高等数学A(二)试题答案课件

解:特征方程：济南大学1314高等数学A(二)参考解答一、填空题（每小题2分，共10分）1．微分方程的通解为___________.有重根因此原方程的通解为注:微分方程不必复习,肯定不考解:特征方程：济南大学1314高等数学A(二)参考解答一、填1极限解:原式2．代入法极限解:原式2．代入法23.

设二元函数则解:3.设二元函数则解:34.的收敛半径为_______.解:故收敛半径为幂级数4.的收敛半径为_______.解:故收敛半径为幂级数44.的收敛半径为______.解:比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为幂级数直接由看作任意项级数,4.的收敛半径为______.解:比值审敛法求收敛半径.时55.，则分析.

为周期的周期函数,设函数是以在区间上的表达式为的傅里叶级数在处收敛于

.5.，则分析.为周期的周期函数,设函数是以在区间上6定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

x为间断点其中为f(x)

的傅里叶系数.

x为连续点定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为27二．选择题(每小题2分,本大题满分10分)极限则（)分析:等价无穷小替换,重要极限二．选择题(每小题2分,本大题满分10分)极限则（82.二元函数处的全微分存在是在点是它在该点两个一阶偏导数都存在的()(A)充分条件.(B)必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件.2.二元函数处的全微分存在是在点是它在该点两个一阶9全微分的定义

定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y10(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微当函数可微时:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(111多元函数连续、可导、可微的关系函数连续偏导数存在函数可微偏导数连续小结极限，连续，可导，可微的关系图极限存在连续可微分偏导数存在偏导数连续多元函数连续、可导、可微的关系函数连续偏导数存在函数可微偏导123.若z=f(x,y)在(x0,y0)处取得极大值,则g(y)=f(x0,y)A.g(y)在y0取得最大值;B.g(y)在y0取得极大值C.y0是g(y)的驻点D.以上都不对.则()3.若z=f(x,y)在(x0,y0)处取得极大值,则g134.分析如果满足条件:则级数收敛.A的一般项不趋于零，级数发散重要参考级数:几何级数,p-级数,调和级数.

B，D

条件收敛C绝对收敛下列级数中,绝对收敛的是()知识点:条件收敛,绝对收敛,交错级数4.分析如果满足条件:则级数收敛.A的一般项不趋于14的特解形式为()5.微分方程

特征方程特征根为因此设非齐次方程特解为解：本题的特解形式为()5.微分方程15三、计算题（每小题8分，共40分）1.设求解

:三、计算题（每小题8分，共40分）1.设求解:16是由方程确定的隐函数

求解：知识点:隐函数求导公式,令2.设是由方程确173.的通解.求微分方程4.满足初始条件求微分方程的特解.解：分离变量得两边积分得或3.的通解.求微分方程4.满足初始条件求微分方程的特解.解：18还是条件收敛？解:5.的敛散性,并指出是绝对收敛判断级数知识点:条件收敛,绝对收敛,交错级数还是条件收敛？解:5.的敛散性,并指出是绝对收敛判断级数知191.计算解:在球面坐标系下所围的闭区域.其中

是由球面

四、计算下列积分（每小题10分，共20分）1.计算解:在球面坐标系下所围的闭区域.其中是由球面202.

计算介于z=0和z=1之间部分的下侧.解:

其中

是旋转抛物面在xoy面上的投影区域为原式=:取下侧.2.计算介于z=0和z=1之间部分的下侧.解:其中是21五、综合题1.证明曲线积分

在右半平面x>0内与路径无关,并计算积分证:

令则所以在右半平面x>0内与路径无关,取直线段直线段五、综合题1.证明曲线积分在右半平面x>0222.

