,2)|a|2，∵cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，|a|＝eq\r(3)|b|，∴cos〈a，b〉＜eq\f(\f(1,2)|a|2,|a||b|)＝eq\f(\r(3),2)，∵0≤〈a，b〉≤π，∴eq\f(π,6)＜〈a，b〉≤π.答案D7．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()．\o(P1P2,\s\up16(→))·eq\o(P1P3,\s\up16(→))\o(P1P2,\s\up16(→))·eq\o(P1P4,\s\up16(→))\o(P1P2,\s\up16(→))·eq\o(P1P5,\s\up16(→))\o(P1P2,\s\up16(→))·eq\o(P1P6,\s\up16(→))解析由于eq\o(P1P2,\s\up16(→))⊥eq\o(P1P5,\s\up16(→))，故其数量积是0，可排除C；eq\o(P1P2,\s\up16(→))与eq\o(P1P6,\s\up16(→))的夹角是eq\f(2π,3)，故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，则eq\o(P1P2,\s\up16(→))·eq\o(P1P3,\s\up16(→))＝|eq\o(P1P2,\s\up16(→))||eq\o(P1P3,\s\up16(→))|cos30°＝eq\f(3,2)a2，eq\o(P1P2,\s\up16(→))·eq\o(P1P4,\s\up16(→))＝|eq\o(P1P2,\s\up16(→))||eq\o(P1P4,\s\up16(→))|cos60°＝a2.答案A二、填空题8．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．解析∵|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝eq\r(7).答案eq\r(7)9.已知向量,，若，则的值为．解析答案10．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析设a与b夹角为θ，由题意知|a|＝1，|b|＝1，θ≠0且θ≠π.由a＋b与向量ka－b垂直，得(a＋b)·(ka－b)＝0，即k|a|2＋(k－1)|a||b|cosθ－|b|2＝0，(k－1)(1＋cosθ)＝0.又1＋cosθ≠0，∴k－1＝0，k＝1.答案111．已知e1，e2是夹角为eq\f(2π,3)的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．解析由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即keeq\o\al(2,1)＋e1e2－2ke1e2－2eeq\o\al(2,2)＝0，即k＋coseq\f(2π,3)－2kcoseq\f(2π,3)－2＝0,化简可求得k＝eq\f(5,4).答案eq\f(5,4)12．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·的值为________．解析：||2＝||2＋||2＝8，||＝eq\f(1,2)||，＋＝2，(＋)·＝2·＝eq\f(1,2)||2＝4.答案：4三、解答题13．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝eq\f(5,2).(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(1×2＋2×－2,\r(22＋－22))＝－eq\f(2,2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).14．如图所示，eq\o(AB,\s\up16(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up16(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up16(→))＝(－2，－3)．(1)若eq\o(BC,\s\up16(→))∥eq\o(DA,\s\up16(→))，求x与y之间的关系式；(2)在(1)条件下，若eq\o(AC,\s\up16(→))⊥eq\o(BD,\s\up16(→))，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解析(1)∵eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝(x＋4，y－2)，eq\o(DA,\s\up16(→))＝－eq\o(AD,\s\up16(→))＝(－x－4,2－y)．又eq\o(BC,\s\up16(→))∥eq\o(DA,\s\up16(→))且eq\o(BC,\s\up16(→))＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.①(2)由于eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝(x＋6，y＋1)，eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝(x－2，y－3)，又eq\o(AC,\s\up16(→))⊥eq\o(BD,\s\up16(→))，∴eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0.即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，②联立①②化简，得y2－2y－3＝0，∴y＝3或y＝－1.故当y＝3时，x＝－6，此时eq\o(AC,\s\up16(→))＝(0,4)，eq\o(BD,\s\up16(→))＝(－8,0)，∴SABCD＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up16(→))|·|eq\o(BD,\s\up16(→))|＝16；当y＝－1时，x＝2，此时eq\o(AC,\s\up16(→))＝(8,0)，eq\o(BD,\s\up16(→))＝(0，－4)，∴SABCD＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up16(→))|·|eq\o(BD,\s\up16(→))|＝16.15．已知平面上三点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up16(→))|＝5，求eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))的值．解析由题意知△ABC为直角三角形，eq\o(AB,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，cos∠BAC＝eq\f(3,5)，cos∠BCA＝eq\f(4,5)，∴eq\o(BC,\s\up16(→))和eq\o(CA,\s\up16(→))夹角的余弦值为－eq\f(4,5)，eq\o(CA,\s\up16(→))和eq\o(AB,\s\up16(→))夹角的余弦值为－eq\f(3,5)，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋15×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－25.16．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．思路分析转化为(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)．解析由已知得eeq\o\al(2,1)＝4，eeq\o\al(2,2)＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2teeq\o\al(2,1)＋(2t2＋7)e1·e2＋7teeq\o\al(2,2)＝2t2＋15t＋7.欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0.得－7＜t