导数的应用问题课件

§1中值定理设函数y=f(x)在点x0的某个邻域有定义,如果对于该邻域内任意异于x0的x

值,都有

f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))则称函数f(x)在点x0处取得极大值(极小值)f(x0),而x0称为函数f(x)的极大点(或极小点)

函数极值的概念极大值和极小值统称为函数的极值.极大点和极小点统称为函数的极值点.§1中值定理设函数y=f(x)在点x0的某个邻域有费马(Fermat)定理

如果

x0是函数f(x)的极值点,并且f(x)在该点可导,则f

(x0)0

(逆命题不一定成立)例如,函数y=x2+1,x=0是y的极值点,且f’(x)=2x,f’(0)=0例如,函数y=x3,f’(x)=3x2,f’(0)=0,但x=0不是y的极值点

函数驻点的概念使导数f’(x)为零的点称为f(x)的驻点或稳定点可导的极值点是驻点,但驻点不一定是极值点.费马(Fermat)定理例如,函数y=x2+1,x=0是y的拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函数

yf(x)满足

(1)

在闭区间[a

b]上连续;

(2)

在开区间(a

b)内可导,那么在(a

b)内至少存在一点x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函数

yf(x)满足

(1)

在闭区间[a

b]上连续;

(2)

在开区间(a

b)内可导,那么在(a

b)内至少存在一点x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函数

yf(x)满足

(1)

在闭区间[a

b]上连续;

(2)

在开区间(a

b)内可导,那么在(a

b)内至少存在一点x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

在区间

I上任取两点

x1

x2(x1<x2)应用拉格朗日中值定理在(x1,x2)内至少存在一点

x,使

f(x2)f(x1)f

(x)(x2x1)(x1<x<x2)

由假定

f

(x)0所以

f(x2)f(x1)0即

f(x2)f(x1)

因此

f(x)在区间

I上是一个常数

推论

如果函数

f(x)在区间

I上的导数恒为零

那么

f(x)在区间

I上是一个常数

证明

在区间I上任取两点应注意的问题：

如果定理的三个条件有一个不满足则定理的结论有可能不成立

罗尔(Rolle)定理

如果函数

yf(x)满足

(1)

在闭区间[a

b]上连续;

(2)

在开区间(a

b)内可导;

(3)

f(a)f(b),那么在(a

b)内至少存在一点x使得f

(x)0

应注意的问题：罗尔(Rolle)定理罗尔(Rolle)定理

如果函数

yf(x)满足

(1)

在闭区间[a

b]上连续;

(2)

在开区间(a

b)内可导;

(3)

f(a)f(b),那么在(a

b)内至少存在一点x使得f

(x)0

罗尔(Rolle)定理§3.2

洛必达法则

还有其它类型的未定式

0、、00、1、0

未定式

在函数商的极限中,如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大那么极限可能存在也可能不存在这种极限称为未定式,记为§3.2洛必达法则还有其它类型的未定式未定式举例

下列极限都是未定式

(0型)(00型)(1型)(0型)(型)(型)(型)未定式举例(0型)(00型)(1型)(0型)(

如果函数f(x)和g(x)满足如下条件

(1)f(x)和g(x)都是当xa时的无穷小

(2)f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0洛必达(L’Hospital)法则(应用于那么

型不定式)注：当x∞时，相应法则仍成立。如果函数f(x)和g(x)满足如下条件例解例解例解例解例解例解

如果函数f(x)和g(x)满足如下条件

(1)f(x)和g(x)都是当xa时的无穷大

(2)f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0洛必达(L’Hospital)法则(应用于那么

型不定式)如果函数f(x)和g(x)满足如下条件

解

例

解

例解例解例

解

例

解

例解例解导数的应用问题课件例解例解1.解极限不存在洛必达法则失效.思考题:以下解法对否?注意：洛必达法则的使用条件．2.解1.解极限不存在洛必达法则失效.思考题:以下解法对否?注意1.解思考题:以下解法对否?2.解注意：洛必达法则的使用条件．1.解思考题:以下解法对否?2.解注意：洛必达法则的使用条§3函数的单调性、极值、最大值和最小值3.1函数单调性的判定法3.2函数的极值3.3函数的最大值和最小值§3函数的单调性、极值、最大值和最小值3.1函数单调性的

