第二十二章《二次函数》整章优质课件(人教版数学九年级上册)

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数人教版九年级上册数学122.1二次函数的图象和性质22.1.4

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质22.1二次函数的图象和性质2第一课时返回二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第一课时返回二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质y=a(x-h)2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当x<h时，y随着x的增大而减小.当x>h时，y随着x的增大而增大.

当x<h时,y随着x的增大而增大.当x>h时，y随着x的增大而减小.

x=h时,y最小值=kx=h时,y最大值=k抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.回顾旧知二次函数y=a(x-h)2+k的性质y=a(x-h)2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐4

我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c图象和性质?导入新知我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k5素养目标3.能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.2.能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.素养目标3.能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象画出二次函数y=ax2+bx+c的图象

我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论

的图象和性质？【思考1】怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？探究新知知识点1画出二次函数y=ax2+bx+c的图象我们配方可得想一想：配方的方法及步骤是什么？探究新知怎样将

化成y=a(x-h)2+k的形式？配方可得想一想：配方的方法及步骤是什么？探究新知怎样将配方

(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.【提示】配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.探究新知配方(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内【思考2】你能说出的对称轴及顶点坐标吗？答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.【思考3】二次函数

可以看作是由怎样平移得到的？答：平移方法1：

先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；

平移方法2：

先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.探究新知【思考2】你能说出【思考4】

如何画二次函数的图象？…………9876543x1.利用图象的对称性列表7.553.533.557.5510xy5102.然后描点画图，得到图象如右图.O方法一：描点法探究新知【思考4】如何画二次函数方法二：平移法268y4O-22x4-468探究新知方法二：平移法268y4O-22x4-468探究新知12【思考5】结合二次函数的图象，说出其性质.510xy510x=6当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.O探究新知开口方向：对称轴：顶点：向上x=6(6,3)【思考5】结合二次函数例1画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质.

x···-2-101234···y······-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解:函数通过配方可得

，先列表：画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质素养考点1探究新知例1画出函数2xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图象如下图：由图象可知，这个函数具有如下性质：开口方向：向下顶点坐标：（1，-2）对称轴：x=1最值：x=1时，y最大值=-2当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.探究新知2xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图象如

.

求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).解：巩固练习1

.求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？y=ax2+bx+c探究新知知识点2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质根17y=ax2+bx+c二次函数的顶点式对称轴为

.二次函数的一般表达式因此，抛物线的对称轴是

，顶点是

.探究新知y=ax2+bx+c二次函数的顶点式对称轴为18yOx（a>0）yOx（a<0）二次函数y=ax2+bx+c的图象：增减性？最小值最大值探究新知yOx（a>0）yOx（a<0）二次函数y=ax2+bx+c19探究新知探究新知20指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质例2

二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4） B．开口向下，顶点坐标为（1，4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）解析∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，∴函数图象开口向上，∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．方法点拨：把函数的一般式化为顶点式，再由顶点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质.素养考点2A探究新知指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质例2二次函数21顶点坐标对称轴最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,1)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6(

,-6)直线x=填一填.巩固练习2.顶点坐标对称轴最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2二次函数字母系数与图象的关系

一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：xyOy=k1x+b1xyOy=k2x+b2y=k3x+b3k1___0b1___0k2___0b2___0＞＞＜k3___0b3___0＜＞探究新知知识点3＞二次函数字母系数与图象的关系一次函数y=kx+b的图xyO二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：a1___0b1___0c1___0a2___0b2___0c2___0＞＞＞＞＜＝开口向上，a＞0对称轴在y轴左侧，x＜0对称轴在y轴右侧，x＞0x=0时，y=c.探究新知xyO二次函数的图象如下图xyOa3___0b3___0c3___0a4___0b4___0c4___0＜＝＞＜＞＜开口向下，a＜0对称轴是y轴，x=0对称轴在y轴右侧，x＞0x=0时，y=c.探究新知xyOa3___0b3___0c3___0a4___字母符号图象的特征a＞0开口_____________a＜0开口_____________b=0对称轴为_____轴a、b同号对称轴在y轴的____侧a、b异号对称轴在y轴的____侧c=0经过原点c＞0与y轴交于_____半轴c＜0与y轴交于_____半轴向上向下y左右正负探究新知二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系字母符号图象的特征a＞0开口_____________a＜0例3

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是

(

)A．1

B．2

C．3

D．4D由图象上横坐标为

x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出

a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值素养考点3探究新知例3已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列273.

