江苏镇江市丹阳高级中学2021-2022学年高二(1-16,20班)下学期期初考试数学试题(解析版)

江苏省丹阳髙级中学2023届髙二下学期期初考试试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.空叫四边形OABC中.oA=a-OB=b-OC=c^且OM=2MA^BN=NC•则MN=（ >r办1r办1-2+ra1-2—b+—c3 2【答案】A【解析】【分析】结合阍形以及空问向S的线性运算即nJ•求出结果.A【详解】MN=MO+ON=故选：A・【详解】MN=MO+ON=故选：A・2.在正方体ABCD-A.B.Cfi,中.0为AC的中点.则异面直线0孕与4D所成角的人小为（）7t|6wA7t|6wA£4B.k12D.【答案】A【解析】【分析】以点A为坐标原点，AB.AD.4人所在直线分别为I、｝’、z轴建立空问直角坐标系，利用空I川向簠认可求得异面直线OB^Afi所成角的大小.【详解】以点A为坐标原点，AB.AD.4么所在直线分别为*、）’、z轴建立如下阁所示的空间直角坐标系，设AB=2，则0(1,1,0).0(0,2,0).A(0,0,2)、^(2,0,2),两W-U}.AS=(0,2,-2),coS<^，An>=^^=-^|_=-^.因此，异而直线与ad所成角的人小为三.6故选：A.3.己知圆C1:(x-5):+(y-3)2=9.圆C::x:+j2-4x+2j-9=0,则两圆的位罝关系为( )A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】【分析】求出两岡的阀心和半径.根据岡心距与半径和与差的关系，判断_与岡的位置关系.【详解】圆CJ:(x-5)2+(y-3)2=9的圖心为c*(5,3),半径/]=3,圆c::x2+y2-4x+2y-9=0,即(x-2)2+(y+l)2=14,圆心C/2,-1),半径，.:=泥，两岡的岡心距|C,C21=^(5-2)2+[3-(-1)]2=5.显然Vl4-3<5<>/l4+3.即r2-rY<|C,C2|</;+/;,所以圆q与圆C2相交.故选：C4方程?一1衷呆棚囘的充分不必嬰冬件W以足(Ml+31--mA.we(-3,1)B./ne(-3,-1)<>(-1,1)C.WIG(-3,0)D."?e(-3，-l)【 】D

【解析】【分析】由“方程-^+―=1表示椭圆”可求得实数W的収值范_，结合充分不必要条件的定义可m+31-in得出结论.{'”+3〉01-^>0 ，解得一3<'w<—1或一m+3^1—m故方程一L_+_L_=i表示椭岡的先分不必要条件可以£wie(-3,-l).w+3l-m故选：D.5.直线A+y+2=0分别与x轴、y轴交于九B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上运动，则面积的最小值为()A.6 B.4 C.2 D.4-2^2【答案】C【解析】【分析】首先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，减去半径最小.再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】解：由直线x+y+2=0分别与又轴、；v轴交于两点，得A(-2,0)，fi(0，-2)•所以|4列=2>/?，由困(x-2)2+y2=2得圆心M(2,0)，半径r=必,没点P到直线AB的距离为h，点M到直线AB的距离为r/,,2+0+2 厂则d= =2>/2,所以A>J-V2=V2•2X1-2

2X1-2

>-A1-22故选：C.6.己知数列{a,的前"项和为叉，荇a广1，^|+1=35/((«>1),则\。等于(>410-1 B.410-1 C.49 D.4J0【 】C【解析】【分析】= 可得\+1=4S„,故讨求5：。的值.【详解】因为^=3S„（n>1）・所以5n+J=4S„,而51=1^0,所以5n^0.故^=4,故｛乂;!为等比数列且首项为1，公比为4，故K故选：C.2己知W是2与S的等比中项，则圆锥曲线X2-^=l的离心率等于（）mA. BJJ C.J或f D.W或戶N22【答案】C【解析】【分析】由等比中项定义求得川，根据川的取值确定曲线足椭岡还足双曲线，然后计算离心率.【详解】由已知//?2=2x8，m=±4,当/h=-4吋，方程为x:+22=l.曲线为椭圆，a:=4,fc:=l,c=d=忑,离心率为^=—:4 2当m=4吋，方程为r一22=1,曲线为双曲线.a2=l，/?:=4,c=>/47T=V5>离心率为e=4s.4故选：C.北京天坛的園丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同.且卜'层比中层多729块.则三层共有扇而形石板（不含天心石）（）

