江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学理试题(解析)

江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学理试题(分析版)江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学理试题(分析版)江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学理试题(分析版)2019届第一学期期中考试高三理科数学试题2021．11一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的地点上〕1．设会合A{xx2，B{yy1x2}，那么AB▲．考点：会合的运算，二次函数的图象，函数的值域，简单的绝对值不等式。答案：x-2x1分析：A＝｛x｜－2≤x≤2｝，关于会合B，yx2+1，张口向下，y有最大值为1，因此，y≤1即B＝〔－∞，1］因此，A∩B＝x-2x12．向量ax,1，b1,2，假定ab，那么实数x的值为▲．考点：平面向量的坐标运算，数目积。答案：2分析：由于ab，因此，ab＝0，即〔x，1〕〔1，－2〕＝0，即x－2＝0，解得：x＝23．设xR，那么x38是x2的▲条件〔填“充分不用要〞，“必需不充分〞，“充要〞，“既不充分也不用要〞〕．考点：常用逻辑用语，简单的绝对值不等式。答案：充分不用要分析：由x38得x＞2由｜x｜＞2，得x＜－2或x＞2，因此，是充分不用要条件。4．等差数列an的前n项和为Sn，假定a2a3a108，那么S9▲．考点：等差数列的性质、通项公式、前n项和公式。答案：24分析：由于a2a3a108，因此，3a112d8，即a5a14d8，3S9＝9(a1a9)9a5＝2425．fx是函数fxsinxcosx的导函数，实数知足f3f，那么tan2的值为▲．考点：函数的导数，三角函数的运算，2倍角的正切公式。答案：43分析：f'(x)cosxsinx，由于f3f因此，cossin3(sincos)，得：tan＝2因此，tan22tan＝41tan236．a(1,)，b(2,1)，假定向量2ab与c(8,6)共线，那么实数的值为▲．考点：平面向量的线性运算，共线的观点与性质。答案：1分析：2ab＝〔4,2+1〕，由于向量2ab与c(8,6)共线，因此，16+8＝24，得＝17．函数f(x)(x1)(pxq)为偶函数，且在(0,)单一递减，那么f(x3)0的解集为▲．考点：二次函数的图象，函数的奇偶性，一元二次不等式的解法。答案：(,2)(4,)分析：函数f(x)px2(qp)xq，由于函数为偶函数，因此，q＝p，又在(0,)单一递减，因此，p＜0，函数为：f(x)px2p由f(x3)0，得：p(x3)2p＜0，即(x3)21＞0解得：x＜2或x＞4，因此，解集为：(,2)(4,)8．在平面直角坐标系中，????2y21上的四段弧〔如图〕，点P在AB，CD，EF，GH是圆x此中一段弧上，角以Ox为始边，OP为终边．假定tancossin，那么P所在的圆弧是▲．考点：三角函数的定义，三角函数线。?答案：EF分析：正弦函数最大，因此，清除第三象限的弧GH；第一象限的弧AB时，应当是余弦最大，在弧CD时应当是正切最大，都不对；当点P在第二象限的弧EF上时，作出对应的三角函数线，以以下图，那么有：sinα＝QP，cosα＝OQ，tanα＝AMQP＞0，OQ＜0，AM＜0，且AM＜OQ，因此，有tancossin9．函数ylogax31(a0且a1)的图象恒过定点A，假定点A在直线mxny10上，此中mn0，那么11的最小值为▲．mn考点：对数函数的性质，根本不等式的应用。答案：322分析：函数ylogax31(a0且a1)的图象恒过定点A〔－2，－1〕因此，－2m－n+1＝0，即2m+n＝111＝〔11〕×1＝〔11〕×〔2m+n〕＝3+n2m322mnmnmnmn．R，函数fxx24x5,x，假定函数fx恰有2个零点，那么实数的取值范10ex1,x围是▲．考点：二次函数和指数函数的图象，函数的零点，分类议论的数学思想。答案：1,0U5,分析：画出函数图象以以下图，当10时，函数恰有2个零点A，B，当5时，函数恰有2个零点A，C，故实数的取值范围是1,0U5,11．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB2，AD1，DAB60，假定BCCE3，AFAB，且AEDF1，那么实数的值为▲．考点：平面向量的三角形法那么、数目积、综合应用。答案：

