人教版九年级数学下册课件第28章锐角三角函数

第二十八章

锐角三角函数28.1锐角三角函数第1课时

正弦第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第1课时1课堂讲解正弦函数的定义正弦函数的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业1课堂讲解正弦函数的定义2课时流程逐点课堂小结课后作ABCBC=5.2mAB=54.5mθ根据已知条件，你能用塔身中心线与垂直中心线所成的角度来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？ABCBC=5.2mAB=54.5mθ根据已知条件，你能用1知识点正弦函数的定义问

题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？知1－导1知识点正弦函数的定义问题为了绿化荒山，某知1－导这个问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC

=35m，求

AB(如图).

根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB

=2BC

=70(m).也就是说，需要准备70m长的水管.知1－导这个问题可以归结为：在Rt△ABC知1－导思考:在上面的问题中,如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？

在上面求AB

(所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于知1－导思考:在上面求AB(所需水管的长知1－导思考:如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比

由此你能得出什么结论？知1－导思考:知1－导如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形.由勾股定理得AB2=AC2+BC2

=2BC2

,AB

=BC.因此即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于知1－导如图，在Rt△ABC中，∠C=90°知1－导综上可知，在Rt△ABC中，∠C

=90°，当∠A

=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于

是一个固定值；当∠A

=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于

也是一个固定值.一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？知1－导综上可知，在Rt△ABC中，知1－导探究:任意画Rt△ABC和Rt△（如图），使得那么与有什么关系？你能解释一下吗？知1－导探究:知1－导

在图中，由于

所以Rt△ABC∽Rt△

因此

即

这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.知1－导在图中，由于知1－导归

纳如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化.知1－导归纳如图，在Rt△ABC中，∠C=

例1如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，求sinA

和sinB

的值.知1－讲例1如图，在Rt△ABC中，∠C知1－讲解:如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此如图(2),在Rt△ABC中,由勾股定理得因此（来自教材）知1－讲解:如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得（来自总

结知1－讲

求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比.（来自教材）总结知1－讲求sinA就是要确定∠A的如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，

求sinA和sinB的值.知1－练（来自教材）解：由勾股定理得

所以如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，知1－练（来自教材）解知1－练（来自教材）解：由勾股定理得

∴知1－练（来自教材）解：由勾股定理得知1－练【中考·日照】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为(

)B.C.D.2B知1－练【中考·日照】在Rt△ABC中，∠C＝90°，2B知1－练

把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，

则锐角∠A的正弦值(

)A．不变

B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍

D．不能确定A知1－练把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，A知1－练【中考·贵阳】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为(

)A.B.C.D.4D知1－练【中考·贵阳】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝知1－练【中考·怀化】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sinα的值是(

)A.B.C.D.5C知1－练【中考·怀化】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2知识点正弦函数的应用知2－讲例2在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=则

边AC的长是()A.B.3C.D.解析:如图,

而BC=2,A2知识点正弦函数的应用知2－讲例2在Rt△ABC中,总

结知2－讲

由正弦值求边长，当已知角的对边或斜边长时，通常先根据某个锐角的正弦的定义确定斜边或对边，再根据勾股定理求另一边；当已知角的邻边时，根据正弦函数的定义确定另外两边的比值，根据勾股定理列方程求解即可．总结知2－讲由正弦值求边长，当已知角的在Rt△ABC中，∠C=90°，

∠A=90°，求sinA的值.知2－练（来自教材）解：如图．∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∴sinB＝sin30°＝

设AC＝a，则AB＝2a，∴在Rt△ABC中，∠C=90°，知2－练（来自教材）解：如图知2－练2在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝

，

则AB的长等于(

)A．15B．12C．9D．6A知2－练2在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，知1－练【中考·厦门】已知sin6°＝a，sin36°＝b，则sin26°＝(

)A．a2B．2a

C．b2D．b3A知1－练【中考·厦门】已知sin6°＝a，sin36°＝知1－练【中考·鄂州】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝(