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（

）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．ac>0巩固练习解析

根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，所以ac<0，D错误．B3.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，28

如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）

A．①②④

B．①②⑤

C．②③④

D．③④⑤巩固练习A连接中考如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴

B.直线x=C.直线x=2D.直线x=则该二次函数图象的对称轴为()D课堂检测基础巩固题1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下Oyx–1–232.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=–2时，x的值只能取0；其中正确的是

.（2）课堂检测基础巩固题Oyx–1–232.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,（

，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（）A．①②③

B．①③④C．①②④

D．②③④xyO2x=-1B课堂检测基础巩固题3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：直线x=3直线x=8直线x=1.25直线x=0.5课堂检测能力提升题根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：直线1.已知函数y=-2x2+x-4,当x=

时，y有最大值

.2.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（

）B课堂检测拓广探索题1.已知函数y=-2x2+x-4,当x=34顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a≠0)(一般式)配方法公式法(顶点式)课堂小结顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a≠0)配方法公式法课第二课时返回待定系数法求二次函数的解析式第二课时返回待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求函数的解析式已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。

解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），所以解得

k=3，b=-6一次函数的解析式为y=3x-6.【思考】如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？导入新知用待定系数法求函数的解析式已知一次函数经过素养目标2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函数的解析式.1.会用待定系数法求二次函数的解析式.素养目标2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函数的解析式【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？用三点式求二次函数的解析式

探究新知知识点1【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求39我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？

已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式.解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.

由已知得：a-b+c=10a+b+c=4三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。探究新知我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标40

已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)，求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.

由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？探究新知已知一个二次函数的图象过点(-1,41a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7①②③?由②-①可得：2b=-6b=-3由③-①可得：3a+3b=-3a+b=-1a=2将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10c=5∴解方程组得：a=2,b=-3,c=5.探究新知a-b+c=10①②③?由②-①可得：2b=-6b=-3由③42例1

已知一个二次函数的图象过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3).

三点，求这个函数的解析式.解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(-1，0),B(4，5),C(0，-3).∴

解得a＝1，b＝-2，c＝-3.∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.利用三点式求二次函数的解析式素养考点1探究新知例1已知一个二次函数的图象过点A(-1,0),B(443

求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可设解析式为y=ax2+bx+c,列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。归纳任意两点的连线不与y轴平行三点式求二次函数的解析式探究新知归纳任意两点的连线不与y轴平行三点式求二次函数的解析44

已知一个二次函数的图象过点A(0,0),B(-1,-1),C(1,9)三点，求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步:解方程组。解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(0,0),B(-1,-1),C(1,9).∴

解得a＝4，b＝5，c＝0.∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x.0=c-1=a-b+c9=a+b+c巩固练习1.

已知一个二次函数的图象过点A(0,045用交点式y=a(x-x1)

(x-x2)

求二次函数解析式

一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当x＝-2与

时，y＝0，求这个二次函数的解析式.探究新知知识点2两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求二次函数解析式46交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与x轴的两交点坐标，可设解析式为y=a（x-x1）（x-x2），把另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程.

例2

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.解:

∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)

∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3)

∵图象过点C(0,3)

∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1.

∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3利用交点式求二次函数的解析式素养考点2探究新知交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与x轴的两交点坐标，可47已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.因此所求的抛物线解析式为y=－x2+1.解:∵图象与x轴交于A(-1,0)，B(1,0)

∴设函数解析式为y＝a(x+1)(x-1)

∵图象过点M(0,1)

∴1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1.