A.3699块3474块A.3699块3474块3402块3339块【答案】C【解析】【分析】第《环天石心块数为a,,•第一S共有环.则｛a„｝是以9为首项，9为公差的等差数列，

没^为｛化｝的前”项和，由题意吋得S5n-S2n=S2n-Sn+129.解方程即吋得到/，，进一步得到【详解】设第n环天石心块数为第一层共有《环，则｛^｝是以9为首项，9为公差的等差数列，an=9+(n-l)x9=9n9没人为的前"项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn9S2n-Sn9S5n-S2n,因为下层比中层多729块，所以Sin-S2n=S2n-Sn+729，3"(9+27")2/1(9+18") 2n(9+18”)"(9+9")('22=22+即9/r=729,解得《=9.所以\=52=遡故选：C【点晴】本题主要考S等差数列前〃项和有关的计算问题，考査学生数学运g能力•足一道容易题.二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分〉下列利用方向向簠、法向星:判断线、面位罝关系的结论中•正确的是()A.两条不重合直线A，/:的方向向鼠分别&«=(2.3.-1)^=(-2,-3,1),则/,///2B.直线/的方向向鼠^=(1-1.2),平面a的法向M^u=(6.4.-1),则/±ac.两个不同的平而a，/?的法向量分别是m=(2,2-1),v=(-3,4,2).则a丄/7D.直线/的方向向量三=(0.3,0)，平面a的法向星足《；=(0、-5,0)，则///a【答案】AC【解析】【分析】根裾条件结合空问向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即Ilf.【详解】对于A,两条不重合直线的方向向鼠分别=(2,3,-1)^=(-2-3,1),115=-a,所以////:，