)A.B.C.D.4D知1－练【中考·鄂州】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC知1－练【中考·安顺】如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为(

)A.B.C.D.5B知1－练【中考·安顺】如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于锐角三角函数定义：ABC∠A的对边┌斜边sin30°

=sin45°=1知识小结锐角三角函数定义：ABC∠A的对边┌斜边sin30°=si在直角三角形ABC中，AC＝4，BC＝3，求sinA的值．2易错小结解：此题分两种情况：①当AC，BC为两直角边时，AB＝

＝5，所以sinA＝

；②当BC为直角边，AC为斜边时，sinA＝.在直角三角形ABC中，AC＝4，BC＝3，求sinA的值．易错点：审题不清，找错直角边或斜边.生往往误认为∠C是直角，AC，BC是两直角边，从而漏掉一个值．易错点：审题不清，找错直角边或斜边.生往往误认为∠C是直角，28.1锐角三角函数第1课时正弦第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数1236781112134591014151236781112134591014151．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的________与________的比叫做∠A的正弦，记作________，即sinA＝

＝________.返回1知识点正弦函数的定义对边斜边sinA对边1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的__2．(中考·乐山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(

)A．sinB＝B．sinB＝C．sinB＝D．sinB＝返回C2．(中考·乐山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，3．(中考·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于(

)A.

B.C.

D.返回A3．(中考·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB4．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的4倍，则锐角A的正弦值(

)A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的4倍D．不能确定A返回4．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的4倍，则锐角A的正5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为(

)A.B.C.D.返回D5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则s6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sinA＝________，a＝________，c＝________，b2＝________．返回2知识点正弦函数的应用csinAc2－a26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分7．(中考·德州)如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是________．返回7．(中考·德州)如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶8．(中考·杭州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝

，则斜边上的高等于(

)A.B.C.D.返回B8．(中考·杭州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝49．如图，AD⊥CD，AC⊥BC，其中CD＝3，AD＝4，sinB＝

，那么AB的长为(

)A．5B．12C．13D．15C返回9．如图，AD⊥CD，AC⊥BC，其中CD＝3，AD＝4，s10．(中考·衢州)如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为(

)A.B.C.D.C返回10．(中考·衢州)如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，11．(中考·攀枝花)如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD的值为(

)

A.B.C.D.D返回11．(中考·攀枝花)如图，点D(0，3)，O(0，0)，C12．(中考·潍坊)如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE.(1)求证AE＝BF；(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．1题型正弦函数的定义在求正弦值中的应用12．(中考·潍坊)如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，(1)证明：∵∠BAF＋∠DAE＝90°，∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE.在△DEA和△AFB中，∴△DEA≌△AFB(AAS)．∴AE＝BF.(1)证明：∵∠BAF＋∠DAE＝90°，∠ADE＋∠DAE(2)解：设AE＝x，则BF＝x.∵△DEA≌△AFB.∴DE＝AF＝2.∵四边形ABED的面积为24，∴

x2＋×2x＝24，解得x1＝6，x2＝－8(舍去)．∴AE＝BF＝6.(2)解：设AE＝x，则BF＝x.返回∴EF＝AE－AF＝6－2＝4.在Rt△EFB中，BE＝

＝2，∴sin∠EBF＝.返回∴EF＝AE－AF＝6－2＝4.13．(中考·绵阳)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上(点D不与A，B重合)，直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E.(1)求证BE＝CE；(2)若DE∥AB，求sin∠ACO的值．2题型正弦函数的定义在圆中求正弦值的应用13．(中考·绵阳)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上(点(1)证明：如图①，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠CDB＝90°.∴∠CDE＋∠BDE＝90°，∠DBC＋∠DCE＝90°.∵EB和ED都是⊙O的切线，∴ED＝EB，∴∠BDE＝∠DBC.∴∠CDE＝∠DCE,∴EC＝ED.∴BE＝CE.(1)证明：如图①，连接BD.(2)解：如图②，连接OD，过点O作OG⊥AD，垂足为G.∵EB和ED都是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°.∵DE∥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形DEBO为矩形．又∵OB＝OD，∴四边形DEBO为正方形．设正方形DEBO的边长为a，(2)解：如图②，连接OD，过点O作OG⊥AD，垂足为G.返回则OA＝OB＝OD＝BE＝a，BC＝2a.∴OC＝

