中考数学一轮复习专题课件第09讲不等式及一元一次

第9讲

不等式及一元一次不等式考点一

不等式的基本概念不等式用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．不等式的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．不等式的解集一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是

1

的不等式，叫做一元一次不等式．其一般形式为

ax＋b＜0

或ax＋b＞0(a≠0)．解不等式求不等式的解集的过程叫做解不等式．考点二

不等式的基本性质1．如果

a＞b，那么

a±c＞b±c；a

b2．如果

a＞b，c＞0，那么

ac＞bc或c

＞

c；a

b3．如果

a＞b，c＜0，那么

ac＜bc或c

＜

c.温馨提示：一定要注意：在应用不等式的基本性质

3

时，要改变不等号的方向.考点三

解一元一次不等式1．在数轴上表示不等式的解集不等式在数轴上表示x<ax>ax≥ax≤a2.解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括

号，移项，合并同类项，系数化为1.温馨提示：用数轴表示不等式的解集时，注意实心圆点和空心圆圈的意义.考点四一元一次不等式的应用列不等式解应用题的一般步骤(1)审题；(2)设未知数；(3)确定包含未知数的不等关系；(4)列出不等式；(5)求出不等式的解集；(6)检验不等式的解是否符合题意；(7)写出答案．温馨提示：利用一元一次不等式解答应用题常含有的关键语，如大于>，小于<，不多于≤，不少于≥，超过≤，至少≥，……利用一元一次不等式解应用题常常要借助方程想、与方程类似的思路和解题方法，同时也要渗透类

思想.不等式的解有无限个，而实际问题的答案往往要取特殊解.【点拨】解不等式，得x≥1.在数轴上表示解集时，从表示1的点向右画，且包含1，即在表示1的点上画实心圆点．故选A.【答案】

A方法总结：把不等式组的解集在数轴上表示时，一是定边界点，二是定方向.解集中含有等号的边界点用实心圆点，不含等号的用空心圆圈，相对界点而言，“小于向左，大于向右”.口诀：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.考点二

不等式的基本性质例

2(2014·

)若

x>y，则下列式子中错误的是( )x

yA．x－3>y－3

B.

3>3C．x＋3>y＋3

D．－3x>－3y【点拨】依据不等式的性质

1

可知A、C

正确，依据不等式的性质

2

可知B

正确，依据不等式的性质

3可知

D

错误．故选

D.【答案】

D方法总结：运用不等式的基本性质进行不等式的变形时，要特别注意性质2

和性质3

的区别，在不等式两边乘或除以同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变.考点三

一元一次不等式的解法2例

3(2014·

)解不等式1x－1≤2123x－，并把它的解集在数轴上表示出来.【点拨】本题考查一元一次不等式的解法和解集的表示方法．解：去分母，得3x－6≤4x－3.移项、合并同类项、系数化为1，得x≥－3.把解集在数轴上表示

．方法总结：不等式两边同乘或除以同一个负数时，要改变不等号的方向，所以在去分母、系数化为1两个相关步骤中，要时刻注意是否要改变不等号的方向.考点四

一元一次不等式的应用例

4(2014·邵阳)

新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共

100

块，共花费

5

600

元．已知彩色地砖的单价是

80

元/块，单色地砖的单价是40

元/块．两种型号的地砖各采购了多少块？如果厨房也铺设这两种型号的地砖共

60

块，且采购地砖的费用不超过3

200

元，那么彩色地砖最多能采购多少块？【点拨】本题考查列方程(组)与一元一次不等式解决实际问题．解：(1)设彩色地砖采购了

x

块，则单色地砖采购了(100－x)块，根据题意，得80x＋40(100－x)＝5600，解得

x＝40.100－x＝60.答：彩色地砖采购了

40

块，单色地砖采购了60

块．(2)设彩色地砖采购了

y

块，则单色地砖采购了(60－y)块，根据题意，得80y＋40(60－y)≤3200，解得

y≤20.答：彩色地砖最多能采购

20

块．方法总结：找不等关系往往要找到表示不等关系的词语，但也要注意很多不等关系是隐含的，如东西时所花钱数要小于或等于总钱数.在解应用题时，往往要根据实际问题的意义求出特殊解，而这些条件往往是隐含的，解题时要特别注意.1．不等式2x＋6＞0的解集在数轴上表示正确的是()解析：解不等式2x＋6＞0，得x＞－3.把x＞－3在数轴上表示时，要从表示－3的点向右画，且用空心圆圈．故选C.答案：C2．已知