14分析：如图，依题意，可求得：DC＝1，因此，AD＝BC＝DC＝1，由于BC3CE因此，AE＝ABBE＝AB4AB4ADDC)＝AB41BC＝(BA(ABADAB)3332＝1AB4AD33DFDAAFABAD因此，AEDF(1AB4AD)(ABAD)＝85＝－13333因此，＝1412．不等边ABC〔三条边都不相等的三角形〕的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假定abcosBccosC1b2c2，那么A的弧度数为▲．2考点：正弦定理、余弦定理，三角函数的综合应用。答案：23分析：由于abcosBccosC1b2c2，因此，22abcosB2accosCb2c2，即2aba2c2b22aca2b2c2b2c22ac2aba2c2b2a2b2c2b22bccbcb2(a2c2b2)c2(a2b2c2)bc(b2c2)a2b2b4c2a2c4bc(b2c2)a2(b2c2)(b2c2)(b2c2)bc(b2c2)，由于三条边不相等，即bc，因此，有a2(b2c2)bc，又13．定义在R上的函数fxexx都有fxak，假定存在实数a，使得对随意实数exe建立，那么实数k的最小值为▲．考点：函数的性质，函数的综合应用。答案：12分析：由fxak得akf(x)ak，即f(x)kakf(x)恒建立，又fxex＝1eeeexex

的值域是〔0,1〕因此，1－k≤0+k，故k1，即实数k的最小值为12214．假定正实数x、y知足x2xyy29，且x2y29，那么xy的取值范围为▲．考点：综合应用不等式知识解决问题，答案：6,9分析：由x2xyy29，得9xyx2y22xy，因此，xy≤9，由x2y29，得(x2y2)281，即(x2y2)24x2y281即(9xy)24x2y2813(xy)218xy8181，解得：xy＞6因此，xy的取值范围为6,9二、解答题：〔本大题共6道题，计90分．解允许写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔本题总分值14分〕ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sinA3cosBC3，8sinBsinCsinA，a7.7⑴求角A的值；⑵求ABC的面积．考点：正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的综合应用。分析：见下边的答案。16．〔本题总分值14分〕O为坐标原点，OAcosx,1，OB2cosx,3sin2x，xR，fxOAOB.⑴求函数fx的最小正周期和单一递加区间；⑵将函数yfx的图象上各点的横坐标伸长为本来的2倍(纵坐标不变)，再将获得的图象向左平移个单位，获得函数ygx的图象，求函数ygx在12,5上的最412小值．考点：平面向量的数目积，三角函数的图象及其性质。分析：见下边的答案。17．〔本题总分值14分〕常州地铁工程正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t〔单位：分钟〕知足2t20，tN．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t有关，当10t20时地铁为满载状态，载客量为1200人，当2t10时，载客量会减少，减少的人数与(10t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为p(t).⑴求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；⑵假定该线路每分钟的净利润为6p(t)3360Q360〔元〕，问当发车时间间隔为多少时，t该线路每分钟的净利润最大？考点：分段函数，根本不等式，综合应用数学知识解应用题的能力。分析：见下边的答案。18．〔本题总分值16分〕函数f(x)x2axa2lnx．⑴议论f(x)的单一性；⑵假定f(x)0恒建立，务实数a的取值范围．考点：函数的导数及其应用，用函数导数求解恒建立问题。分析：见下边的答案。19．〔本题总分值16分〕设函数fxxt3，此中t，mR．mxt⑴假定t1，m0，求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；⑵假定m9，求fx的极值；⑶假定曲线yfx与直线yxt42有三个互异的公共点，务实数m的取值范围．考点：函数的导数及其应用，分类议论的数学思想。分析：见下边的答案。20．〔本题总分值16分〕设数列an的前n项和为Sn．6Sn2n3annnN*，设cn4an11.2n12n⑴求证：当n2时，cncn1为常数；⑵求数列an的通项公式；⑶设数列bn是正项等比数列，知足：b1a1，b3a2，求数列anbn的前n项的和Tn．考点：用数列的前n项和求数列通项公式的方法，等比数列的通项公式，裂项相消法求数列的n项和的方法。分析：见下边的答案。2019届第一学期期中考试2021．11高三理科数学试题参照答案及评分标准一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的地点上〕1．x-2x12．23．充分不用要4．2446．17．(,2)(4,)?5．8．EF39．32210．12．213．3