f

(x)>0

f

(x)<0

观察结果

函数单调增加时导数大于零

函数单调减少时导数小于零

观察与思考

函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数单调性的判定法导数符号的几何意义：导数为正，曲线上升，导数为零，曲线不升不降，导数为负，曲线下降f(x)>0f(x)<0观察结果定理设函数f(x)在(a,b)内可导，则该函数在区间(a

b)内单调增加（单调减少）的充要条件是：f

(x)≥0（f

(x)≤0

),x∈(a,b),而f(x)=0只在个别点处成立

例如：y=x3,y'=3x2≥0,所以x3在（-∞，+∞）内单调增加。推论（充分性）若函数f(x)在某区间(a,b)内的导数为正（或为负），即f(x)>0（或f(x)<0),则函数f(x)在该区间内单调增加（或单调减少）

定理设函数f(x)在(a,b)内可导，则该函数在区间用导数求函数单调区间的方法①求驻点，将区间分解为几个子区间②对每一个子区间判定函数导数的正、负性，得到函数在该子区间的单调性。

例：求函数f(x)=(x-1)2-4的单调区间。

解：函数的定义域为（-∞，+∞），由f’(x)=2(x-1)(x-1)’=2x-2=0

可得驻点ξ=1当x<1时，f’(x)<0,当x>1时，f’(x)>0.所以函数f(x)在（-∞，1）上单调减少，在（1，+∞）上单调增加。用导数求函数单调区间的方法例：求函数f(x)提问：

f(a)和f(b)是极值吗？函数的极值函数的极值及其求法

设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果对于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))

则称f(x0)是函数

f(x)的一个极大值(或极小值)。x1x2x3x4x5

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,

使函数取得极值的点称为极值点.

观察与思考：

观察极值与切线的关系.提问：函数的极值函数的极值及其求法设函数f(

设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么f

(x0)0.驻点

使导数f

(x)为零的点(方程f

(x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.定理观察与思考：观察曲线的升降与极值之间的关系.

x1x2x3x4x5设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取

设函数f(x)在x0处连续

且在(a

x0)(x0

b)内可导

(1)如果在(a

x0)内f

(x)0

在(x0

b)内f

(x)0

那么函数f(x)在x0处取得极大值

(2)如果在(a

x0)内f

(x)<0

在(x0

b)内f

(x)>0

那么函数f(x)在x0处取得极小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)内

f

(x)的符号相同

那么函数f(x)在x0处没有极值

判别法则I(第一充分条件)

x1x2x3x4x5设函数f(x)在x0处连续且在(ax确定极值点和极值的步骤

(1)求出导数f

(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f

(x)的符号;

(4)确定出函数的所有极值点和极值.判别法则I(第一充分条件)

设函数f(x)在x0处连续

且在(a

x0)(x0

b)内可导

(1)如果在(a

x0)内f

(x)0

在(x0

b)内f

(x)0

那么函数f(x)在x0处取得极大值

(2)如果在(a

x0)内f

(x)<0

在(x0

b)内f

(x)>0

那么函数f(x)在x0处取得极小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)内

f

(x)的符号相同

那么函数f(x)在x0处没有极值

确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f(导数的应用问题课件判别式II(第二充分条件)

设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)0

f

(x0)0

那么

(1)当f

(x0)0时函数f(x)在x0处取得极大值

(2)当f

(x0)0时函数f(x)在x0处取得极小值.

应注意的问题：

如果f(x0)0

f

(x0)0

则定理3不能应用但不能由此说明f(x0)不是f(x)的极值.讨论：

函数g(x)x3在点x0是否有极值？判别式II(第二充分条件)设函数f(x)在点导数的应用问题课件最大值最小值问题

观察与思考：

观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点,

怎样求函数的最大值和最小值.

x1x2x3x4x5Mm最大值最小值问题观察与思考：x1x2x3x4x5Mmx1x2x3x4x5Mm

闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得.