a＋1＜b，且c

是非零实数，则可得(B

)A．ac＜bcC．ac＞bcB．ac2＜bc2D．ac2＞bc2解析：∵a＋1＜b，∴a＜b.A

中，当

c＜0

时，ac＞bc，故

A

错误；B、D

中，c2＞0，ac2＜bc2，故

B正确，D错误；C

中，当c＞0

时，ac＜bc，故C

错误．故选

B.3．以下所给的数值中，为不等式－2x＋3＜0

的解的是(

D

)A．－2C．1.5B．－1D．3解析：方法一：解不等式，得

x＞1.5，故选

D；方法二：把四个数值分别代入不等式－2x＋3＜0，只有3

能使不等式成立，故选D.4．关于

x

的不等式－2x＋a≥2

的解集是

x≤－1a

的值是(

C

)A．－4C．0B．－2D．2解析：解不等式－2x＋a≥2，得－2x≥2－a，x≤－2－a2，∵不等式的解集是

x≤－1，∴－2－a2＝－1，∴a＝0.故选

C.5．已知关于

x

的不等式(3－a)x＞a－3

的解集为x＜－1，则

a

的取值范围是

a＞3

.解析：∵不等式(3－a)x＞a－3

的解集为

x＜－1，故

3－a＜0，解得

a＞3.6．解不等式x－7＋1<3x－2，并求出它的负整2

2数解．解：去分母，得

x－7＋2<3x－2.移项，得－2x<3.3解得

x>－2.故负整数解是－1.7．为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲甲、乙、丙三种树，美化村庄，已知甲、乙、丙三种树每棵价格之比为

2∶2∶3，甲种树每棵

200

元，现计划用

210

000

元

，

这三种树共

1

000

棵．求乙、丙两种树每棵多少元？若

甲种树的棵数是乙种树的

2倍，且恰好用完计划

，求这三种树各能

多少棵？(3)若又增加

10

120

元的购树款，在

总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以

多少棵？32解：(1)乙种树每棵

200

元，丙种树每棵×200＝300(元)．，(2)设 乙种树

x

棵，则 甲种树

2x

棵丙种树(1

000－3x)棵，根据题意，得

200×2x＋200x＋300×(1

000－3x)＝210

000.解得

x＝300.∴2x＝600,

1

000－3x＝100.答： 甲种树

600

棵，乙种树

300

棵，丙种树100

棵．(3)设丙种树y

棵，则甲、乙两种树共

(1

000－y)棵，根据题意，得200(1

000－y)＋300y≤210

000＋10

120.

解得

y≤201.2.∵y

为正整数，∴y

取201.答：丙种树最多可以

201

棵．考点训练一、选择题(每小题4

分，共40

分)1．设、、分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况，那么、、这三种物体按质量从大到小排列应为()A.

、、C.

、、B.

、、D.

、、>

，由右图可知

＝2

，即解析：由左图可知>.∴＞＞.故选

C.答案：C2．(2014·滨州)a，b

都是实数，且a<b，则下列不等式的变形正确的是(

)A．a＋x>b＋xB．－a＋1<－b＋1C．3a<3ba

bD.

2>2解析：A

选项，不等式两边同时加了

x，不等号的方向应该不变，故

A

错误；B

选项，不等式两边先乘一个(－1)，然后加

1，所以不等号的方向要改变，故B错误；C

选项，不等式两边同时乘

3，所以不等号的方向不变，故

C

正确；D

选项，不等式的两边同时除以一个正数

2，所以不等号的方向应该不变，故D

错误．故选

C.答案：C3．(2014·绍兴)不等式

3x＋2>－1

的解集是(

C

)A．x>－B．x<－1

13

3C．x>－1

D．x<－1解析：移项，得

3x＞－1－2.

合并同类项，得

3x＞－3.

系数化为

1，得

x＞－1.

故选

C.4．(2014·日照)关于

x

的一元二次方程

x2＋2x＋k＋1＝0

的两个实数根

x1，x2

满足

x1＋x2－x1x2<－1，则

k的取值范围在数轴上表示为(

)解析：∵关于x

的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0有两个实数根，∴Δ≥0，即4－4(k＋1)≥0，k≤0.∵x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，∴－2－(k＋1)<－1，k>－2.∴不等式的解集为－2<k≤0，在数轴上表示为.故选D.答案：D位置5．(2013·台州)若实数

