微分几何彭家贵课后题答案x

习题一(P13)2.设a(t是向量值函数，证明:(1)(2)(1)(2)补充:常数当且仅当/a(t),a,(t0)a(t的方向不变当且仅当a(t)a(t)0。证明：a常数a(t),a(t)常数(t),a(t)a(t),a(t)a(t),(t)0a(t),a(t)0。注意到:a(t,0所以a(t的方向不变若单位向量e(t)单位向量e(t)a(t)——常向量:a(t)a(t)a(t)常向量。则e(t)0e(t)e(t)0。反之，设e(t为单位向量，若e(t)e(t)由e(t为单位向量从而所以e(t),e(t1e(t则e(t)//eo(t)),e(t0)e(t)e(t。)e(t)//e由e(t)e(ta(t的方向不变e(t)e12a(t)a(t)a(t(te(t)0e(t)常向量。)0a(t)a单位向量a(ta(te(t)常向量a(t)a(t)d(1)a(t)0))a(t)dta(t)(t)0。(ta(t的方向不变当且仅当一()a(t)a(t)0dt|a(t)a(t)a(t)a(t)0。定理r(平行于固定平面的充要条件是r(t),(r),r(t0。证明：〃〃：若r(t平行于固定平面，设n是平面的法向量，为一常向量。于是，r(t),n0r(t),n0,r(t),n0r(t),r(t共面(t)r(t),(r),rt)0。"":若r(t),r(t)),0r则r(t),(tr,(t共面。若r(t)r(t)0则r(t方向固定，从而平行于固定平面。若r(tr(t)0，则r(t)r(t)r(t)令n(t)r(t)r(t则Jn(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)(t)r(t)(t)r(t)(t)r(t)r(t)(t)n(t)，又n(t)n(t)0n(t)0n(t有固定的方向，又n(t)r(t)r(t平行于固定平面。3.证明性质与性质。性质（1）证明：设性质（1）证明：设V1X，x，3x)，2v(y,y,3y),3v(zi，z，3Z)，2v3v(w明，w)，yyyy2y,3,iy23Z2z3z3ziizz2ky1z3w12Sy3z2，2左二V](v2V3)1xiX2w3x2-yz>-y3ziJX2wiw23X2X3，X1Xx1x2wwwwww3233112wyiz2*z，xwX2W1i[X皆2X3w2，3XwiXiw3y2z]3Xyx3改]y2x，XMiz]，3-xyzx3y]iz-3xzxi3%]品y-xyx3气]y，-3X23xi?]2y，[i%秘z]3y崟呛izXW，[3zX1z2X]2y，1zX2z2xiy_x2y:2z，-XziX2z2V1，Vv23为xiy]"]1y2y，3yMy>X3为X1yVV3右vi（2）证明：设viV1V2XiYi左二XiX2X3X2y2%z]，iX3斗y气]2仅y气]z，[ixix2z以]1&]NX3z3-1毛]iz，2z，X23zx3y以砂），2Vy，2y），3V（z，2zz），4v（wi，w，w），则X11yi.1.Jkz1z2zw1w2w.2w3z3w233yiz2w2V2，3VV4)(2多z3w23w33w3iwiiwiz2w2丫1，丫2，%ziw3，YX2Y2z3wi：X】Yi)间xizw12z2%X3Y3y)(3zziw3邛3yW2电zyiwix3z3xizy叫-Xw2-(1Xy1ziwix2土攻w2X3为钟3-(ixy_ziW1X2为(移1X2攻X3Xiziy2W2yiwixz」%3z3y2切铲3yiz1X3w3X1z1y3w3)2zX2y3如w2X3*z3w3)2w2为气)(iwiy2w2y3w3)w3*2w2xzyiwix3气xiziy3w3xizywyiwix2z」iV，3VV24VV1，4/V2V3z3y2z2X3w3yiziX3w31w1x2w2X3w3)(1纽右xiwi夔3xiwiy2切yizix性」y2z2y3勺)（3）证明：设Vi（x，2x，3x），2v（y，2y，3y），3v（z，2，3），，贝U1x1y1X1x2yV3，必V1V2.jkx2x3x2y2x3z1(xyx3为)(Z2y*z2耳V3，1Vv22Z(x1】同理，x3y311x3y3x1yix1x2y1y2.1.jkzZZzZ1Z2Zc七3Z23J1Z2x1x2XiJx2x3x3x1x1x2丫1，丫2，为Z2x，V，1Vv2(2ZZ3x2)(Z2yyq耳Y1V2y(2籍z3Z3xV12y(*斗Z1)，3VZ1电yM)3Z1x2Z2气y2Y23y(1x2x111zxx1z2y"3Z2斗)y1xzZ1v1，x1(2yz(Z2y1y1Z1yzjyZ2ykyZ3如，y2Z2y3z3yy1Z3Z1%ziy2z2所以，性质证明：（i）V1，yy3z)%1z2耳y3Z1V32x(3z%1z3x1土4)*x1Z1)yzZ3f(，xZ，3Zy12x2Z2x33x(1Z2yZ)(Z冬x1处％V2，3V1V.1.jkxyzfffxyzf，_l)yzy2fxxzf22f证明:(2)(0,0,0)0.4.