第二章-现金流量与资金时间价值课件

本章要求（1）熟悉现金流量的概念；（2）熟悉资金时间价值的概念；（3）掌握资金时间价值计算所涉及的基本概念和计算公式；（4）掌握名义利率和实际利率的计算；（5）掌握资金等值计算及其应用。第二章现金流量与资金时间价值11/17/20221 本章要求第二章现金流量与资金时间价值11/11/202

第一节现金流量一、现金流量（CashFlow)的概念在整个计算期内，流出或流入系统的资金。（把一个工程项目看做一个系统）现金流入(CashIncome)现金流量现金流出(CashOutput)净现金流量(NetCashFlow)=现金流入-现金流出现金流量的时间单位：计息期二、现金流量图（CashFlowDiagram)1、概念：是描述工程项目整个计算期内各时间点上的现金流入和现金流出的序列图。2、现金流量图的构成要素：现金流量的大小、现金流量的流向（纵轴）、时间轴（横轴）、时刻点。箭头的长短与现金流量的大小本应成比例。现金流量的方向与现金流量的性质有关，箭头向上表示现金流入，箭头向下表示现金流出。图例：200250150300200200012345678时间100200

30011/17/20222第一节现金流量11/11/20

第二节资金的时间价值引入问题：今年的100元是否等于明年的100元呢？

答：不等于—————资金存在时间价值（研究的必要性）一、资金的时间价值（TimeValueofFund)概念把货币作为社会生产资金投入到生产或流通领域就会得到资金的增值，资金随时间推移而增值的这部分资金就是原有资金的时间价值。或不同时间发生的等额资金在价值上的差别称为资金的时间价值。二、影响资金时间价值的因素1、资金本身的大小2、投资收益率（或利率）3、时间的长短4、风险因素5、通货膨胀（计算方法与复利方式计息的方法）三、衡量资金时间价值的尺度绝对尺度：利息、利润相对尺度：利率、投资收益率那么：什么是利息呢？

11/17/20223第二节资金的时间价值11/11/20223四、资金时间价值的计算（一）、利息利息：是指占用资金应付出的代价或者放弃资金的使用权应得的补偿。

In=Fn–P

In利息Fn本利和

P本金（二）、利率利率是指在一个计息周期内所得的利息额与本金或贷款金额的比值。i=×100%其中：I是一个计息周期内的利息

（三）、单利和复利利息的计算分：单利和复利1、单利：只对本金计算利息，利息不再生息。利息In=P·i·nn期后的本利和为：Fn=P（1+n·i)本金P=F-In=F/（1+n*i）（1+n·i)为单利终值系数1/（1+n*i）为单利现值系数11/17/20224四、资金时间价值的计算11/11/202242、复利：对本金和利息均计算利息，即“利滚利”。n期后的本利和为：计息期期初金额（1）本期利息额（2）期末本利和Ft=（1）+（2）1PP*iF1=P+P*i=P（1+i）2P（1+i）P（1+i）*iF2=P（1+i）+P（1+i）*i=P（1+i）2……………………nP（1+i）n-1P（1+i）n-1*iF=Fn=P（1+i）n-1+P（1+i）n-1*i=P（1+i）n11/17/202252、复利：对本金和利息均计算利息，即“利滚利”。计息期期初金例1：李晓同学向银行贷款20000元，约定4年后一次归还，银行贷款年利率为5%。问：（1）如果银行按单利计算，李晓4年后应还银行多少钱？还款中利息是多少?（2）如果银行按复利计算，李晓4年后应还银行多少钱？还款中利息是多少?解：（1）单利的本利和=20000×（1+4×5%)=24000(元)其中利息=20000×4×5%=4000(元)（2）复利的本利和=20000×（1+5%）4=24310.125(元)其中利息=24310.125–20000=4310.125(元)两种利息的比较：在资金的本金、利率和时间相等的情况下，复利大于单利。11/17/20226例1：李晓同学向银行贷款20000元，约定4年后一次归还，银（四）、资金时间价值计算中的几个概念及规定1、现值（PresentValue,记为P）：发生在时间序列起点、年初或计息期初的资金。求现值的过程称为折现。规定在期初。2、终值（FutureValue,记为F）：发生在年末、终点或计息期末的资金。规定在期末。3、年值（AnnualValue,记为A）：指各年等额支出或等额收入的资金。规定在期末。（五）、资金时间价值计算的基本公式一次支付终值一次支付型一次支付现值资金支付形式等额系列终值等额系列现值多次支付型等额系列偿债基金等额系列资本回收等差系列现金流量等比系列现金流量以上各种形式如无特殊说明，均采用复利计算。11/17/20227（四）、资金时间价值计算中的几个概念及规定11/11/2021、一次支付终值是指无论现金量是流出还是流入都在一个点上发生。如下图2.1。3000.1.2.3………..n时间图2.1F=P（1+i)n=P（F/P,i,n)（F/P,i,n)--------一次支付终值系数。方便查表。例2：某企业向银行借款50000元，借款时间为10年，借款年利率为10%，问10年后该企业应还银行多少钱？