∴二次函数解析式为y=-1(x+1)(x-1)巩固练习2.

已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）并经【思考】图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式探究新知知识点3【思考】图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x49利用顶点式求二次函数的解析式

例3

已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.解：∵抛物线顶点为(1,-4)∴设其解析式为y=a(x-1)2-4，

又抛物线过点(2,-3)，

则-3=a(2-1)2-4，则a=1.

∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.探究新知素养考点3利用顶点式求二次函数的解析式例3已知抛物线顶点为(1,50

若已知顶点坐标和一点，可设解析式为y=a(x-h)2+k，将另一点坐标代入解关于a的一元一次方程.归纳顶点式求二次函数的解析式探究新知归纳顶点式求51

巩固练习

巩固练习52

已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），求该函数的关系式.解：设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4y=﹣x2﹣2x+3连接中考巩固练习连接中考已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为()

A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-22.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为

.Dy=-7(x-3)2+4.课堂检测基础巩固题1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx54

如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3,

知抛物线一定过点(-2,0).

设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),

∵抛物线过点(0,4),

∴4=a(0+2)(0-8),课堂检测能力提升题如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与55

已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点(1,16)∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.课堂检测拓广探索题已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴56待定系数法求二次函数的解析式三点式交点式顶点式已知抛物线上三个点的坐标，设解析式为y=ax2+bx+c已知抛物线与x轴两交点的坐标，设解析式为y=（x-x1）（x-x2）已知抛物线顶点坐标和另一个点的坐标，设解析式为y=a（x-h）2+k课堂小结待定系数法求二次函数的解析式三点式交点式顶点式已知抛物线上三5722.1二次函数的图像和性质22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质22.1二次函数的图像和性质58（1）你们喜欢打篮球吗？导入新知（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？（1）你们喜欢打篮球吗？导入新知（2）你们知道投篮时，篮球59素养目标3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.1.正确理解抛物线的有关概念.2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.素养目标3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴二次函数y=ax2的图象的画法x…-3-2-10123…y=x2…

…

画出二次函数y=x2的图象.94101941.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：探究新知知识点1二次函数y=ax2的图象的画法x…-3-2-10123…y=24-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2

的图象．探究新知24-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐标-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy

二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.探究新知-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy画出函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-9xx…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

探究新知画出函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-9xx…

根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.1.y＝x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点．二次函数y=ax2的图象性质探究新知知识点2根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.1.y＝-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．探究新知说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.1.y1.顶点都在原点（0,0）;3.当a>0时，开口向上；

当a<0时，开口向下．2.图像关于y轴对称;探究新知二次函数y=ax2的图象性质1.顶点都在原点（0,0）;3.当a>0时，开口向上；

观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？

二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2探究新知观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0二次函数y=ax2的性质1.观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)探究新知知识点3二次函数y=ax2的性质1.观察图形，y随x的变化如何变化？对于抛物线y=ax2（a＞0）

当x＞0时，y随x取值的增大而增大；

当x<0时，y随x取值的增大而减小.探究新知二次函数y=ax2的性质对于抛物线y=ax2（a＞0）探究新知二次函数y=(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)2.观察图形，y随x的变化如何变化？探究新知(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)2.观察对于抛物线y=ax2（a＜0）

当x＞0时，y随x取值的增大而减小；

当x<0时，y随x取值的增大而增大.探究新知二次函数y=ax2的性质对于抛物线y=ax2（a＜0）探究新知二次函数y=解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5在同一直角坐标系中，画出函数的图象．探究新知解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x···－4－3－2－xyO-222464-48【思考】二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？当a>0时，a越大，开口越小.探究新知xyO-222464-48【思考】二次函数【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数的图象．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5探究新知【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.【思考】二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线

y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．探究新知xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a越小（即a的y＝ax2a>0a<0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减yOxyOx探究新知y＝ax2a>0a<0图象位置开对称性顶点最值增减性开口向上（3）函数y=

x2的图象的开口

,对称轴是

,

顶点是

;顶点是抛物线的最

点（2）函数y=－3x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

顶点是抛物线的最

点.（1）函数y=4x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

;

向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)（4）函数y=－0.2x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

.向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)高低填一填探究新知（3）函数y=x2的图象的开口例1已知y=(m+1)x

是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m2+m解:依题意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1因此m=1

此时,二次函数为:y=2x2.利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值素养考点1探究新知例1已知y=(m+1)x是二次函数,已知

是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=

.解：

是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，，解得k=2.2巩固练习1.