设O；(2)(1)证明:yzyxzx是正交标架，是12)，e⑶是正交标架；与。；e,e,e(1)(2)j时，(i)(j)xzzyO；e,e,e3⑶当1j时,2,3的一个置换，证明:e，§，eR2-定向相同当且仅当e(i),ej)0；O；e(1),所以(i)(j)(2)证明:A)当O；ei)，e(3)(12)⑴2,(i是正交标架。(2)1,(3)0.是一个偶置换。e,(1)<2),ee1,2e,3e01010000101000(3)e2,ee01,det011；B)当(13)(1)3,(2)2,(3)1e,e,e001001(1)(2)(3)e3,2e,1ee1,2e,3e010,det0101；100101C)当(23)(2)3,(3)2,(1)1e,e(2)e1,3e,e2e1,e2,3eD)/、/，此时,(12)(12)E)(123)(12)(13)O；e(1),e⑵(2)⑴2,,e,e(2)(3)e2,3e,1eF)(132)(13)(12)⑴3,,e,e(1)(2)(3)e3,00100001,det0011;10010,e⑶O;e1,e2,e；3,(3)1,0100100,det1001;100102,(2)1,1000101,det1001.00010100(3)0定向相同当且仅当个偶置换。1001旦是所以，O;e,12ee与3o；e,(1)e,e(3)习题二（P28）1.求下列曲线的孤长与曲率:(1)yax2解：r(x)(x,ax)r(x)(1,2ax)(x)x(t)dt.,14a2t2dtatainsec，则4a2t2dt=1sec32aI@sec3tan2tandtansecsecdtansec1sec3dsecdsecdI[tan2secinsec(secsectan|]CI4^2Casec)d所以，2a4a2t3secdl(x)xr2.设曲线r(t)证明：r(t)dt(t)x(tdt1~4atdt(x(t),,诩明它的曲率为)y(t)(t)y(t)(x(t2a/2t2V14a22ln14at124aIn23(y2)一22),yft()t)(x(t),(t))r(t(t),y(t))dtt(s)drdsr(tA(x(t),ydt))dsdtdsn(s)(y(t),xjt:))dst&(s)d2rddtr(t)dt2d2tr(_ds2dsdsdsds2t&(s)(s)n(s)dt2d2tdtr(t)r(t)(S)(y(t),x(•」))dsds2dtdsx(t)dt91x(t(s)y尊dsds2y(t)dt2y(t)呈(s)xdt(t一)dsds2ds2x(t)dt(t』2ty(t)dtV(t，2t(s)^t-ds2——^t-ds2y(t)x(t)ds(x(3.设曲线C在极坐标下的表示为rf()，证明曲线C的曲率表达式为(y2)dtX2坐f2()df2f(d)f()x(t)(ty_dtds22x(t)y(dt)dsx(t)y(tx)(t)y(t)(y2))(s)ds由—dt)dt2—dsr(t)(|x2)~(y2)x(t)y(tx)(t)y(t，即(y2)(x2-2(t)y(tx)(t)y(t)x(t)3(y2)(x2)一2dsddf2()3d22证明：xrcosf()cos,yrsinf()sinr()(f()cos,f)sin)r()(f()cosf()sin,f()sinf()cos)r()(f()cosf()sin,f()sinf()cos)所以，()cos2f()cos()sin()sinf()cosf()sin()sinf()cos2f()cosf()sin)xf()cos2f()sin所以，()cos2f()cos()sin()sinf()cosf()sin()sinf()cos2f()cosf()sin)f()cosf()sinf2()2f()sinf()cos2f()f(f()sinf()cos)f()2f()cos2f()sinf()sinf()cos(y2)(x2)f()cos2()2sinf()sinf()cosx(()——f2(y()df2_df2()_df