a，b，c

在数轴上对应点的，则下列不等式成立的是(

)A．ac>bcC．a＋c>b＋cB．ab>cbD．a＋b>c＋b解析：由数轴，可知

a＜b＜0＜c，A

中，在不等式

a＜b

两边都乘正数

c，由不等式的基本性质

2，知不等号方向不变，故

A

不成立；B

中，在不等式

a＜c

两边都乘负数

b，由不等式的基本性质3，知不等号方向改变，故

B成立；C

中，在不等式

a＜b

两边都加

c，由不等式的基本性质

1，知不等号方向不变，故C

不成立；D

中，在不等式

a＜c

的两边都加

b，由不等式的基本性质

1，知不等号方向不变，故

D

不成立．故选

B.答案：B7．(2014·乐山)若不等式ax－2＞0

的解集为x＜－2则关于

y

的方程

ay＋2＝0

的解为(

D

)A．y＝－1C．y＝－2B．y＝1D．y＝2解析：不等式

ax－2＞0

变形为－ax＜－2，∵解集是

x＜－2，∴－a＝1，即

a＝－1.把

a＝－1

代入

ay＋2＝0，可得－y＋2＝0，解得

y＝2.故选

D.8．与不等式－5

≤2x

x

10－1

的解集相同的不等式是(

D

)A．－2x≤－1C．－4x≥x－10B．－2x≤x－10D．－4x≤x－10解析：不等式两边同乘

10，得－4x≤x－10，∴－4x≤x－10

与－2x

x

－1的解集相同．5

≤10故选

D.9．已知

x＝3是不等式

mx＋2＜1－4m的一个解，如果

m

是整数，那么

m

的最大值是(

A

)A．－1

B．0

C．1

D．－2解析：把x＝3

代入不等式，可得

3m＋2＜1－4m17解得

m＜－1

小于－的最大整数为－1，∴m

的最大值7.为－1.故选

A.10．(2014·

)图为歌神

KTV

的两种计费方案说明．若晓莉和朋友们打算在此KTV

的一间包厢里连续欢唱

6

小时，经服务生试算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人在同一间包厢里欢唱？()歌神KTV包厢计费方案：包厢每间每小时900元，每人须另付入场费99元人数计费方案：每人欢唱3小时540元，接着续唱每人每小时80元A．6

B．7

C．8

D．9解析：设晓莉和朋友共有

x

人，根据题意，可得7681900×6＋99x＜540x＋3×x×80，解得

x＞633，∴至少有

8

人．故选

C.答案：C二、填空题(每小题4

分，共32

分)11．(2014·永州)不等式

x＋3

<

－1

的解集是

x<－4.12．当实数

a＜0

时，6＋a

＜

6－a(填“＜”或“＞”)．解析：∵a＜0，∴－a＞0，∴a＜－a，∴6＋a＜6－a.13．(2014·金华)写出一个解为

x≥1的一元一次不等式

2x≥2(答案不唯一)

.解析：根据不等式的基本性质将上述不等式变形即可，如不等式两边都乘2可得2x≥2.14．不等式

2x＋9≥3(x＋2)的正整数解是

1,2,3

.解析：去括号，得2x＋9≥3x＋6.移项、合并同类项，得x≤3.∴不等式的正整数解是1,2,3.15．(2013·安顺)若关于x

的不等式(1－a)x>2

可化1－a

2

为

x<

，则

a

的取值范围是

a＞1

.解析：由不等式的性质，得1－a＜0，∴a＞1.16．(2014· )铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过

160

cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为

30cm，长与宽的比为

3∶2，则该行李箱的长的最大值为

78

cm.解析：设行李箱的长为

3xcm，宽为

2xcm，根据题意，可得

3x＋2x＋30≤160，解得

x≤26，∴3x≤78，故行李箱长的最大值为

78

cm.17．(2013·厦门)某采石场时，点燃导火线的甲工人要在前转移到400

米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40

米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01

米/秒，步行的速度为1

米/秒，骑车的速度为4

米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于米．40解析：设导火线的长为

x

米，根据题意，得

1

＋400－40

x

4

＜0.01

，解得x

＞1.3.∴导火线的长要大于1.3

米．答案：1.318．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是a△b＝2a－b.已知不等式

x△k≥1

的解集在数轴上如图表示，则

k

的值是

－3

.解析：根据题意，得2x－k≥1，解得

x≥k＋12.由数轴可知不等式的解集是x≥－1，∴k＋12＝－1，解得k＝－3.三、解答题(共28

分)19．(每小题3

分，共6

分)(1)解不等式4(x－1)＋3≥3x，并把解集在数轴上表示出来．解：去括号，得4x－4＋3≥3x.移项，得4x－3x≥4－3.整理，得x≥1.故不等式的解集为x≥1.用数轴表示解集为：(2)(2014·镇江)解不等式：2＋2x－13≤x，并将它的解集在数轴上表示出来．解：去分母，得

6＋2x－1≤3x.解得

x≥5.它的解集在数轴上可表示为20．(10

分)(2014·海南)解不等式x－2≤2

37－x，并求出它的正整数解．分析：本题考查不等式的特殊解的求法，首先解不等式求出不等式的解集，然后确定正整数解即可．解：去分母，得

3(x－2)≤2(7－x)．去括号，得

3x－6≤14－2x.移项、合并同类项，得5x≤20.系数化为

1，得

x≤4.所以它的正整数解为

1,2,3,4.点评：求不等式的特殊解，首先解不等式求出不等式的解集，然后在解集中找出符合条件的特殊解．21．(12

分)(2014·德州)目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推