＝

a，OG＝

AD＝

a.在Rt△COG中，sin∠ACO＝.返回则OA＝OB＝OD＝BE＝a，BC＝2a.14．(中考·定西)如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE＝EF.(1)求证∠C＝90°；(2)当BC＝3，sinA＝

时，求AF的长．3题型正弦函数的定义在圆中求线段长的应用14．(中考·定西)如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O(1)证明：如图，连接OE，BE.∵

DE＝EF，∴.∴

∠OBE＝∠DBE.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.∴

∠OEB＝∠DBE.∴OE∥BC.(1)证明：如图，连接OE，BE.∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC.∴

BC⊥AC，即∠C＝90°.(2)解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝

，∴AB＝5.设⊙O的半径为r，则AO＝5－r.在Rt△AOE中，sinA＝

，∴r＝.∴AF＝AB－BF＝5－2×.返回∵⊙O与边AC相切于点E，返回15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝nx＋2(n≠0)的图象与反比例函数y＝(m≠0)在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段OA＝5，C为x轴正半轴上一点，且sin∠AOC＝.求：(1)一次函数和反比例函数的解析式；(2)△AOB的面积．15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝nx＋2(n≠0解：(1)过点A作AD⊥x轴于点D.∵sin∠AOC＝

，OA＝5，∴AD＝4，∴DO＝

＝3.∵点A在第一象限，∴点A的坐标为(3，4)．将点A(3，4)的坐标代入y＝

，解得m＝12.解：(1)过点A作AD⊥x轴于点D.∴反比例函数的解析式为y＝.将点A(3，4)的坐标代入y＝nx＋2，解得n＝.∴一次函数的解析式为y＝

x＋2.(2)令0＝

x＋2，得x＝－3.∵一次函数y＝

x＋2的图象与x轴交于点B，∴B点的坐标为(－3，0)．∴S△AOB＝

OB·AD＝×3×4＝6.返回∴反比例函数的解析式为y＝.返回第二十八章

锐角三角函数28.1锐角三角函数第2课时

余弦、正切第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第2课时1课堂讲解余弦函数正切函数2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业1课堂讲解余弦函数2课时流程逐点课堂小结课后作业复习回顾在Rt△ABC中，∠C＝90°锐角正弦的定义ABC∠A的对边┌斜边复习回顾ABC∠A的对边┌斜边1知识点余弦函数

当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比，∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？这就是我们这家可要共同学习的内容.知1－导ABC∠A的对边┌斜边∠A的邻边1知识点余弦函数当锐角A确定时，∠A的邻边与知1－导如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即ABC∠A的对边┌斜边∠A的邻边知1－导如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°ABC∠A的对边

例1在Rt△ABC

中，∠C=90°，AB=5，BC=3，

则∠A的余弦值是()A.B.C.D.知1－讲解析:在Rt△ABC中,

∵∠C=90°，AB=5，BC=3，

∴AC=4，

∴cosA=C例1在Rt△ABC中，∠C=9总

结知1－讲

特别提醒求出所需要的边的值，紧扣余弦概念，一定要认清是角的邻边与斜边的比，否则会和正弦混淆．总结知1－讲特别提醒求出所需要的边的值【中考·湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是()A.B.C.D.知1－练1A【中考·湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，【中考·广东】如图，在平面直角坐标系中，点A

的坐标为(4，3)，那么cosα的值是()A.B.C.D.知1－练2D【中考·广东】如图，在平面直角坐标系中，点A知1－练2D【中考·绍兴】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分