对于B.直线/的方向向量a=(l,-l,2),平面a的法向簠是M=(6,4-1)且a.w=lx6_lx4+2x(—1)=0，所以///a或Ica，选项B错误：对于c，两个不同的平面a，/?的法向鼠分别是zi=(2,2,-1)，^=(一3,4,2)，且h^=2x(-3)+2x4-1x2=0,所以a丄々，选项c正确：对于D.直线/的方向向Ma=(0,3,0).平面a的法向星是ii=(0,-5,0)Hw=-|«.所以/la，选项D错误.故选：AC卜列选项正确的是()A.过点(-1,2)且和直线3x+2y-7=0垂直的直线方程是2x-3y+8=OK直线/的斜率/re[-1,73],则直线倾斜角a的取值范阐Sae若直线ll:x-2y+l=0与/2:2义+巧|-2=0平行，则/丨与/2的距离为己知点A(-3,l,-4),则点A关于原点对称点的坐标为(3-1,4)【答案】ACD【解析】【分析】对于A，可设过点(-1,2)且和直线3x+2>-7=0垂直的直线方程为2x-3y+C=0,将点(-1,2)代入解得即"J■判断：对于B.根据直线的斜率求出倾斜角即蚜判断：对干C，报据两直线的位置关系求出a.再利用两平行直线的距离公式求出距离，即吋判断：对于D.根据空W直角坐标系中点的对称性即uj■判断.【详解】解：对于A.可设过点(-L2)且和直线3x+2y-7=0垂直的直线方程为2x-3y+C=0.则直线倾斜角a的取值范闹足0,故B错误:则有一2—6+C=0,解得(7=8,所以所求方程为则直线倾斜角a的取值范闹足0,故B错误:对于B.??直线/的斜率对于C，若直线/_:x-2y+l=0与l2:2x+ay-2=0平行,则rt+4=0,所以a=-4.所以/::2x-4.v-2=0,即x-2y—1=0,故C故C正确:对于D，己知点4（-3.L-4）t则点A关于原点对称点的坐标为（3-L4）,故D正确.故选：ACD.11.设椭岡c:4+f=1（/7〉/?>0）的右焦点为厂（C，O）且r〉0,点犬为左顶点，点5为上顶点，直线/a'b'过原点且与椭岡交于A/./V两点（异于长轴顶点）.则以卜命题正确的是（ ）MF+NF=2a\FM+FN\=2a么剛F面积最人值为&•直线AW与直线A/V的斜率之积是-$a~【答案】ACD【解析】【分析】结合椭岡的定义、向鼠运算、三角形的面积、直线斜率的乘积等知识对选项进行分析.由此确定正确选项.【详解】设f是左焦点，D足卜'顶点.由于直线MV过原点，/W./V关于原点对称，也关于原点对称，齢MF_FVMF戶F,所以四边形是平行四边形.根据椭圆的定义知MF+NF=MF+MFi=2a.A选项正确.FM+FN^=\FFl\=2c,B选项错误.Sa曆=2久曆=2x^xOFx\yM\=cx\yM\<bc,C选项正确.没直线湖的方程为*=.11故选：ACD且满足a„+4Sn_且满足a„+4Sn_1\=0(n>2)，巧=\,则下列说法正确的4B.数列的通项公式为a,,= 1) 4"(”+1)D.数列为递增数列A.数列的前n项和为S(1=-i-4nc.数列｛a,,｝为递增数列【答案】AD【解析】【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列.利用等差数列定义与通项公式求S„.最后根据和项与通项关系得a„.【详解】..'+4\_人=0(心2)”..S„-乙+4\_人=0:S关0/.——=4f1,1、因此数列｛y｝为以y=4为首项.4为公差的等差数列.也足递增数列，即D正确:所以-^-=4+4(//-1)=4//.-.Sn=^-,即a正确：5・. 4/74"4("—1)4"4("—1)14n("—1)，，"=1Wr以Wr以H故选：AD C不正确:，即B. ji>24"（/，一1）【点睛】本题考査由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列电调性.考査基本分析论证~求解能力，域中档题.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分〉等差数列的前《项和为若前5项和为5,倒数5项和为55. =2022,则〃= .【答案】337【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式，列方程组即4求解.【详解】由前5项和为5.倒数5项和为55可知｛ «1+«2+^3+«4+«5=5 ，+«n-l+…卜2+«n-3+%卜4=55两个式子相加得：5(义+义)=60,即义+a,,=12 由等差数列求和公式知Sn=n--=6»=2022，解得n=337故答案为：337己知动点P(xyy)在椭圆+ =1上，过点尸作岡(x-3)2+y2=1的切线，切点为W，则PA/的最小值是 【答案】7J【解析】【分析】没圆(x-3)2+y2=1的圆心为4(3,0)，由题意可知尸似丄AW.利用勾股定理可知\PMf=\APf-\AMf,进而问题转化为求得APfe小值.当点A到椭闘的右顶点时AP最小.进而求得P.W最小值.【详解】设圆(x-3)2+r=1的圆心为4(3,0)，由题意可知丄AW，V|AM|2=1,-\AP\越小，|/W|越小，而A为椭圆的右焦点，•JAP最小是5-3=2，小74^1=73.故答案为：V3.若双曲线E~^-=l(a>Q,b>Q)的左、右焦点为门、F2,若在其渐近线上存在一点尸，使得CTO\PF,\-\PF^=2b,则双曲线F的离心率的取值范围为 【答案】(L>/2)【解析】【分析】不妨没点P在第一象限，则|^|>1^1，没线段尸&交双曲线£的右支于点M，利用双曲线的定义结合三角形三边关系推导出0<-<1,结合双曲线的离心率公式UJ求得结果.a 【详解】不妨设点在第一•象限.则|Pf]|>|/^|，设线段交双曲线芯的右支于点A/，则2/)=|Pf；|-|PF,|=|Pf；|-|PAf|-|A^:；|<|A^|-|A^|=^,即0<-<1，故答案为：在正四棱锥尸一ABCD屮.所有棱长均为2,0为正方形ABCD的中心.则正四棱锥P-ABCD的体积为 .直线与平面所成角的余弦值为 .【答案】①.@五3【解析】