1,0U5,11．141．6,9142二、解答题：〔本大题共6道题，计90分．解允许写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤〕15．解：〔1〕由ABC，故cos(BC)cosA，得sinA3cosA32分即2sinA3，得sinA3------------------------------------------------4分332又A2，∴A，3333327分即A3〔2〕由sinBsinC8sinA，7由正弦定理abcc8sinAsinB得ba，sinC7a7，bc8，----------------------------------------------9分由余弦定理a2b2c22bccosA，得49(bc)22bcbc64bc，解得bc12分∴ABC的面积为1bcsinA153．---------------------------------------------------------14分2416．解：(1)由题意OAcosx,1，OB2cosx,3sin2x，因此fx2cos2x3sin2xcos2x3sin2x12sin(2x)1，----------------3分6∴的最小正周期为T2ππ，---------------------------------4分2令2k2x62k,kZ，得k3xk,kZ，226因此的单一递加区间为[k3,k],kZ.--------------------------------------------6分6(2)由(1)得fx2sin(2x)1，6因此将函数yfx的图象上各点的横坐标伸长为本来的2倍(纵坐标不变)，获得函数y2sin(x)8分6再将获得的图象向左平移个单位，4获得gx2sin(x4)12sin(x5)1，10分612x12,5，x53,5，12126当x55即x5时，gxming52sin512，----------------------13分12612126即函数ygx在12,5上的最小值为2．---------------------14分12217．解〔1〕由题意知p(t)1200k10t,2t10，tN，〔k为常数〕，---------2分1200,10t20p(2)1200k1022560，k10，-----------------------------------------3分12001010t2t10t2200t200,2t10p(t),2，5分1200,10t201200,10t20----------------p(6)1200101021040，-----------------------------------------66分〔2〕由Q6p(t)3360360，可得t12001010t256060,2t106tQ，-----------------------------------------8分3840360,10t20t当2t10时，Q614010t3661401012120，t当且仅当t6时等号建立；-----------------------------------------10分当10t20时，Q7200336036038436024，当t10时等号建立，------12分t当发车时间间隔为t6分钟时，该线路每分钟的净利润最大，最大为120元.答：当发车时间间隔为t6分钟时，该线路每分钟的净利润最大，最大为120元.------14分18．解：〔1〕函数f(x)的定义域为0,，2222xaxa------------------------------f'x2xaa2xaxa2x，分xx①假定a0，那么f(x)x2，在0,单一递加；-----------------------------------------3分②假定a0，那么由f(x)0得xa．当x0,a时，f(x)0；当xa,时，f(x)0，因此f(x)在0,a单一递减，在a,单一递加；-----------------------------------------5分③假定a0，那么由f(x)0得xa．2当x0,a时，f(x)0；当xa,时，f(x)0，22故f(x)在0,a单一递减，在a,22

单一递加．---------------------------------------7分〔2〕①假定a0，那么f(x)x2，因此fx0．-----------------------------------------8分②假定a0，那么由〔1〕得，f(x)minf(a)a2lna，进而当且仅当a2lna0即a1时，fx0，0a1.-----------------------------------------11分③假定a0，那么由〔1〕得，f(x)minf(a)a23lna，-------------13分242进而当且仅当a23lna30即a2e4时，fx0，4232e4a0.-----------------------------------------15分3综上，实数a的取值范围为2e4,1.-----------------------------------------16分19．解：〔1〕函数fxxt3xt，mt1，m0时，fx3x1，f'x21，f'03，-----------------------------------------2分3x1，f0∴yfx在点0,f0处的切线方程为y3x1；-----------------------------------------3分〔2〕当m9时，fxxt39xt，f'x293xt3xt3，43xt-----------------------------------------分令f'x0，解得xt3或xt3；当x变化时，f'x，fx的变化状况以下表；x〔﹣∞，t3〔t2﹣，t3〔t3，t3〕t2+〕+∞〕f'x+0﹣0+fx单一增极大值单一减极小值单一增----------------------------------------6分∴yfxft333363的极大值为9，极小值为ft3339363；-----------------------------------------8分〔3〕令uxt，可得u31mu420；设函数gxx31mx42，那么曲线yfx与直线yxt42有三个互异的公共点等价于函数ygx有三个不一样的零点；9分g'x3x21m，当m1时，g'x0恒建立，此时gx在R上单一递加，不合题意；----------------10分当m1时，令g'x0，解得x1m1，x2m1；33∴gx在,x1上单一递加，在x1,x2上单一递减，在x2,上也单一递加；3∴gx的极大值为gx1gm123m12420；393极小值为gx2gm123m122；-----------------------------------------12394分假定gx20，由gx的性可知，函数gx至多有两个零点，不合意；3假定gx20，即m1266，解得m7，-----------------------------------------13分此m1x2，gm1420，且2m1x1；g2m16m1m1420，-----------------------------------------15分进而由gx的性可知，gx在区2m1,x1，x1,x2，x2,m1内各有一个零点，切合意；∴m的取范是7,16分20．解：〔1〕由意：n=1，6S15a11,a11；----------------------------