数列知识点总结题型归纳

数列知识点总结及题型概括数列知识点总结及题型概括数列知识点总结及题型概括数列一、数列的看法（1）数列定义：按必定次序摆列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个地址的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；数列的一般形式：a1，a2，a3，，an，，简记作an。（2）通项公式的定义：假如数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。比方：①：1，2，3，4，5，1111②：1，，，，2345说明：①an表示数列，an表示数列中的第n项，an=fn表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不必定独一。比方，an=(n1,n2k11)=2k(kZ)；1,n③不是每个数列都有通项公式。比方，1，1.4，1.41，1.414，3）数列的函数特色与图象表示：从函数看法看，数列实质上是定义域为正整数集

N（或它的有限子集）的函数f(n)当自变量n从1开始挨次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),，f(n)，．平时用an来取代fn，其图象是一群孤立点。4）数列分类：①按数列项数是有限还是无穷分：有穷数列和无量数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递加数列、递减数列、常数列和摇动数列。例：以下的数列，哪些是递加数列、递减数列、常数列、摇动数列？（1）1，2，3，4，5，6，(2)10,9,8,7,6,5,(3)1,0,1,0,1,0,(4)a,a,a,a,a,S1(n1)（5）数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：anSn1(n≥2)Sn二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差平时用字母d表示。用递推公式表示为anan1d(n2)或an1and(n1)例：等差数列an2n1，anan1(二)、等差数列的通项公式：ana1(n1)d；说明：等差数列（平时可称为AP数列）的单调性：d0为递加数列，d0为常数列，d0为递减数列。例：1.已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12等于（）A．15B．30C．31D．642.{an}是首项a11，公差d3的等差数列，假如an2005，则序号n等于（A）667（B）668（C）669（D）6703.等差数列an2n1,bn2n1，则an为bn为（填“递加数列”或1“递减数列”）(三)、等差中项的看法：定义：假如a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。此中Aab2a，A，b成等差数列abanan2（2ananmanm）A即：2an12例：1．（全国I）设a是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13nA．120B．105C．90D．75(四)、等差数列的性质：1）在等差数列an中，从第2项起，每一项为哪一项它相邻二项的等差中项；2）在等差数列an中，相隔等距离的项构成的数列是等差数列；（3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，danam(mn)；nm（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq；(五)、等差数列的前n和的乞降公式：Snn(a1an)na1n(n1)d1n2（a1d）n。2222(SnAn2Bn(A,B为常数)an是等差数列)递推公式：Sn(a1an)n(aman(m1))n22例：1.假如等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2...a7（A）14（B）21（C）28（D）352.（湖南卷文）设Sn是等差数列a的前n项和，已知a23，a611，则S7等于( )nA．13B．35C．49D．633.（全国卷Ⅰ）设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9=若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且全部项的和为390，则这个数列有（A.13项B.12项C.11项D.10项5.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1221，则a2a5a8a116.（全国卷Ⅱ）设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3则S9S57.已知an数列是等差数列，a1010，其前10项的和S1070，则其公差d等于( )A．2B．1C.1D.233338.（陕西卷文）设等差数列an的前n项和为sn,若a6s312,则an