【分析】利用锥体的体积公式uf求解，迮立空M直角坐标系，利用空间向量求线面角即uf得解.【详解】由正四棱锥的性质知丄平而ABCD，且PO=>jPC2-OC2=y/2133133以0为坐标原点，04为x轴，为y轴，0P为z轴，建立空问直角坐标系,P(0,0，V2),D(0,->/2,0),^(0,72,0),C(->/2,0,0)则ro=(0,-V2,-V2).pS=(0.>/2,-V2).PC=(-V2,0.-a/2)没平面PBC?的法向=没直线PD与平面没直线PD与平面P8C所成角为e，取x=lf得/i=(l，一1，一1)则sm则sm0=cos{PD."〉=^H=2>/2=2/6PD|-|/i|~2^3~T所以直线PD与平面PBC所成角的余弦值为cos^=所以直线PD与平面PBC所成角的余弦值为cos^=故答案为：巫，也四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〉17.在平面直角坐标系.vQv中，己知圆A/过点为(1.2)，B(7.-6).且圆心在直线x+y—2=0上.'1)求岡M的标准方程：'2)没平行于似的直线/与圆Af相交于C.Z)两点，且CD=2OA，求直线/的方程.

【答案】(1)(x-4)2+(y+2)2=25；(2)2r-y-20=0.【解析】【分析】U)联立线段Afl的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出岡的半径以及岡M的标准方程：U)没出直线/的方程，由CD=2OAnf得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，uj•得直线/的方程.【详解】(1>由题意对解得线段的垂直平分线所在的方程为：y+2=4(x-4),即y=^.v-5,因为圆心x+y-2=03 ，，解得＜y=—x-5的交点，联立•在直线x+y—2=0上，且圆A/过点d(1.2),B(7,一6)，x+y-2=03 ，，解得＜y=—x-5的交点，联立•4所以_的标准方程为(X-4)2+(y+2)2=25.U)由直线/平行于可设直线/的方程为：y=2x+nu 则圆心A/到直线/的距离为18+?+m\|1O+w，闪为CD=2OA=2f，18+?+m\|1O+w，闪为CD=2OA=2f，所以'+5=25,所以d=，则解得一20或m=O(舍去)，则直线/的方程为2v-y-20=0.【点睛】关键点点睹：本题考查岡的标准方程，考査圆的性质，解决本题的关键点是由己知求出弦长CD，利用圆的弦长的一半.圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形.结合勾股定理计算出参数的值.进而可得直线的方程，考査了学生计算能力，域于中档题.18.己知椭岡:^+-^-=l(t/>Z?>0)的离心率为上顶点为4(0.1).crlr 2U)求椭圆£的方程：8^2的直线与椭圆E8^2的直线与椭圆E交于不同的两点M.N，且MN=工，求々的值.【答案】⑴丁（2）k=±yf3

【解析】【分析】(1)由题意可知a=41c，b=l,结合b2=a2-c2=lr即可求得椭圆£的方程:12〉没直线f的方程.代入椭_方程.由韦达定理及弦长公式.即4求得A的值.【小问1详解】由离心率e=-=则a=4ic，a2又上顶点A(OJ),知b=l,又b2=a2-c2=l^可知c=l.a=V2«.•.椭圆£的方程为y+y2=l：【小问2详解】没直线/:y=^+V3,i殳A^u)，yv(.r2，y2)，y=kx+>/3/ ，整理得：(l+2/:2)r!+4VUr+4=0,y+r=lA=(4V3<J2-4x4x(l+2^2)>0.即k2>1，•••\MN\=Jl+k2|a;-x2|=VlTP"^(x1+Z)F-19即17P-32V-57=0.解得：k2=3或-jy(舍去)在①a3=5，a2+a5=6b2:②M=2,a3+a4=3b3:③S2=9,a4+a5=Sb2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题屮，并解答.己知等差数列的公差为前"项和为久，等比数列的公比为q,且a：=b：，d=q.(1)求数列｛aj.的通项公式.(2〉记〜=爷，求数列pj，的前h项和7；.注：如果选择多个条件分别解S.按第一个解答计分.【荇允】（1）见解析（2）见解析【解沂】【分析】三个条件都町以填入求解.总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可，（2）数列{cn}^一个等差乘以等比的式子求和.用错位相减法即4解决。【详解】方案一：选条件①（1）va,=5»a,-\-ac=6/?,»a.=b.,d=q，d>1（舍去〉（舍去〉:.an=a^(n-l)d=2n-lK= =2-■h+3X〔去）+5X（幻十…+⑶-加⑷+（2^-1）1Y-12,1-21-2一(2/i-1)x=3-(2"+3)x⑷...7；...7；=6-(2"+3)x方案二：选条件②(1) •••b:=2，a3+a4=3b”％=hrd=q.d>1p/=2[2^+5J=3a//2p//=2[2^+5J=6J.•・an.•・an=at+(ii-l)d=2n-iK=W=2-+...+(2n-3)x⑷ +(2'，-l)x〔!)1-21-2一1-21-2一(2/i-1)x3-(2n+3)x1Y/.7；=6-(2«+3)x^-J方案三：选条件③...S3=9，a4+a5= =brd=q.d>1(ak(ak+d=3[2^+7d=Sakd...an=A+("-=2n-lK=_2"—in-lx〔去)n-lx〔去)+5x(去+...+(2"一3)x(A)+(2n—1)xi■^=r3•^=1+2=l+2x…十-(2n-l)xl)x⑷=3-(2w+3)xf|1・..T=6-(2n+3)・..T=6-(2n+3)【点睛】此题考査等差等比数列综合W用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，域于较易题目。如阁，在平行四边形ABCD中，AB=1,BC=2,ZABC=60°,四边形ACEF为正方形，且平面ABCD丄平面ACEF.证明:AB丄CF;'2)求点C■到平面的距离：'3)求平面BEF与平面夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析：么2^14【解析】【分析】(1)利用余弦定理计算AC，再证明丄4C即4推理作答.(2)以点4为原点，射线AC,分别为x,y，z轴非负半轴建立空问直角坐标系.借助空问向壁计算点C到平面的距离.利用(^屮坐标系.用向量数黾积计算两平面夹角余弦值.进而求解作答.