df(d2)fd922a()(,产tatValn，_)(0)tta区a(t)(a,\,a),r(t)(0,一ttijkr(t)r(t)&EHatt20龙at22at3(t)r(t)[2a44a42a44.求下列曲线的曲率与挠率:rt4解：r(4)r栏t6、•2a2t42t202t6a—)；t2a21t4'所以，(tt4t2(t)(t2a22a2足(t)t4r(tOt2t2,2a2

t22t2t4,2a2

t4t212,2at2)，(0,t36a)t4t4a3一t2t6r,r,r(t)r(t)r(t)222a3t6.2a2t2t4at2125.证明:E3的正则曲线r(t的曲率与挠率分别为(t(t)r，r2，rdr证明：ds&&dt()&()()dtdstsrsrtdsr(t)dt2d2t2dsds2&33rdrdtr(t)r(t)dtds(t)dtd2td3t根据弗雷内特标架运动方程Idtdsnbdsds2ds3得：&t(s)(s)n(s)n(s)&(st(s)b(s)t(s)n(s)t(s(s)&t(s)1(s)dtr(t)ds(t2)dtdsds21(s)dtds(t)r(t)dt(s)ds,3dts)—ds(t)r(t)(t)r(t)r(t)(r)

ds3(t)r(t)r(t)dt&&&&t(s)由&)&n(s=t(s)&(s)n(s)(s)n(s)t(s)(s)n(s)(s)t(s)(s)b(s)&(s)n(s)(s)(s)t(s)(2(s)t(s)(s)(s)b(&(s)n(s)s)b(s)s)t(s),b(s)(s)(s)因为r(t)dtt(s),b(s)dsdtd2t3r(t),Ldsdsr(t土3ds(s)dsr(t)r(t)dt(s)ds所以，(s)(s)—r(s)dsr,r,rdt6(s)=一22(s)ds6.证明：曲线(1s-2r(s)31s1)以s为孤长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet标架。证明1)r(s)所以，&t(s)r(s)(s)(s)n(s)b(s)(1s1)(1s)21(is1)(1s)(1s)11(1421）该曲线以%孤长参数。(1s)2(1s)2,0(1s(1s)1(1~~s)1116168(1s2)1)&t(s)(s)t(s)n(s)122(1s)(1s),2(1s)(1s),012(1s)(1s)2_广s)(1s)2,2(113s13ss)(1s)2_1(1s)^1「2_12(1s)(1s)201,4(1s2)2111b(s)七2(1s)(1S),2(1s)(1S),4(1S2)2得'sn(s),b(s)1_3s,1_3s,0,2(1.1s\1s―1^.、/(1s)(1sW.1s■.1s1ukr'2(13s)(1s2)2'2(13s)(1所以，(s)1__—,(1s1)；8(1s)所求Frenet标架是r(s)；t(