别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，

连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.B.C.D.知1－练3B【中考·绍兴】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝2知识点正切函数知2－导.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即ABC∠A的对边┌斜边∠A的邻边2知识点正切函数知2－导.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90

例2如图,在Rt△ABC

中，∠C=

90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA,tanA的值.知2－讲解:

由勾股定理得因此（来自教材）例2如图,在Rt△ABC中，∠C总

结知2－讲

已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求三角函数值．总结知2－讲已知直角三角形的任意两边长分别求出下列直角三角形中两个

锐角的正弦值、余弦值和正切值.知2－练（来自教材）解:

由勾股定理得因此分别求出下列直角三角形中两个知2－练（来自教材）解:由知2－练（来自教材）解：

所以知2－练（来自教材）解：【中考·包头】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜

边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是()A.B.3C.D.知2－练2D【中考·包头】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜知2－练2【中考·宜昌】△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是(

)A．sinα＝cosα

B．tanC＝2C．sinβ＝cosβ

D．tanα＝1知2－练3C【中考·宜昌】△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边如图，点A，B，O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是AmB上的一点，则tan∠APB的值是()A.1B.C.D.知2－练4︵A如图，点A，B，O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果∠DPB＝α，那么等于(

)A．sinα

B．cosα

C．tan

αD.知2－练5B如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果∠如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边长，△ABC最小的角为∠A，那么tanA的值为______________．知2－练6如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边(1)∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，

即cosA＝(2)∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，

即tanA＝ABC∠A的对边a┌斜边c∠A的邻边b1知识小结(1)∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，A已知x＝cosα(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，求cosα的值．2易错小结解：∵方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝

，又∵0＜cosα＜1(α为锐角)，∴cosα＝.已知x＝cosα(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.常见错解：∵方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝

，∴cosα＝2或cosα＝.忽略了cosα(α为锐角)

的取值范围是0＜cosα＜1.易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.常见错解：∵方程2x28.1锐角三角函数第2课时余弦、正切第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数12367811121345910141516123678111213459101415161．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与________的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝________．返回1知识点余弦函数斜边1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边2．(中考·哈尔滨)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为(

)A.B.C.D.返回A2．(中考·哈尔滨)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝43．(中考·丽水)如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(

)A.B.C.D.返回C3．(中考·丽水)如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥B4．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB＝(

)A.B.C.D.C返回4．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB5．(中考·娄底)如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sinα－cosα＝(

)B．－

C.

D．－返回D5．(中考·娄底)如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与________的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝________．返回2知识点正切函数邻边6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边7．(中考·金华)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是(

)A.B.C.D.返回A7．(中考·金华)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，8．(中考·鄂州)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝(

)A.B.C.D.返回D8．(中考·鄂州)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A9．(中考·荆门)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D

为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为(

)A.B.－1C．2－D.A返回9．(中考·荆门)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB10．(中考·枣庄)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值为(

)A.

B.

C.

D.A返回10．(中考·枣庄)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中11．如图，⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知⊙O的半径为

，tan∠ABC＝

，则CQ的最大值是(

)A．5

B.C.

D.C返回11．如图，⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点12．(中考·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝________．

2返回12．(中考·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3，求cos∠ABC与tan∠ADC的值．1题型余弦、正切函数的定义在求三角函数值中的应用13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝返回解：由已知得：∠ACB＝90°，AC＝

＝

＝4，∴cos∠ABC＝.又∵∠ADC＝∠ABC，∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝.返回解：由已知得：∠ACB＝90°，AC＝14．(中考·广安)如图，一次函数y1＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y2＝(k为常数，k≠0)的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接OA.已知OC＝2，tan∠AOC＝

，B(m，－2)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围．2题型正切函数的定义在求函数解析式中的应用14．(中考·广安)如图，一次函数y1＝ax＋b(a≠0)的解：(1)∵tan∠AOC＝