已知二次函数y=ax2的实际应用二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值）

质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值）物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值）探究新知知识点4二次函数y=ax2的实际应用二次函数y=ax2是刻画客观81例2已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，（1）求S与C之间的二次函数关系式；

即：S=（c＞0）（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.

二次函数y=ax2与不等式的综合运用注意自变量的范围素养考点2探究新知例2已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，82解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为cm，∴S与C之间的关系式为S=

；（2）作图如右：（3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm（4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8.，或c≤-8(舍去）.因此C

≥8cm.探究新知解：（1）∵正方形的周长为Ccm，.，或c≤-8(舍去）.因83(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．<巩固练习2已知二次函数y＝2x2.

(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，

∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，

∴OA＝OB，

∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.巩固练习(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，巩固练习方法点拨

二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．探究新知方法点拨二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因

已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（

）．A.y1＞0＞y2

B.y2＞0＞y1

C.y1＞y2＞0

D.y2＞y1＞0C巩固练习连接中考已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1

1.函数y=2x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧，y随x的增大而

,在对称轴的右侧,

y随x的增大而

.

2.函数y=-3x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧,y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xxyyOO课堂检测基础巩固题1.函数y=2x2的图象的开口,对称

3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是

.xyk>14.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O课堂检测基础巩固题3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．解：在二次函数y=x2中，a=1＞0

因此当x=0时，y有最小值.∵当x≥m时，y最小值=0，

∴m≤0．课堂检测能力提升题已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解：由题意得

解得因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝×4×1+×4×4＝10.课堂检测拓广探索题已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性课堂小结二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法以对称轴为中心对称取22.1二次函数的图像和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质22.1二次函数的图像和性质93第一课时二次函数y=ax2+k的图像和性质返回第一课时二次函数y=ax2+k的图像和性质返回94这个函数的图象是如何画出来呢？xy导入新知这个函数的图象是如何画出来呢？xy导入新知95素养目标3.能说出抛物线y=ax²+k的开口方向、对称轴、顶点.1.会画二次函数y=ax2+k的图象.

2.理解抛物线y=ax²与抛物线

y=ax²+k之间的联系.素养目标3.能说出抛物线y=ax²+k的开口方向、对称在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象.【解析】x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=x2+1……y=x2-1……105212510830-1038二次函数y=ax2+k图象的画法探究新知知识点11.列表：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=x2+1,y

y=x2+1108642-2-55xy

y=x2-1y=x2O2.描点，连线：探究新知y=x2+1108642-2-55xyy=x2-1y=x【思考】抛物线y=x2

、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？解：抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=x2向上x=0（0,0）y=x2+1向上x=0(0，1)y=x2-1向上x=0

(0，-1)探究新知【思考】抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方二次函数y=ax2+k的图象的画法例1在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象。解析

先列表：x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2+1…95.531.511.535.59…y=2x2-1…73.51-0.5-1-0.513.57…素养考点1探究新知二次函数y=ax2+k的图象的画法例1在同一直角坐100x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2+1…95.531.511.535.59…y=2x2-1…73.51-0.5-1-0.513.57…然后描点画图：268y4O-22x4-4

y=2x2-1y=2x2+1-1探究新知x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x101268y4O-22x4-4

y=2x2-1y=2x2+1-1

抛物线y=2x2+1

,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？【思考】抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+1向上x=0（0,1）y=2x2-1向上x=0（0，-1）解答：探究新知268y4O-22x4-4y=2x2-1y=21021.

在同一坐标系中，画出二次函数，

，

的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.