函数在闭区间[a

b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者;其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者

极值与最值的关系x1x2x3x4x5Mm闭区间上的连续函数其x1x2x3x4x5Mm最大值和最小值的求法

(1)求出函数f(x)在(a

b)内的驻点和不可导点设这此点为x1

x2

xn;

(2)计算函数值

f(a)

f(x1)

f(xn)

f(b);(3)判断:

最大者是函数f(x)在[a

b]上的最大值最小者是函数f(x)在[a

b]上的最小值

x1x2x3x4x5Mm最大值和最小值的求法极值VS最大值、最小值

(1)极值是局部性的概念，函数在其定义域范围之内可以有多个极大值或极小值;

(2)最大值和最小值是全局性概念，函数在其定义域范围内只有一个最大值和一个最小值。极值VS最大值、最小值

例

求函数f(x)|x23x2|在[34]上的最大值与最小值

解比较可得f(3)20是f(x)在[34]上的最大值

f(1)f(2)0是f(x)在[34]上的最小值

例求函数f(x)|x23x2|在[特殊情况下的最大值与最小值

如果f(x)在一个区间(有限或无限开或闭)内可导且只有一个驻点x0

那么当f(x0)是极大值时

f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值

当f(x0)是极小值时

f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值

特殊情况下的最大值与最小值ThankyouThankyou§1中值定理设函数y=f(x)在点x0的某个邻域有定义,如果对于该邻域内任意异于x0的x

值,都有

f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))则称函数f(x)在点x0处取得极大值(极小值)f(x0),而x0称为函数f(x)的极大点(或极小点)

函数极值的概念极大值和极小值统称为函数的极值.极大点和极小点统称为函数的极值点.§1中值定理设函数y=f(x)在点x0的某个邻域有费马(Fermat)定理

如果

x0是函数f(x)的极值点,并且f(x)在该点可导,则f

(x0)0

(逆命题不一定成立)例如,函数y=x2+1,x=0是y的极值点,且f’(x)=2x,f’(0)=0例如,函数y=x3,f’(x)=3x2,f’(0)=0,但x=0不是y的极值点

函数驻点的概念使导数f’(x)为零的点称为f(x)的驻点或稳定点可导的极值点是驻点,但驻点不一定是极值点.费马(Fermat)定理例如,函数y=x2+1,x=0是y的拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函数

yf(x)满足

(1)

在闭区间[a

b]上连续;

(2)

在开区间(a

b)内可导,那么在(a

b)内至少存在一点x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函数

yf(x)满足

(1)

在闭区间[a

b]上连续;

(2)

在开区间(a

b)内可导,那么在(a

b)内至少存在一点x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函数

yf(x)满足

(1)

在闭区间[a

b]上连续;

(2)

在开区间(a

b)内可导,那么在(a

b)内至少存在一点x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

在区间

I上任取两点

x1

x2(x1<x2)应用拉格朗日中值定理在(x1,x2)内至少存在一点

x,使

f(x2)f(x1)f

(x)(x2x1)(x1<x<x2)

由假定

f

(x)0所以

f(x2)f(x1)0即

f(x2)f(x1)

因此

f(x)在区间

I上是一个常数

推论

如果函数

f(x)在区间

I上的导数恒为零

那么

f(x)在区间

I上是一个常数

证明

在区间I上任取两点应注意的问题：

如果定理的三个条件有一个不满足则定理的结论有可能不成立

罗尔(Rolle)定理

如果函数

yf(x)满足

(1)

在闭区间[a

b]上连续;

(2)

在开区间(a

b)内可导;

(3)

f(a)f(b),那么在(a

b)内至少存在一点x使得f

(x)0

应注意的问题：罗尔(Rolle)定理罗尔(Rolle)定理

如果函数

yf(x)满足

(1)

在闭区间[a

b]上连续;

(2)

在开区间(a

b)内可导;

(3)

f(a)f(b),那么在(a

b)内至少存在一点x使得f

(x)0

罗尔(Rolle)定理§3.2

洛必达法则

还有其它类型的未定式

0、、00、1、0

未定式

在函数商的极限中,如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大那么极限可能存在也可能不存在这种极限称为未定式,记为§3.2洛必达法则还有其它类型的未定式未定式举例

下列极限都是未定式

(0型)(00型)(1型)(0型)(型)(型)(型)未定式举例(0型)(00型)(1型)(0型)(

如果函数f(x)和g(x)满足如下条件

(1)f(x)和g(x)都是当xa时的无穷小

(2)f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0洛必达(L’Hospital)法则(应用于那么