【小问1详解】在oASCD中，BC=2,ZABC-60\由余弦定理AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC•AC:=l:+22-2xlx2cos60=3>即AC=y/3有AC2+AB2=4=BC2^则ZBAC=90>即丄AC,因平面ABCD丄平面ACEF,平面ABCDf]平面ACEF=AC.ABc^ABCD>于足得丄平面ACEF,又CFc平面ACEF、所以4Z?丄CF.【小问2详解】闶四边形ACEF闶四边形ACEF为正方形，即A尸丄AC,由^AB.AC.AF两两垂直,A(0,0,0),B(l，0,0),C(0.扎0)，F(0.0,^)，D(-l.扎0)，£(0..FE=(0.>/3.0),BE=(-L0.^3)，设平面從F的一个法向黾n=\n-BC\_|-lxV3|_>/3Pl=拗入1\n-BC\_|-lxV3|_>/3Pl=拗入1:=了而玩=（-l，W，0）,于是得点C到平面的距离a=所以点c到平面BEF的距离为【小问3详解】由(2)知，AF=(0.0,73),AD=(-1.>/3,0).设平面ADF—个法向星/n=(x2,y2,z2).fm・AF=y^Z，=0 _ 广则j -，令y:=1，得"，=(>/?丄())•[fri・AD=-x^+>/3>\=0>/3x^/3>/3x^/3TOC\o"1-5"\h\z, 、m-n x 3冗 cos〈"'，"〉=rv^=/厂.，/厂'.=I.设平面忍没■与平而夹角为沒，^e(0.-],M"lV(W)+1XV(々)+14 2则有cos0=|cos〈'n,"〉|=与，sill汐=々l-cos:Q=—，\o"CurrentDocument"4所以平而BEF与平面ADF夹角的正弦值为f.4【点睛】易错点睛：空W向星:求二面角时，一是两平面的法向皇的夹角不一定是所求的二面角.二足利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.己知各项均为正数的数列满足= 且久+2是久，化的等差中项.(I)求数列｛人｝的通项公式^;(U)若k=logia”，s・'=++ ,求使\+”.2,⑷>50成立的正幣数"的最小值.2【答案】(I)a„=2\(D)5【解析】【分析】(I)根据递推公式<+1-久+1久-2<=0化简即"J•证明数列｛a,,｝为等比数列，再求解通项公式即i4.(nj求得b,'再求得Sn后利用错位相减求解判断即【详解】W^-all¥lafl-2a；= +«n)=0,因为数列｛a”｝各项均为正数.故an+l-2aa=0，an+l=2a„.所以｛a”｝是以公比为2的等比数列.又a5+2是a2，a4的等差中项，故a:+a4=2(a3+2)，即 +8^=2(%+2)=>巧=2.故an=2x2"、2