-4-2y-6O-22x4-4如图所示抛物线开口方向对称轴顶点坐标向下x=0（0,0）向下x=0（0,2）向下x=0（0，-2）巩固练习1.在同一坐标系中，画出二次函数103解：先列表：x···－3－2－10123···············在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．二次函数y=ax2+k的图象和性质1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)探究新知知识点2解：先列表：x···－3－2－10123··········xy-4-3-2-1o1234123456再描点、连线，画出这两个函数的图象：探究新知xy-4-3-2-1o1234123456再描点、连线，画出【思考】抛物线，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？抛物线开口方向顶点坐标对称轴向上向上（0,0）（0,1）y轴y轴【想一想】通过观察图象，二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？探究新知【思考】抛物线，的开口方向、对开口方向：向上对称轴：x=0顶点坐标：（0，k）最值：当x=0时，有最小值，y=k增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小；

当x＞0时，y随x的增大而增大.探究新知二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质开口方向：向上探究新知二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质y-2-2422-4x02.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：探究新知y-2-2422-4x02.二次函数y=ax2+k的图象和性根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是

.(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________(4)从上而下顶点坐标分别是

_____________________抛物线向下直线x=0(0,0)(0，2)(0,-2)探究新知根据图象回答下列问题:抛物线向下直线x=0(0,0)(0(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________(6)函数的增减性都相同：____________________________________________________高大y=0y=-2y=2对称轴左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小探究新知(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最y=ax2+ka＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴（x=0）y轴（x=0）顶点坐标（0,k）（0,k）最值当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k增减性当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.注意：k带前面的符号！探究新知二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质y=ax2+ka＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴（x=0例2已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.解析由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.c【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．二次函数y=ax2+k的性质的应用素养考点2探究新知例2已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x

抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是

,对称轴是

，在

侧，y随着x的增大而增大；在

侧，y随着x的增大而减小.巩固练习2.

（0,3）

y轴对称轴左对称轴右抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标函数对应值表x……y=2x2-1……y=2x2……y=2x2+1……4.5-1.53.55.5-1213x2x22x2-1(x,)(x,

)(x,)2x2-12x22x2+1从数的角度探究二次函数y=ax2+k的图象及平移2x2+1探究新知知识点4解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标4xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1观察图象可以发现，把抛物线y=2x2

向

平移1个单位长度，就得到抛物线

；把抛物线y=2x2

向

平移1个单位长度，就得到抛物线

y=2x2-1.

下y=2x2+1上从形的角度探究探究新知4xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=二次函数y=ax2+k的图象可以由

y=ax2

的图象平移得到：当k>0时,向上平移个单位长度得到.当k<0时,向下平移

个单位长度得到.上下平移规律：

平方项不变，常数项上加下减.探究新知二次函数y=ax2

与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(

)A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到解析

二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．D巩固练习3.

二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()解析二次函1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？2.抛物线y=ax2+k

中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，分两步即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.【想一想】探究新知1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？2.抛物线y=a

将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是

．连接中考巩固练习连接中考y=x2+2

将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位1.抛物线

y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线

．

2.填表：y=2x2－4函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2y=3x2＋1y=-4x2－5向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点课堂检测基础巩固题1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k

.在=2>2<2课堂检测基础巩固题3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x

时，

y随x的增大而减小；当x

时，函数y有最大值，最大值y是

，其图象与y轴的交点坐标是

，与x轴的交点坐标是

.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.向下平移1个单位.>0=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.课堂检测基础巩固题5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：

1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=____.3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.2-28能力提升题课堂检测1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴.二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：k正向上；k负向下.课堂小结课堂小结1.开口方向由a的符号决定；二次函数y=ax2+k（a≠0)第二课时二次函数y=a（x-h）2的图象和性质返回第二课时二次函数y=a（x-h）2的图象和性质返回125导入新知导入新知126a,c的符号a>0,c>0a>0,c<0a<0,c>0a<0,c<0图象开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0,c）（0,c）当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.x=0时，y最