高等数学d123幂级数课件

第三节一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数第十二章第三节一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项无穷级数

，简称（函数项）级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域

;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收

为其发散点,发散点的全体称为其发散域

.一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项无穷级数在收敛域上,对应于任意x，函数项级数成为一收敛的常数项级数，有一确定的和称它为级数的和函数

,并写成若用令余项则在收敛域上有：表示函数项级数前n

项的和,即是

x

的函数，在收敛域上,对应于任意x，函数项级数成为一例如,

等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,

级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数

.即是此种情形.其收敛域与发散域,即称常数乘幂函数二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数收敛发散定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x

，幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散

.时该幂级数发散,则对满足不等式发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)若幂级数则对满足不证:

设x0，是幂级数的收敛点，即收敛,则必有于是存在常数M>0,使则有级数一般项的绝对值：当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,证:设x0，是幂级数的收敛点，即收敛,则必有于是存在常数反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.

时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R

表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=+

时,幂级数在(－R,R)收敛;在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在发散发散收敛收敛发散幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出推论：

若幂级数也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数R存在

，使得：(-R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，(-R,R)称为收敛区间.推论：若幂级数也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定定理2.

若的系数满足证:考察幂级数各项取绝对值所成的级数，这级数相邻两项之比：1)若≠0,则根据比值审敛法可知:1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝+∞时,则这幂级数的收敛半径：定理2.若的系数满足证:考察幂级数各项取绝对值所成的级数，2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级数发对任意

x原级数因此散,因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径当原级数发散.即时,当原级数收敛;即时,2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除对端点

x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

级数为交错级数对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=例2.

求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2例3.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理例4.的收敛域.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即例4.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数三、幂级数的运算定理3.

设幂级数及的收敛半径分别为令则有下列四则运算:其中以上结论可用部分和的极限证明.三、幂级数的运算定理3.设幂级数及的收敛半径分别为令则有说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是例如,

设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是例如,设性质1

若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续.性质2：幂级数的和函数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:

逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.多次用上次结论，则幂级数的和函数在其收敛区间（-R,R）内具有任意阶导数.性质1若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续.性质2：解:

由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得的和函数.因此得设解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得例6.

的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,例6.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±例7.

求级数的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,x=1时级数发散,例7.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,因此由和函数的连续性得:而x=0时级数收敛于1,及因此由和函数的连续性得:而x=0时级数收敛于1,及例8.解:

设则例8.解:设则而故而故内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.例3例4内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.例63.求和函数的常用方法—利用幂级数的性质例72)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间P2811(5),(7),(8)2(1),(3)作业P2811(5),(7),(8)作业思考与练习1.

已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为思考与练习1.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少2.

在幂级数中,n

为奇数n

为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:

不能.

因为当时级数收敛,时级数发散,说明:

可以证明比值判别法成立根值判别法成立2.在幂级数中,n为奇数n为偶数能否确定它的收敛半径不阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的备用题

求极限其中解:

令作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则备用题求极限其中解:令作幂级数设其和为易知其收敛半径为第三节一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数第十二章第三节一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项无穷级数

，简称（函数项）级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域

;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收

为其发散点,发散点的全体称为其发散域

.一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项无穷级数在收敛域上,对应于任意x，函数项级数成为一收敛的常数项级数，有一确定的和称它为级数的和函数

,并写成若用令余项则在收敛域上有：表示函数项级数前n

项的和,即是

x

的函数，在收敛域上,对应于任意x，函数项级数成为一例如,

等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,

级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数

.即是此种情形.其收敛域与发散域,即称常数乘幂函数二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数收敛发散定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x

，幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散

.时该幂级数发散,则对满足不等式发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)若幂级数则对满足不证:

设x0，是幂级数的收敛点，即收敛,则必有于是存在常数M>0,使则有级数一般项的绝对值：当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,证:设x0，是幂级数的收敛点，即收敛,则必有于是存在常数反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.

时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R

表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=+

时,幂级数在(－R,R)收敛;在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在发散发散收敛收敛发散幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出推论：

若幂级数也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数R存在

，使得：(-R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，(-R,R)称为收敛区间.推论：若幂级数也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定定理2.

若的系数满足证:考察幂级数各项取绝对值所成的级数，这级数相邻两项之比：1)若≠0,则根据比值审敛法可知:1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝+∞时,则这幂级数的收敛半径：定理2.若的系数满足证:考察幂级数各项取绝对值所成的级数，2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级数发对任意

x原级数因此散,因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径当原级数发散.即时,当原级数收敛;即时,2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除对端点

x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

级数为交错级数对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=例2.

求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2例3.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理例4.的收敛域.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即例4.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数三、幂级数的运算定理3.

设幂级数及的收敛半径分别为令则有下列四则运算:其中以上结论可用部分和的极限证明.三、幂级数的运算定理3.设幂级数及的收敛半径分别为令则有说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是例如,

设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是例如,设性质1

若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续.性质2：幂级数的和函数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:

逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.多次用上次结论，则幂级数的和函数在其收敛区间（-R,R）内具有任意阶导数.性质1若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续.性质2：解:

由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得的和函数.因此得设解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得例6.

的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,例6.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±例7.

求级数的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,x=1时级数发散,例7.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,因此由和函数的连续性得:而x=0时级数收敛于1,及因此由和函数的连续性得:而x=0时级数收敛于1,及例8.解:

设则例8.解:设则而故而故内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.