解：

F=P（1+i)n

=50000（1+10%）10=129687.123（元）2、一次支付现值求现值。P==F（P/F,i,n)（P/F,i,n)--------一次支付现值系数例3：某人打算5年后从银行取出50000元，银行存款年利率为3%，问此人现在应存入银行多少钱？（按复利计算）解：现金流量图略，P=50000/（1+3%）5=43130.44(元）一次支付终值系数和一次支付现值系数互为倒数11/17/202281、一次支付终值11/11/202283、等额系列终值F如图2.2。0123··················nAAF=A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)3+···········+A（1+i)n-1进行数学变换后得：=A(F/A,i,n)(F/A,i,n)称为等额系列终值系数。例3：某人每年存入银行30000元，存5年准备买房用，存款年利率为3%。问：5年后此人能从银行取出多少钱？解：现金流量图略，F=30000=159274.07(元)4、等额系列偿债基金是等额系列终值公式的逆运算。（A/F，i,n)称为等额系列偿债基金系数。例4：某人想在5年后从银行提出20万元用于购买住房。若银行年存款利率为5%，那么此人现在应每年存入银行多少钱？解：11/17/202293、等额系列终值5、等额系列现值A

0123n

P

F=P(1+i)n,令两式相等，得（P/A，i，n)称为等额系列现值系数或年金现值系数。例5：某人为其小孩上大学准备了一笔资金，打算让小孩在今后的4年中，每月从银行取出500元作为生活费。现在银行存款月利率为0.3%，那么此人现在应存入银行多少钱？解：现金流量图略计息期n=4×12=48（月）

11/17/20221011/11/2022106、等额系列资金回收是等额系列现值公式的逆运算。（A/P，i，n)称为等额系列资金回收系数。例6：某施工企业现在购买一台推土机，价值15万元。希望在8年内等额回收全部投资。若资金的折现率为3%，试求该企业每年回收的投资额。解:

7、等差系列现金流量的等值计算

11/17/2022116、等额系列资金回收11/11/202211设有一资金序列An是等差数列（定差为G），则有现金流量图如下A1+(n－1)G+A1+(n－1)GA1

(n-1)GPPAPG12n12G32GnFG=G(1+i)n-2+2G(1+i)n-3+······+(n-2)G(1+i)+(n-1)G

11/17/202212+A1+(n－1)GA1(n-1)GPPAPG12n12G

而P=F/(1+i)n则现值P为:

(P/G，i，n)称为等差系列现值系数。将等差系列换算成等额年值为：

(A/G，i，n)称为等差年金换算系数。若计算原等差系列现金流量的年金、现值和终值：A=A1+AGP=PA1+PGF=FA1+FG例7：王明同学2000年7月参加工作，为了买房，从当年8月1日开始每月存入银行500元，以后每月递增存款20元，连续存5年。若存款月利率为2%，问：（1）王明同学2005年8月1日可以从银行取出多少钱？（2）他每月平均存入银行多少钱？（3）所有这些存款相当于王明2000年8月1日一次性存入银行多少钱？11/17/20221311/11/202213解：我们把2000年8月1日看做是第一个计息期末，那么5年内的计息期为:n=12×5=60,每月等差额G=20元，等差序列的固定基数A1=500元。2000年7月1日就是第0月，即时间轴的0点。因此，现金流量图为：01235960月5005205401660168011/17/20221411/11/202214（1）王明同学2005年8月1日从银行取出的钱就是所有存款的终值，即：