设平面区域D是由曲线和直线五、综合题（每小题10分，共20分）的和函数.计算二重积分所围成的闭区域，其中是幂级数2.设平面区域D是由曲线和直线五、综合题（每小题10分，共23解:n在分母上先导后积解:n在分母上先导后积24取D为X-型域:说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.取D为X-型域:说明:有些二次积分为了积分方便,25全微分,复合函数求导,隐函数求导,连续,可导和全微分的关系,函数的极值二重积分的几何意义,直角坐标系下的二重积分,球坐标系下的三重积分,第二类曲面积分,格林公式,曲线积分与路径无关的充要条件去年高数A(二)考点总结交错级数的莱布尼兹判别法,条件收敛和绝对收敛,求幂级数的收敛半径以及和函数.收敛定理去年高数B(二)考点函数展成幂级数,极坐标系下的二重积分.全微分,复合函数求导,隐函数求导,二重积分的几何意义,直角坐26求函数的极限,全微分,复合函数求导,隐函数求导,连续,可导和全微分的关系,函数的极值和最值,拉格朗日乘数法.二重积分的几何意义,直角坐标系下的二重积分计算,极坐标系下的二重积分,直角坐标系下的三重积分,柱坐标系和球坐标系下的三重积分,第二类曲线积分和第二类曲面积分,格林公式,曲线积分与路径无关的充要条件,高斯公式考试重点交错级数的莱布尼兹判别法,条件收敛和绝对收敛,阿贝尔定理,幂级数的收敛半径以及和函数.函数展成幂级数.傅立叶级数的收敛定理求函数的极限,全微分,复合函数求导,隐函数求导,连续,可导和27口诀分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导后积先定限，限内画条线，先交为下限，后交为上限.复合函数求导二重积分计算(交换积分次序)三重积分计算先一后二,先二后一对弧长的曲线积分一代二换三定限对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲线积分一投二代三换一投二代三定号(上正下负)求和函数先导后积,先积后导,求导去分母积分去分子展成幂级数先导再展后积(间接展开法)二重,三重,第一类积分:你对称，我奇偶口诀分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导后积先定限，28(上正下负)(上正下负)294.所围闭区域，则____.解.积分域如图.将是由一、填空题（每小题2分，共10分）二重积分的几何意义

4.所围闭区域，则____.解.积分域如图.将是由一30处()A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、不能确定则它在5.如果幂级数的收敛半径是2，定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式，那么此级数在

内收敛,在内发散，在分界点的敛散性无法确定.分析:二．选择题(每小题2分,本大题满分10分)处()A、发散315.将函数解:展开成x的幂级数，并写出他的收敛域.方法:求导→展开→积分三、计算题（每小题8分，共40分）5.将函数解:展开成x的幂级数，并写出他的收敛域.方法:求导32从0到x积分,得定义且连续,域为上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛方法:求导→展开→积分从0到x积分,得定义且连续,域为上式右端的幂级数33间接展开法(1)展成x的幂级数,也就是在点处展开.例.将函数展开成x的幂级数.解:因为把x

换成,得把x

换成,得注意：看清要在哪点展开；确保得到的是幂级数；注出定义域．间接展开法(1)展成x的幂级数,也就是在点34四、计算下列二重积分（每小题10分，共20分）1.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则四、计算下列二重积分（每小题10分，共20分）1.计算其中35

2.计算解:其中D是圆环在极坐标系下原式在第一象限部分.2.计算解:其中D是圆环在极坐标系下原式在第一象限部分36五、综合题（每小题10分，共20分）1.求曲线原点的最长距离与最短距离.解方程组得驻点设曲线上的点到坐标原点的距离的平方为故最长距离是解:

上的点到坐标设拉格朗日函数考虑边界上点的函数值最短距离是1.五、综合题（每小题10分，共20分）1.求曲线原点的最长37解:特征方程：济南大学1314高等数学A(二)参考解答一、填空题（每小题2分，共10分）1．微分方程的通解为___________.有重根因此原方程的通解为注:微分方程不必复习,肯定不考解:特征方程：济南大学1314高等数学A(二)参考解答一、填38极限解:原式2．代入法极限解:原式2．代入法393.

设二元函数则解:3.设二元函数则解:404.的收敛半径为_______.解:故收敛半径为幂级数4.的收敛半径为_______.解:故收敛半径为幂级数414.的收敛半径为______.解:比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为幂级数直接由看作任意项级数,4.的收敛半径为______.解:比值审敛法求收敛半径.时425.，则分析.

为周期的周期函数,设函数是以在区间上的表达式为的傅里叶级数在处收敛于

.5.，则分析.为周期的周期函数,设函数是以在区间上43定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

x为间断点其中为f(x)

的傅里叶系数.

x为连续点定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为244二．选择题(每小题2分,本大题满分10分)极限则（)分析:等价无穷小替换,重要极限二．选择题(每小题2分,本大题满分10分)极限则（452.二元函数处的全微分存在是在点是它在该点两个一阶偏导数都存在的()(A)充分条件.(B)必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件.2.二元函数处的全微分存在是在点是它在该点两个一阶46全微分的定义

定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y47(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微当函数可微时:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(148多元函数连续、可导、可微的关系函数连续偏导数存在函数可微偏导数连续小结极限，连续，可导，可微的关系图极限存在连续可微分偏导数存在偏导数连续多元函数连续、可导、可微的关系函数连续偏导数存在函数可微偏导493.若z=f(x,y)在(x0,y0)处取得极大值,则g(y)=f(x0,y)A.g(y)在y0取得最大值;B.g(y)在y0取得极大值C.y0是g(y)的驻点D.以上都不对.则()3.若z=f(x,y)在(x0,y0)处取得极大值,则g504.分析如果满足条件:则级数收敛.A的一般项不趋于零，级数发散重要参考级数:几何级数,p-级数,调和级数.