，OC＝2，∴AC＝3.∴点A的坐标为(2，3)．∵点A(2，3)在反比例函数y2＝

的图象上，∴3＝.∴k＝6.∴反比例函数的表达式为y2＝.当y＝－2时，m＝

＝－3.解：(1)∵tan∠AOC＝，返回∴点B的坐标为(－3，－2)．将点A，B的坐标代入y1＝ax＋b，得

解得∴一次函数的表达式为y1＝x＋1.(2)当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或－3＜x＜0.返回∴点B的坐标为(－3，－2)．15．(中考·金华)如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD.已知∠CAD＝∠B.(1)求证：AD是⊙O的切线．(2)若BC＝8，tanB＝

，求⊙O的半径．3题型正切函数的定义在求线段长中的应用15．(中考·金华)如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上(1)证明：如图，连接OD.∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B.又∵∠B＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODB.在Rt△ACD中，∠CAD＋∠ADC＝90°，∴∠ADC＋∠ODB＝90°.(1)证明：如图，连接OD.∴∠ADO＝180°－(∠ADC＋∠ODB)＝180°－90°＝90°.∴OD⊥AD.∴AD为⊙O的切线．(2)解：设⊙O的半径为r.在Rt△ABC中，AC＝BC·tanB＝8×＝4，∴AB＝.∴∠ADO＝180°－(∠ADC＋∠ODB)＝180°－90∴OA＝4－r，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tanB＝

，∴CD＝AC·tan∠CAD＝4×＝2.∴AD2＝AC2＋CD2＝42＋22＝20.在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，即(4－r)2＝r2＋20，解得r＝.返回∴OA＝4－r，返回等角代换法16．已知线段OA⊥OB，点C为OB的中点，D为AO上一点，连接AC，BD交于点P.(1)如图①，当OA＝OB，且点D为AO的中点时，求

的值；(2)如图②，当OA＝OB，

时，求tan∠BPC的值．等角代换法16．已知线段OA⊥OB，点C为OB的中点，D为A解：(1)过点C作CE∥OA交BD于点E，则△ECP∽△DAP.∴.∵点C为OB的中点，点D为AO的中点，∴CE＝

OD＝

AD.∴

＝2.∴

＝2.解：(1)过点C作CE∥OA交BD于点E，(2)过点C作CE∥OA交BD于点E.设AD＝x，则AO＝OB＝4x，OD＝3x.∵CE∥OD，点C为OB的中点，∴CE＝

OD＝

x.∵CE∥AD，∴△ECP∽△DAP.∴

.(2)过点C作CE∥OA交BD于点E.在Rt△BOD中，由勾股定理易得BD＝5x，则DE＝

BD＝

x.∴

.∴PD＝x，∴PD＝AD.∴∠BPC＝∠DPA＝∠A.∵OA＝OB，点C是OB的中点，∴CO＝

OB＝

AO.∴tan∠BPC＝tanA＝.返回在Rt△BOD中，由勾股定理易得BD＝5x，返回第二十八章

锐角三角函数28.1锐角三角函数第3课时

特殊角的三角

函数值第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第3课时1课堂讲解特殊角的三角函数值特殊三角函数值的对应角锐角三角函数间的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业1课堂讲解特殊角的三角函数值2课时流程逐点课堂小结课后作业复习回答问题在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，BC=10，则AB=_______，AC=_______，sinB=_______，△ABC的周长是______.12.57.530复习回答问题在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=1知识点特殊角的三角函数值知1－导为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，测出一棵大树

的高度.你会吗？还是学习

本节知识吧，学后你会胸

有成竹的，你还等什么？1知识点特殊角的三角函数值知1－导为了测量一棵大树的高度，准

探究：

两块三角尺（如图）中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少？知1－导探究：知1－导知1－导归

纳

30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角A锐角三角函数知1－导归纳30°，45°，60°角