（2）他每月平均存入银行钱为：

（3）所有这些存款相当于王明2000年8月1日一次性存入银行P=A(P/A,i,n)=F(P/F,i,n)11/17/202215（1）王明同学2005年8月1日从银行取出的钱就是所有存款的8、等比系列现金流量等比系列现值11/17/2022168、等比系列现金流量等比系列现值11/11/202216

(2-39)。称为等比系列现值系数等比系列终值

（F/A,i,j,n)称为等比系列终值系数。11/17/202217

运用复利计算公式应注意的问题:1.本期末即等于下期初。0点就是第一期初，也叫零期；第一期末即等于第二期初；余类推。2.P是在第一计息期开始时（0期）发生；3.F是在第n年年末发生；4.A是发生在各期期末。5.当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生；6.均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第二年年末。11/17/202218运用复利计算公式应注意的问题:11/11/20小结：复利系数之间的关系

与互为倒数

与互为倒数与互为倒数

推导（F/P，i，n）（P/F，i，n）（F/A，i，n）（A/P，i，n）（P/A，i，n）（A/F，i，n）PF

A01234567……n……基本公式相互关系示意图11/17/202219小结：复利系数之间的关系三、等额分付类型计算公式“等额分付”的特点:在计算期内1）每期支付是大小相等、方向相同的现金流,用年值A表示；2）支付间隔相同，通常为1年；3）每次支付均在每年年末。A012n-1nA012n-1n疑似!第三节资金的等值计算11/17/202220三、等额分付类型计算公式“等额分付”的特点:在计算期内A0若等额分付的A发生在每年年初，则需将年初值折算为当年的年末值后，再运用等额分付公式。3AF0n12n-14A'疑似等额分付的计算第三节资金的等值计算11/17/202221若等额分付的A发生在每年年初，则需将年初值折算为当年例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i。0123n-1nA0123n-1nA’=A（1+i）解：11/17/202222例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i。0123n某大学生贷款读书，每年初需从银行贷款6,000元，年利率为4%，4年后毕业时共计欠银行本利和为多少？例题5第三节资金的等值计算11/17/202223某大学生贷款读书，每年初需从银行贷款6,000元，年例:有如下图示现金流量，解法正确的有()LB:答案:AC012345678AF=?

A.F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)B.F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)C.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)D.F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)E.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)11/17/202224例:有如下图示现金流量，解法正确的有(（六）名义利率和实际利率引言：计算利息的时间单位和利率的时间单位不相同时,会是什么情况呢?——出现名义利率和实际利率的换算名义利率（NominalInterest）是指利率的表现形式，是指计息周期利率i乘以一个利率周期内的计息周期数m所得的利率周期利率，即r=i*m实际利率(RealInterest)是指实际计算利息的利率。

在名义利率的时间单位里，计息期越长，计息次数就越少；计息期越短，计息次数就越多。当计息期非常短，难以用时间来计量时，计息次数就趋于无穷大。

设r为名义利率，i为实际利率，m为名义利率时间单位内的计息次数，那么一个计息期的利率应为r/m，则一个利率时间单位末的本利和为：11/17/202225（六）名义利率和实际利率11/11/202225利息为：因此，实际利率为：即：例8：假定李某现在向银行借款10000元，约定10年后归还。银行规定：年利率为6%，但要求按月计算利息。试问：此人10年后应归还银行多少钱？解:由题意可知，年名义利率r=6%，每年计息次数m=12，则年实际利率为：11/17/202226利息为：11/11/202226每年按实际利率计算利息，则10年后10000元的未来值为：