B，D

条件收敛C绝对收敛下列级数中,绝对收敛的是()知识点:条件收敛,绝对收敛,交错级数4.分析如果满足条件:则级数收敛.A的一般项不趋于51的特解形式为()5.微分方程

特征方程特征根为因此设非齐次方程特解为解：本题的特解形式为()5.微分方程52三、计算题（每小题8分，共40分）1.设求解

:三、计算题（每小题8分，共40分）1.设求解:53是由方程确定的隐函数

求解：知识点:隐函数求导公式,令2.设是由方程确543.的通解.求微分方程4.满足初始条件求微分方程的特解.解：分离变量得两边积分得或3.的通解.求微分方程4.满足初始条件求微分方程的特解.解：55还是条件收敛？解:5.的敛散性,并指出是绝对收敛判断级数知识点:条件收敛,绝对收敛,交错级数还是条件收敛？解:5.的敛散性,并指出是绝对收敛判断级数知561.计算解:在球面坐标系下所围的闭区域.其中

是由球面

四、计算下列积分（每小题10分，共20分）1.计算解:在球面坐标系下所围的闭区域.其中是由球面572.

计算介于z=0和z=1之间部分的下侧.解:

其中

是旋转抛物面在xoy面上的投影区域为原式=:取下侧.2.计算介于z=0和z=1之间部分的下侧.解:其中是58五、综合题1.证明曲线积分

在右半平面x>0内与路径无关,并计算积分证:

令则所以在右半平面x>0内与路径无关,取直线段直线段五、综合题1.证明曲线积分在右半平面x>0592.

设平面区域D是由曲线和直线五、综合题（每小题10分，共20分）的和函数.计算二重积分所围成的闭区域，其中是幂级数2.设平面区域D是由曲线和直线五、综合题（每小题10分，共60解:n在分母上先导后积解:n在分母上先导后积61取D为X-型域:说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.取D为X-型域:说明:有些二次积分为了积分方便,62全微分,复合函数求导,隐函数求导,连续,可导和全微分的关系,函数的极值二重积分的几何意义,直角坐标系下的二重积分,球坐标系下的三重积分,第二类曲面积分,格林公式,曲线积分与路径无关的充要条件去年高数A(二)考点总结交错级数的莱布尼兹判别法,条件收敛和绝对收敛,求幂级数的收敛半径以及和函数.收敛定理去年高数B(二)考点函数展成幂级数,极坐标系下的二重积分.全微分,复合函数求导,隐函数求导,二重积分的几何意义,直角坐63求函数的极限,全微分,复合函数求导,隐函数求导,连续,可导和全微分的关系,函数的极值和最值,拉格朗日乘数法.二重积分的几何意义,直角坐标系下的二重积分计算,极坐标系下的二重积分,直角坐标系下的三重积分,柱坐标系和球坐标系下的三重积分,第二类曲线积分和第二类曲面积分,格林公式,曲线积分与路径无关的充要条件,高斯公式考试重点交错级数的莱布尼兹判别法,条件收敛和绝对收敛,阿贝尔定理,幂级数的收敛半径以及和函数.函数展成幂级数.傅立叶级数的收敛定理求函数的极限,全微分,复合函数求导,隐函数求导,连续,可导和64口诀分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导后积先定限，限内画条线，先交为下限，后交为上限.复合函数求导二重积分计算(交换积分次序)三重积分计算先一后二,先二后一对弧长的曲线积分一代二换三定限对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲线积分一投二代三换一投二代三定号(上正下负)求和函数先导后积,先积后导,求导去分母积分去分子展成幂级数先导再展后积(间接展开法)二重,三重,第一类积分:你对称，我奇偶口诀分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导后积先定限，65(上正下负)(上正下负)664.所围闭区域，则____.解.积分域如图.将是由一、填空题（每小题2分，共10分）二重积分的几何意义

4.所围闭区域，则____.解.积分域如图.将是由一67处()A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、不能确定则它在