例1求下列各式的值：

（1）cos260°+sin260°；

（2）知1－讲解：（1）

cos260°+sin260°

=1；

（2）=0.（来自教材）例1求下列各式的值：知1－讲解：（1总

结知1－讲

有关特殊角的三角函数值的计算，先直接写出三角函数值，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算．总结知1－讲有关特殊角的三角函数值的1求下列各式的值：(1)1-2sin30°cos30°;(2)3tan30°-tan45°+2sin60°；

(3)(cos230°+sin230°)×tan60°.知1－练（来自教材）解：1求下列各式的值：知1－练（来自教材）解：知1－练(中考·天津)cos60°的值等于(

)A.B.1C.D.2D知1－练(中考·天津)cos60°的值等于()2D知1－练【中考·包头】计算sin245°＋cos30°·tan60°，其结果是(

)A．2B．1C.D.下列各式中正确的是(

)A．sin60°＝B．cos45°＋sin45°＝C．sin60°＝sin(2×30°)＝2sin30°D．tan60°＋tan30°＝234BA知1－练【中考·包头】计算sin245°＋cos30°·t知1－练如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则sin∠AOB的值是(

)A.B.C.D.5C知1－练如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则si知1－练菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝

，则点B的坐标为(

)A．(，1)

B．(1，)

C．(＋1，1)

D．(1，

＋1)6C知1－练菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AO2知识点特殊三角函数值的对应角知2－导

在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=,AC=,求∠A、∠B的度数.

∵tanA=

∴∠A=30°,∠B=60°..2知识点特殊三角函数值的对应角知2－导在R

归

纳知2－导

根据一个锐角的特殊的三角函数值，也可以求出角的度数.归纳知2－导根据一个锐角的特殊的三角函知2－讲例2(1)如图(1),在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=,BC=,求∠A的度数.(2)如图(2)，AO是圆锥的高，OB是底面半径,AO=OB，求的度数..知2－讲例2(1)如图(1),在Rt△ABC中，知2－讲解:(1)在图(1)中,（来自教材）(2)在图(2)中,知2－讲解:(1)在图(1)中,（来自教材）(2)在图在Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝，

AC＝，就∠A，∠B的度数.知1－练（来自教材）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以∠A＝30°，所以∠B＝90°－∠A＝60°.在Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝，知1－在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝

，

cosB＝

，则△ABC的形状是(

)A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定(2015·酒泉)已知α，β均为锐角，且满足

则α＋β＝________．知2－练23B75°在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD为⊙O的直径，DE⊥AB于点E，sinA＝

，则∠D的度数是________．知2－练430°如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD为⊙O的直径，DE⊥AB3知识点锐角三角函数间的关系知3－讲（1）求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它

转化为实数的运算，再根据实数的运算法

则计算.（2）求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余

弦值或正切值，然后对应特殊锐角的三角

函数值求角的度数..3知识点锐角三角函数间的关系知3－讲（1）求特殊锐角的三角函知3－讲（3）当A、B均为锐角时，若A≠B，则sinA≠sinB,cosA≠cosB,tanA≠tanB.（4）sin2α+cos2α=1，tanα=.知3－讲（3）当A、B均为锐角时，若A≠B，则sinA≠si知3－讲例3已知∠A为锐角，sinA＝

，求∠A的其

他三角函数值．.导引：根据sin2

A＋cos2

A＝1，求出cosA的值，

然后根据tanA＝

，求出tanA的值．知3－讲例3已知∠A为锐角，sinA＝知3－讲

解：∵sinA＝

，sin2

A＋cos2A＝1，∴＋cos2

A＝1,∴cos2

A＝1－∴cosA＝

(负值舍去)．.∴知3－讲.∴知3－练当45°<∠A<90°时，下列不等式中正确的是(

)A．tanA>cosA>sinA

B．cosA>tanA>sinAC．sinA>tanA>cosA

D．tanA>sinA>cosA1D知3－练当45°<∠A<90°时，下列不等式中正确的是(特殊角的三角函数值:1知识小结特殊角的三角函数值:1知识小结13．如图，在△ABC中，AC＝1，AB＝2，∠A＝60°，求BC的长．2易错小结解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．在Rt△ADC中，∵cosA＝