F=P(1+i)n=10000(1+6.168%)10

=18194.34(元)即，此人10年后应归还银行18194.34元钱。连续复利(ContinuousMultipleInterest)按瞬时计息的方式称为连续复利。这时在名义利率的时间单位内，计息次数有无限多次，即m→∞。根据求极限的方法可求得年实际利率。实际利率为:

求极限得：i=er

-1

11/17/202227每年按实际利率计算利息，则10年后10000元的未来值为：1例9：某人每年年初从银行贷款40000元，连续贷款4年，4年后一次性归还本和利。银行约定计算利息的方式有以下三种：①年贷款利率为6%，每年计息一次；②年贷款利率为5.8%，每半年计息一次；③年贷款利率为5.5%，每季度计息一次。试计算三种还款方式4年后一次性还本付息额。该企业应选择哪种贷款方式？解：第4年末的本利和为上式中的利率i应为实际利率。①实际利率为6%，则②实际利率为则

11/17/202228例9：某人每年年初从银行贷款40000元，连续贷款4年，4年③实际利率为11/17/202229③实际利率为11/11/202229

下表给出了名义利率为12%分别按不同计息期计算的实际利率：复利周期年计息次数计息期利率年实际利率一年半年一季一月一周一天连续1241252365∞12.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%0.000012.0000%12.3600%12.5509%12.6825%12.7341%12.7475%12.7497%11/17/202230下表给出了名义利率为12%分别按不同计息期计算

例:某企业向银行借款1000元,年利率为4%,如按季度计息,则第3年应偿还本利和累计为()元。A.1125B.1120C.1127D.1172F=1000(F/P,1%,4×3)=1000(F/P,1%,12)=1127元答案:C

F=？1000

…

012312季度解:11/17/202231例:某企业向银行借款1000元,年利率为4%,如第三节等值计算与应用等值概念：在时间价值的作用下，在不同时点绝对值不等的资金可能具有相等的价值。也是“价值等效”的资金。两个现金流量等值，则其对任何时刻的时值必然相等，从资金时间价值计算公式可知：影响资金等值的因素有三个，金额的多少、资金发生的时间和利率。一般计算中以同一利率为依据。11/17/202232第三节等值计算与应用等值概念：在时间价值的作用下，在不同时点

从利息表上查到，当n=9，1.750落在6%和7%之间。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839从用线性内插法可得

例：当利率为多大时，现在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750一、利用复利表计算未知利率、未知期数11/17/202233从利息表上查到，当n=9，1.750落在6%和

例：求等值状况下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后两年中分24次等额偿还，每次偿还99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。解：现在99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499查表，上列数值相当于i=1.5%。因为计息期是一个月，所以月有效利率为1.5%。名义利率：r=(每月1.5%）×（12个月）=18%年有效利率：11/17/202234例：求等值状况下的利率。假如有人目前二.计息期和资金收付期相同例：年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，连续3年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第0年的现值为多大？

解：每计息期的利率

n=(3年)×(每年2期)=6期P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元计算表明，按年利率12%，每半年计息一次计算利息，从现在起连续3年每半年支付100元的等额支付与第0年的现值491.73元的现值是等值的。11/17/202235二.计息期和资金收付期相同n=(3年)×(每三.计息期小于资金收付期例：按年利率为12%，每季度计息一次计算利息，从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？

解：其现金流量如下图

0123456789101112季度F=？10001000100011/17/202236三.计息期小于资金收付期0

第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：

012342392392392390123410001000将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）

A=F（A/F，3%，4）=1000×0.2390=239元（A/F，3%，4）11/17/202237第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末

239F=？季度

0123456789101112经转变后计息期与支付期重合（单位：元）F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元11/17/202238239F=？季度0123

第二种方法：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000=3392元

F=A(F/A,12.55%,3)=1000×3.3923=3392元

第三种方法：将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。年有效利率是11/17/202239第二种方法：把等额支付的每一个支四、计息期大于资金收付周期三种方法(1)不计息：按支出计入期初、收入计入期末(2)单利计息：At=∑A’k