（））29．（全国）设｛an｝为等差数列，n为数列｛n｝的前n项和，已知7＝7，15＝75，n为数列｛Sn｝的n前n项和，求T。n(六).对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②S奇an；S偶an1（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇S偶ana中；②S奇n。S偶n11.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________2.一个等差数列前20项和为75，此中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是25，则它的首项与公差分别是_______2(七).对与一个等差数列，Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等差数列。3m项和为（例：1.等差数列{a}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前）nA.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为。3．已知等差数列an的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10S730，则S9=5．（全国II）设S是等差数列｛a｝的前n项和，若S3＝1，则S6＝nnS63S12A．3B．1C．1D．110389(八)．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：an1and(常数）（nN）an是等差数列②中项法：2an1anan2（nN)an是等差数列③通项公式法：anknb(k,b为常数)an是等差数列④前n项和公式法：SnAn2BnAB为常数)an是等差数列(,例：1.已知数列{an}满足anan12，则数列{an}为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.没法判断2.已知数列{an}的通项为an2n5，则数列{an}为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.没法判断3.已知一个数列{an}的前n项和sn2n24，则数列{an}为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.没法判断4.已知一个数列{an}的前n项和sn2n2，则数列{an}为（）3A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.没法判断5.已知一个数列{an}满足an22an1an0，则数列{an}为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.没法判断6.数列an满足a1=8，a42，且an22an1an0（nN）①求数列an的通项公式；7．（天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，并且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列(九).数列最值（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；可用二次函数最值的求法（nN）；②也许求出an中的正、负分界项，即：若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可以下确立an0an0an10或。an10例：1．等差数列an中，a10，S9S12，则前项的和最大。．设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S120，S130①求出公差d的范围，②指出S1，S2，，S12中哪一个值最大，并说明原由。3．（上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则以下结论错误的选项是．．（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn的最大值4．已知数列an的通项n98（nN），则数列an的前30项中最大项和最小项分别是n995.已知{an}是等差数列，此中a131，公差d8。（1）数列{an}从哪一项开始小于0？（2）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值．(十).利用anS1(n1)SnSn1(n求通项．2)41.数列{annn211）试写出数列的前52{an}是等差数列吗？（3}的前n项和S．（项；（）数列）你能写出数列{an}的通项公式吗？设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，求数列{an}的通项公式；3.（安徽文）设数列{n}的前n项和Snn2，则a8的值为（）a（A）15(B)16(C)49（D）644、北京卷）数列{a}的前n项和为S，且a=1，1an1Sn，n，，，，求a，a，a的值及数列annn13234的通项公式．三、等比数列等比数列定义一般地，假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数．．．．．．列，这个常数叫做等比数列的公比；公比平时用字母q表示(q0)，即：an1：anq(q0)(一)、递推关系与通项公式递推关系：an1anq通项公式：ana1qn1推行：anamqnm1．在等比数列an中,a14,q2，则an2．在等比数列an中,a712,q32,则a19_____.3.（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比数列an中，a22，a554，则a8=5.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（）A33B72C84D189(二)、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为bac，注：b2ac是成等比数列的必需而不充分条件.例：1.23和23的等比中项为()(A)1(B)1(C)1(D)252.（重庆卷文）设a是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，则a的前n项和Sn=nn（）A．n27nB．n25nC．n23nD．n2n443324(三)、等比数列的基天性质，1.（1）若mnpq，则amanapaq(此中m,n,p,qN)（2）qnman，an2anmanm(nN)am（3）an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.例：1．在等比数列an中,a1和a10是方程2x25x10的两个根,则a4a7()(A)5(B)2(C)1(D)122222.在等比数列an，已知a15，a9a10100，则a18=3.等比数列{an}的各项为正数，且a5a6a4a718,则log3a1log3a2Llog3a10（）A．12B．10C．8D．2+log354.（广东卷）已知等比数列{an}满足an0,n1,2,L，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3Llog2a2n1（）A.n(2n1)B.(n1)2C.n2D.(n1)2(四)、等比数列的前n项和，na1(q1)Sna1(1qn)a1anq(q1)1q1q例：1.已知等比数列{an}的首相a15，公比q2，则其前n项和Sn2．（北京卷）设f(n)22427210L23n10(nN)，则f(n)等于（）A．2(8n1)B．2(8n11)C．2(8n31)D．2(8n41)77773．（全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；(五).等比数列的前n项和的性质6若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.S6S9例：1.（辽宁卷）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=3，则S6=78A.2B.3C.3D.32.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83B．108C．75D．633.已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30，则S3m(六)、等比数列的判断法（1）定义法：an1q（常数）an为等比数列；an（2）中项法：an2an(an0)an1an2为等比数列；（3）通项公式法：ankqn(k,q为常数）an为等比数列；（4）前n项和法：Snk(1qn)（k,q为常数）an为等比数列。Snkkqn（k,q为常数）an为等比数列。例：1.已知数列{an}的通项为a2n，则数列{an}为（）nA.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.没法判断2.已知数列{an}满足an12ann2(an0)，则数列{an}为（）aA.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.没法判断3.已知一个数列{an}的前n项和sn22n1，则数列{an}为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.没法判断四、求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）依据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列{an}满足：a37,a5a726，求an；2.等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21，a329a2a6，求数列{an}的通项公式3.已知数列{an}满足a12，a24且an2an2N），求数列an的通项公式；an1（n4.已知数列{an}满足a12，且an15n12(an5n)（nN），求数列an的通项公式；75.数列已知数列an满足a11,an4an11(n1).则数列an的通项公式=2（2）累加法1、累加法适用于：an1anf(n)a2a1f(1)若an1anf(n)(na3a2f(2)2)，则LLan1anf(n)n两边分别相加得an1a1f(n)k11,an1an1，求数列{an}的通项公式。例：1.已知数列{an}满足a14n2212.已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。3.已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。3）累乘法适用于：an1f(n)an若an1f(n)，则a2a3f(2)，Lan1f(n)ana1f(1)，L，a2anan1n两边分别相乘得，a1f(k)a1k1例：1.已知数列{an}满足an12(n1)5na，a3，求数列{an}的通项公式。n12.已知数列an满足a12，an1nan，求an。3n183.已知a13，an13n1an(n1)，求an。3n2（4）待定系数法适用于an1qanf(n)例：1.已知数列{an}中，a11,an2an11(n2)，求数列an的通项公式。2.（重庆,文,14）在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_______________3.已知数列a满足a11,an12an1(nN*).求数列a的通项公式；nn（5）递推公式中既有SnS1,n1转变成数列an或Sn的递推关系，而后采纳相应的方法求解。解析：把已知关系经过anSnSn1,n21.（北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an11a2，a3，a4的值及数