，sinA＝

，∴AD＝AC·cosA＝1×cos60°＝

，CD＝AC·sinA＝1×sin60°＝.在Rt△BDC中，BD＝AB－AD＝2－

＝

，∴BC13．如图，在△ABC中，AC＝1，AB＝2，2易错小结解：错解：在△ABC中，∵＝sinA，∴BC＝AB·sinA＝2sin60°＝2×＝.诊断：错解的原因是忽略了锐角三角函数使用的前提是在

直角三角形中．本题中没有明确指出△ABC是直角

三角形，因此，不能直接得到

＝sinA，必须通

过添加辅助线构造出直角三角形，再利用三角函数

的定义来解决．易错点：忽视锐角的三角函数值是在直角三角形中求出

这一条件而致错.错解：在△ABC中，∵＝sinA，∴BC28.1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数12367811121345910141516123678111213459101415161．特殊角的三角函数值：sin30°＝_____，sin45°＝_____，sin60°＝______．cos30°＝_____，cos45°＝_____，cos60°＝______．tan30°＝_____，tan45°＝_____，tan60°＝______．返回1知识点特殊角的三角函数值1．特殊角的三角函数值：返回1知识点特殊角的三角函数值2．(中考·滨州)下列运算：sin30°＝

，

＝2，π0＝π，2－2＝－4，其中运算结果正确的个数为(

)A．4B．3C．2D．1返回D2．(中考·滨州)下列运算：sin30°＝，3．计算sin245°＋cos30°·tan60°，其结果是(

)A．2B．1C.D.返回A3．计算sin245°＋cos30°·tan60°，其结4．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠BAC＝70°，∠C＝50°，那么sin∠AEB的值为(

)A.B.C.D.D返回4．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠BAC＝75．含30°角的直角三角形的三边之比为________，等腰直角三角形的三边之比为________；已知特殊三角函数值求角，即可看这个比值(数)想到三角形哪两边的比(形)，从而确定它所对应的角．返回2知识点特殊三角函数值的对应角5．含30°角的直角三角形的三边之比为________，等腰6．已知α为锐角，且关于x的方程x2－tanα·x＋

＝0有两个相等的实根，则α的度数为(

)A．30°B．45°C．60°D．90°返回B6．已知α为锐角，且关于x的方程x2－tanα·x＋7．(中考·庆阳)在△ABC中，若角A，B满足|cosA－|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小是(

)A．45°B．60°C．75°D．105°返回D7．(中考·庆阳)在△ABC中，若角A，B满足|cosA－8．若△ABC中，sinA＝cosB＝

，则下列最确切的结论是(

)A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形返回C8．若△ABC中，sinA＝cosB＝，则下列最9．(中考·烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝

，则sin＝________．返回9．(中考·烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，10．在△ABC中，∠C＝90°，则：(1)sin2A＋cos2A＝________；(2)tanA＝________；(3)sinA＝________．返回3知识点锐角三角函数之间的关系1cosB10．在△ABC中，∠C＝90°，则：返回3知识点锐角三角函11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是(

)A．tanA＝B．sin2

A＋cos2

A＝1C．sin2

A＋sin2

B＝1D．tanA·tanB＝1返回A11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是12．(中考·汕尾)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝

，则cosB的值是(

)A.B.C.D.

返回B12．(中考·汕尾)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin13．(中考·自贡)计算：

＋(sin60°－1)0－2cos30°＋|－1|.1题型特殊角的三角函数值在计算中的应用解：原式＝2＋1－

＋

－1＝2.返回13．(中考·自贡)计算：＋(sin60°14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上．已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20，求∠A的度数．2题型特殊角的三角函数值在求角中的应用14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上．已知∠返回解：∵∠BDC＝45°，∠C＝90°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC＝CD.∵BD＝10，∴BC＝10.∵AB＝20，∴sinA＝