式中：At为第t计息期末净现金流量；N为一个计息期内收付周期数；A’k为第t计息期内第k期收付金额；mk为第t计息期内第k期收付金额到达第t计息期末所包含的收付周期数；i为计息期利率。例如：月付款情况如图，年利率为8%，半年计息一次，复利计息。计息内的收付款利息按单利计算，问年末金额为多少？11/17/202240四、计息期大于资金收付周期三种方法11/11/202240按单利计算计息期利率，月利率，上半年末净现金流量：A1=507下半年末净现金流量：按普通复利计算：11/17/202241按单利计算，月利率，下半年末净现金流量：按普通复利计算：11(3)复利计息计息期利率=实际利率，先求出收付周期利率即可按普通复利公式计算。例如：每月存款100元，期限一年，年利率8%，每季复利一次，计息期内收付利息按复利计算，则年末他的存款金额是多少？解：已知是实际利率，收付期利率解得r季=1.9868%，则r月=0.6623%F=100（F/A，0.6623%，12）=100*12.4469=1244.69（元）11/17/202242(3)复利计息11/11/202242

例:假定现金流量是：第6年年末支付300元，第9、10、11、12年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15、16、17年年末各获得80元。按年利率5％计息，与此等值的现金流量的现值P为多少？P=?030067891011121314151617210608011/17/202243例:假定现金流量是：第6年年末支付300元解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8)－210(P/F,5%,13)+80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)=－3000.7162－603.54560.6768－2100.5303+802.72320.5051=－369.16也可用其他公式求得P=－300(P/F,5%,6)－60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12)－210(P/F,5%,13)+80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)=－3000.7462－604.31010.5568－2100.5303+803.1530.4363=－369.1611/17/202244解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,

本章要求（1）熟悉现金流量的概念；（2）熟悉资金时间价值的概念；（3）掌握资金时间价值计算所涉及的基本概念和计算公式；（4）掌握名义利率和实际利率的计算；（5）掌握资金等值计算及其应用。第二章现金流量与资金时间价值11/17/202245 本章要求第二章现金流量与资金时间价值11/11/202

第一节现金流量一、现金流量（CashFlow)的概念在整个计算期内，流出或流入系统的资金。（把一个工程项目看做一个系统）现金流入(CashIncome)现金流量现金流出(CashOutput)净现金流量(NetCashFlow)=现金流入-现金流出现金流量的时间单位：计息期二、现金流量图（CashFlowDiagram)1、概念：是描述工程项目整个计算期内各时间点上的现金流入和现金流出的序列图。2、现金流量图的构成要素：现金流量的大小、现金流量的流向（纵轴）、时间轴（横轴）、时刻点。箭头的长短与现金流量的大小本应成比例。现金流量的方向与现金流量的性质有关，箭头向上表示现金流入，箭头向下表示现金流出。图例：200250150300200200012345678时间100200

30011/17/202246第一节现金流量11/11/20

第二节资金的时间价值引入问题：今年的100元是否等于明年的100元呢？

答：不等于—————资金存在时间价值（研究的必要性）一、资金的时间价值（TimeValueofFund)概念把货币作为社会生产资金投入到生产或流通领域就会得到资金的增值，资金随时间推移而增值的这部分资金就是原有资金的时间价值。或不同时间发生的等额资金在价值上的差别称为资金的时间价值。二、影响资金时间价值的因素1、资金本身的大小2、投资收益率（或利率）3、时间的长短4、风险因素5、通货膨胀（计算方法与复利方式计息的方法）三、衡量资金时间价值的尺度绝对尺度：利息、利润相对尺度：利率、投资收益率那么：什么是利息呢？

11/17/202247第二节资金的时间价值11/11/20223四、资金时间价值的计算（一）、利息利息：是指占用资金应付出的代价或者放弃资金的使用权应得的补偿。