型不定式)注：当x∞时，相应法则仍成立。如果函数f(x)和g(x)满足如下条件例解例解例解例解例解例解

如果函数f(x)和g(x)满足如下条件

(1)f(x)和g(x)都是当xa时的无穷大

(2)f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0洛必达(L’Hospital)法则(应用于那么

型不定式)如果函数f(x)和g(x)满足如下条件

解

例

解

例解例解例

解

例

解

例解例解导数的应用问题课件例解例解1.解极限不存在洛必达法则失效.思考题:以下解法对否?注意：洛必达法则的使用条件．2.解1.解极限不存在洛必达法则失效.思考题:以下解法对否?注意1.解思考题:以下解法对否?2.解注意：洛必达法则的使用条件．1.解思考题:以下解法对否?2.解注意：洛必达法则的使用条§3函数的单调性、极值、最大值和最小值3.1函数单调性的判定法3.2函数的极值3.3函数的最大值和最小值§3函数的单调性、极值、最大值和最小值3.1函数单调性的

f

(x)>0

f

(x)<0

观察结果

函数单调增加时导数大于零

函数单调减少时导数小于零

观察与思考

函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数单调性的判定法导数符号的几何意义：导数为正，曲线上升，导数为零，曲线不升不降，导数为负，曲线下降f(x)>0f(x)<0观察结果定理设函数f(x)在(a,b)内可导，则该函数在区间(a

b)内单调增加（单调减少）的充要条件是：f

(x)≥0（f

(x)≤0

),x∈(a,b),而f(x)=0只在个别点处成立

例如：y=x3,y'=3x2≥0,所以x3在（-∞，+∞）内单调增加。推论（充分性）若函数f(x)在某区间(a,b)内的导数为正（或为负），即f(x)>0（或f(x)<0),则函数f(x)在该区间内单调增加（或单调减少）

定理设函数f(x)在(a,b)内可导，则该函数在区间用导数求函数单调区间的方法①求驻点，将区间分解为几个子区间②对每一个子区间判定函数导数的正、负性，得到函数在该子区间的单调性。

例：求函数f(x)=(x-1)2-4的单调区间。

解：函数的定义域为（-∞，+∞），由f’(x)=2(x-1)(x-1)’=2x-2=0

可得驻点ξ=1当x<1时，f’(x)<0,当x>1时，f’(x)>0.所以函数f(x)在（-∞，1）上单调减少，在（1，+∞）上单调增加。用导数求函数单调区间的方法例：求函数f(x)提问：

f(a)和f(b)是极值吗？函数的极值函数的极值及其求法

设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果对于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))

则称f(x0)是函数

f(x)的一个极大值(或极小值)。x1x2x3x4x5

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,

使函数取得极值的点称为极值点.

观察与思考：

观察极值与切线的关系.提问：函数的极值函数的极值及其求法设函数f(

设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么f

(x0)0.驻点

使导数f

(x)为零的点(方程f

(x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.定理观察与思考：观察曲线的升降与极值之间的关系.

x1x2x3x4x5设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取

设函数f(x)在x0处连续

且在(a

x0)(x0

b)内可导

(1)如果在(a

x0)内f

(x)0

在(x0

b)内f

(x)0

那么函数f(x)在x0处取得极大值

(2)如果在(a

x0)内f

(x)<0

在(x0

b)内f

(x)>0

那么函数f(x)在x0处取得极小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)内

f

(x)的符号相同

那么函数f(x)在x0处没有极值

判别法则I(第一充分条件)

x1x2x3x4x5设函数f(x)在x0处连续且在(ax确定极值点和极值的步骤

(1)求出导数f

(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f

(x)的符号;

(4)确定出函数的所有极值点和极值.判别法则I(第一充分条件)

设函数f(x)在x0处连续

且在(a

x0)(x0

b)内可导

(1)如果在(a

x0)内f

(x)0

在(x0

b)内f

(x)0

那么函数f(x)在x0处取得极大值

(2)如果在(a

x0)内f

(x)<0

在(x0

b)内f

(x)>0

那么函数f(x)在x0处取得极小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)内

f

(x)的符号相同

那么函数f(x)在x0处没有极值

确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f(导数的应用问题课件判别式II(第二充分条件)

设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)0

f

(x0)0