In=Fn–P

In利息Fn本利和

P本金（二）、利率利率是指在一个计息周期内所得的利息额与本金或贷款金额的比值。i=×100%其中：I是一个计息周期内的利息

（三）、单利和复利利息的计算分：单利和复利1、单利：只对本金计算利息，利息不再生息。利息In=P·i·nn期后的本利和为：Fn=P（1+n·i)本金P=F-In=F/（1+n*i）（1+n·i)为单利终值系数1/（1+n*i）为单利现值系数11/17/202248四、资金时间价值的计算11/11/202242、复利：对本金和利息均计算利息，即“利滚利”。n期后的本利和为：计息期期初金额（1）本期利息额（2）期末本利和Ft=（1）+（2）1PP*iF1=P+P*i=P（1+i）2P（1+i）P（1+i）*iF2=P（1+i）+P（1+i）*i=P（1+i）2……………………nP（1+i）n-1P（1+i）n-1*iF=Fn=P（1+i）n-1+P（1+i）n-1*i=P（1+i）n11/17/2022492、复利：对本金和利息均计算利息，即“利滚利”。计息期期初金例1：李晓同学向银行贷款20000元，约定4年后一次归还，银行贷款年利率为5%。问：（1）如果银行按单利计算，李晓4年后应还银行多少钱？还款中利息是多少?（2）如果银行按复利计算，李晓4年后应还银行多少钱？还款中利息是多少?解：（1）单利的本利和=20000×（1+4×5%)=24000(元)其中利息=20000×4×5%=4000(元)（2）复利的本利和=20000×（1+5%）4=24310.125(元)其中利息=24310.125–20000=4310.125(元)两种利息的比较：在资金的本金、利率和时间相等的情况下，复利大于单利。11/17/202250例1：李晓同学向银行贷款20000元，约定4年后一次归还，银（四）、资金时间价值计算中的几个概念及规定1、现值（PresentValue,记为P）：发生在时间序列起点、年初或计息期初的资金。求现值的过程称为折现。规定在期初。2、终值（FutureValue,记为F）：发生在年末、终点或计息期末的资金。规定在期末。3、年值（AnnualValue,记为A）：指各年等额支出或等额收入的资金。规定在期末。（五）、资金时间价值计算的基本公式一次支付终值一次支付型一次支付现值资金支付形式等额系列终值等额系列现值多次支付型等额系列偿债基金等额系列资本回收等差系列现金流量等比系列现金流量以上各种形式如无特殊说明，均采用复利计算。11/17/202251（四）、资金时间价值计算中的几个概念及规定11/11/2021、一次支付终值是指无论现金量是流出还是流入都在一个点上发生。如下图2.1。3000.1.2.3………..n时间图2.1F=P（1+i)n=P（F/P,i,n)（F/P,i,n)--------一次支付终值系数。方便查表。例2：某企业向银行借款50000元，借款时间为10年，借款年利率为10%，问10年后该企业应还银行多少钱？

解：

F=P（1+i)n

=50000（1+10%）10=129687.123（元）2、一次支付现值求现值。P==F（P/F,i,n)（P/F,i,n)--------一次支付现值系数例3：某人打算5年后从银行取出50000元，银行存款年利率为3%，问此人现在应存入银行多少钱？（按复利计算）解：现金流量图略，P=50000/（1+3%）5=43130.44(元）一次支付终值系数和一次支付现值系数互为倒数11/17/2022521、一次支付终值11/11/202283、等额系列终值F如图2.2。0123··················nAAF=A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)3+···········+A（1+i)n-1进行数学变换后得：=A(F/A,i,n)(F/A,i,n)称为等额系列终值系数。例3：某人每年存入银行30000元，存5年准备买房用，存款年利率为3%。问：5年后此人能从银行取出多少钱？解：现金流量图略，F=30000=159274.07(元)4、等额系列偿债基金是等额系列终值公式的逆运算。（A/F，i,n)称为等额系列偿债基金系数。例4：某人想在5年后从银行提出20万元用于购买住房。若银行年存款利率为5%，那么此人现在应每年存入银行多少钱？解：11/17/2022533、等额系列终值5、等额系列现值A

0123n

P

F=P(1+i)n,令两式相等，得（P/A，i，n)称为等额系列现值系数或年金现值系数。例5：某人为其小孩上大学准备了一笔资金，打算让小孩在今后的4年中，每月从银行取出500元作为生活费。现在银行存款月利率为0.3%，那么此人现在应存入银行多少钱？解：现金流量图略计息期n=4×12=48（月）

11/17/20225411/11/2022106、等额系列资金回收是等额系列现值公式的逆运算。（A/P，i，n)称为等额系列资金回收系数。例6：某施工企业现在购买一台推土机，价值15万元。希望在8年内等额回收全部投资。若资金的折现率为3%，试求该企业每年回收的投资额。解:

7、等差系列现金流量的等值计算

11/17/2022556、等额系列资金回收11/11/202211设有一资金序列An是等差数列（定差为G），则有现金流量图如下A1+(n－1)G+A1+(n－1)GA1

(n-1)GPPAPG12n12G32GnFG=G(1+i)n-2+2G(1+i)n-3+······+(n-2)G(1+i)+(n-1)G

11/17/202256+A1+(n－1)GA1(n-1)GPPAPG12n12G

而P=F/(1+i)n则现值P为:

(P/G，i，n)称为等差系列现值系数。将等差系列换算成等额年值为：

(A/G，i，n)称为等差年金换算系数。若计算原等差系列现金流量的年金、现值和终值：A=A1+AGP=PA1+PGF=FA1+FG例7：王明同学2000年7月参加工作，为了买房，从当年8月1日开始每月存入银行500元，以后每月递增存款20元，连续存5年。若存款月利率为2%，问：（1）王明同学2005年8月1日可以从银行取出多少钱？（2）他每月平均存入银行多少钱？（3）所有这些存款相当于王明2000年8月1日一次性存入银行多少钱？11/17/20225711/11/202213解：我们把2000年8月1日看做是第一个计息期末，那么5年内的计息期为:n=12×5=60,每月等差额G=20元，等差序列的固定基数A1=500元。2000年7月1日就是第0月，即时间轴的0点。因此，现金流量图为：01235960月5005205401660168011/17/20225811/11/202214（1）王明同学2005年8月1日从银行取出的钱就是所有存款的终值，即：

（2）他每月平均存入银行钱为：

（3）所有这些存款相当于王明2000年8月1日一次性存入银行P=A(P/A,i,n)=F(P/F,i,n)11/17/202259（1）王明同学2005年8月1日从银行取出的钱就是所有存款的8、等比系列现金流量等比系列现值11/17/2022608、等比系列现金流量等比系列现值11/11/202216

(2-39)。称为等比系列现值系数等比系列终值

（F/A,i,j,n)称为等比系列终值系数。11/17/202261

运用复利计算公式应注意的问题:1.本期末即等于下期初。0点就是第一期初，也叫零期；第一期末即等于第二期初；余类推。2.P是在第一计息期开始时（0期）发生；3.F是在第n年年末发生；4.A是发生在各期期末。5.当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生；6.均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第二年年末。11/17/202262运用复利计算公式应注意的问题:11/11/20小结：复利系数之间的关系

与互为倒数

与互为倒数与互为倒数

推导（F/P，i，n）（P/F，i，n）（F/A，i，n）（A/P，i，n）（P/A，i，n）（A/F，i，n）PF

A01234567……n……基本公式相互关系示意图11/17/202263小结：复利系数之间的关系三、等额分付类型计算公式“等额分付”的特点:在计算期内1）每期支付是大小相等、方向相同的现金流,用年值A表示；2）支付间隔相同，通常为1年；3）每次支付均在每年年末。A012n-1nA012n-1n疑似!第三节资金的等值计算11/17/202264三、等额分付类型计算公式“等额分付”的特点:在计算期内A0若等额分付的A发生在每年年初，则需将年初值折算为当年的年末值后，再运用等额分付公式。3AF0n12n-14A'疑似等额分付的计算第三节资金的等值计算11/17/202265若等额分付的A发生在每年年初，则需将年初值折算为当年例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i。0123n-1nA0123n-1nA’=A（1+i）解：11/17/202266例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i。0123n某大学生贷款读书，每年初需从银行贷款6,000元，年利率为4%，4年后毕业时共计欠银行本利和为多少？例题5第三节资金的等值计算11/17/202267某大学生贷款读书，每年初需从银行贷款6,000元，年例:有如下图示现金流量，解法正确的有()LB:答案:AC012345678AF=?

A.F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)B.F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)C.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)D.F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)E.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)11/17/202268例:有如下图示现金流量，解法正确的有(（六）名义利率和实际利率引言：计算利息的时间单位和利率的时间单位不相同时,会是什么情况呢?——出现名义利率和实际利率的换算名义利率（NominalInterest）是指利率的表现形式，是指计息周期利率i乘以一个利率周期内的计息周期数m所得的利率周期利率，即r=i*m实际利率(RealInterest)是指实际计算利息的利率。

在名义利率的时间单位里，计息期越长，计息次数就越少；计息期越短，计息次数就越多。当计息期非常短，难以用时间来计量时，计息次数就趋于无穷大。

设r为名义利率，i为实际利率，m为名义利率时间单位内的计息次数，那么一个计息期的利率应为r/m，则一个利率时间单位末的本利和为：11/17/202269（六）名义利率和实际利率11/11/202225利息为：因此，实际利率为：即：例8：假定李某现在向银行借款10000元，约定10年后归还。银行规定：年利率为6%，但要求按月计算利息。试问：此人10年后应归还银行多少钱？解:由题意可知，年名义利率r=6%，每年计息次数m=12，则年实际利率为：11/17/202270利息为：11/11/202226每年按实际利率计算利息，则10年后10000元的未来值为：

F=P(1+i)n=10000(1+6.168%)10

=18194.34(元)即，此人10年后应归还银行18194.34元钱。连续复利(ContinuousMultipleInterest)按瞬时计息的方式称为连续复利。这时在名义利率的时间单位内，计息次数有无限多次，即m→∞。根据求极限的方法可求得年实际利率。实际利率为:

求极限得：i=er

-1

11/17/202271每年按实际利率计算利息，则10年后10000元的未来值为：1例9：某人每年年初从银行贷款40000元，连续贷款4年，4年后一次性归还本和利。银行约定计算利息的方式有以下三种：①年贷款利率为6%，每年计息一次；②年贷款利率为5.8%，每半年计息一次；③年贷款利率为5.5%，每季度计息一次。试计算三种还款方式4年后一次性还本付息额。该企业应选择哪种贷款方式？解：第4年末的本利和为上式中的利率i应为实际利率。①实际利率为6%，则②实际利率为则

11/17/202272例9：某人每年年初从银行贷款40000元，连续贷款4年，4年③实际利率为11/17/202273③实际利率为11/11/202229

下表给出了名义利率为12%分别按不同计息期计算的实际利率：复利周期年计息次数计息期利率年实际利率一年半年一季一月一周一天连续1241252365∞12.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%0.000012.0000%12.3600%12.5509%12.6825%12.7341%12.7475%12.7497%11/17/202274下表给出了名义利率为12%分别按不同计息期计算

例:某企业向银行借款1000元,年利率为4%,如按季度计息,则第3年应偿还本利和累计为()元。A.1125B.1120C.1127D.1172F=1000(F/P,1%,4×3)=1000(F/P,1%,12)=1127元答案:C

F=？1000

…

012312季度解:11/17/202275例:某企业向银行借款1000元,年利率为4%,如第三节等值计算与应用等值概念：在时间价值的作用下，在不同时点绝对值不等的资金可能具有相等的价值。也是“价值等效”的资金。两个现金流量等值，则其对任何时刻的时值必然相等，从资金时间价值计算公式可知：影响资金等值的因素有三个，金额的多少、资金发生的时间和利率。一般计算中以同一利率为依据。11/17/202276第三节等值计算与应用等值概念：在时间价值的作用下，在不同时点

从利息表上查到，当n=9，1.750落在6%和7%之间。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839从用线性内插法可得

例：当利率为多大时，现在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750一、利用复利表计算未知利率、未知期数11/17/202277从利息表上查到，当n=9，1.750落在6%和

例：求等值状况下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后两年中分24次等额偿还，每次偿还99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。解：现在99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499查表，上列数值相当于i=1.5%。因为计息期是一个月，所以月有效利率为1.5%。名义利率：r=(每月1.5%）×（12个月）=18%年有效利率：