s)(1s)12?~2(1s)(1s21,4(1s2)；.-2(1s)(1sT1__1s2)222(1s2)2_1(s)2一2(1s2)2,(1so1)),n(s),其中(s)TOC\o"1-5"\h\z,、(1s)2(1s)211nt(s),,_(1s1),22、、2n(s)2(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,0(1s),—_1_j_1b(s)「2(1s)(1sC2(1sK)2,4(1s2)2(1s。1)1or(t是E3中的正则曲线。求10.设T(X)XTP是E3中的一个合同变换，detTrTor1or(t是E3中的正则曲线。求t％c解：(1)S(t)t％c解：(1)S(t)r%()d0d(Tor)td0d(rTp)ttdr()Tdr00dd0)dS(t)可见，r%T。丁与曲线r除相差一个常数外，有相同的孤长参数。(2)%(t%(2)%(t%%r(t)r(t)r(t)TK')t%33'r(t)'r(t)Tsgn(detT)r(t)r(t)Tr(t)r(t)3r(t)3r(t)(t)可见，rTor与曲线有相同的曲率。(3)r%,r%,r%rT,rT,rTrtrTrT(t)%%2|2r(t)r(t)2(3)r(t)r(t)-r(t)Tr(t)TrT,sgn(detT)(rr)Tr(t)r(trT,sgn(detT)(rr)Tr(t)r(t2sgn(detT)rT，(r)T.2r(t)r(t)sgn(detT)rT,sgn(detT)(rr)Tr(t)r(t2)sgn(detT)r,(rr)(t)r(t)sgn(detT)r,rr2r(t)r(t)rTorrr2r(t)r(t)(t)可见，%与曲线r的曲率相差一个符号。13.(1)求曲率(s)a(s是孤长参数)的平面曲线r(s。a2s2解：设所求平面曲线r(s)x(s),y(啮为s是孤长参数，所以可设x-d—

dsx(s)r(s)1|(s)cos,x2x可设x-d—

dsx(s)r(s)1|(s)cos,x2x(s)(s)sin(s)asQss)cos(arcta£,xascos(arctan)ds2y(s)1由曲率的定义——a—2dsa2s(s)sin(arctansdsarctan_adsstan2(arctan)dsdsaln(s,,"a2~s2s2a2s2a2sy(s)sin(arctan)dscos2(arctar)2dssec(arctanssec(arctansds一)2asdstan(arctan-)asds..a2s2,a2s2所以，所求平面曲线r(s)20.证明：曲线,、,r(t)(t,与aln(sint,s七a2s2),a2s2)。与曲线r%t、2cosi3,tsint)()(2cos,2sinl，t)是合同的。证明：1)对曲线%%%rr作参数变换t2u则r(2cosu,2sinu,2u)。可知%iiC是圆柱螺线(a2,b2)，它的曲率和挠率分别为％、,%；。因此，只要证明曲线C:rr(的曲率挠率41，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。2)下面计算曲线C的曲率与挠率。由r(t)(1捉cost,2sint妒cost)|r(t)2疗，进而r(t)(3sint,2cost,sint)r(t)r(t)(2.3cost2,4sin12,.、32cost)2(1、3cost,2sint,3cost)r(t)r(DR421。4vvvvr(t)(-.』3cost,2sin七cost)r(t),r(t),r(t)21.证明：定理定理设(s)0是连续可微函数，则(1)存在平面E2的曲线r(s)它以s为弧长参数，(s)为曲率;(2)上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。证明：先证明(1)，为此考虑下面的一阶微分方程组drdse1(s)(1.1)些ds(s)危(s)de2ds(s)q(s)给定初值i0‘e0,e，其中e10,20是E2中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及s0(a,b)则由微分方程组理论得，(1.1有唯一一组解r(s)dse1(s)(1.1)些ds(s)危(s)de2ds(s)q(s)r(s)1(s),2e(s)ssr0;料也。o若r(为所求曲线，则e1(s)，2e(s)必是它的Frenet标架。因此，我们首先证明e1(s),2(s)s(a,b)均是与自然定向相同的正交标架。其中将微分方程组(1.1)改写成(1.2)dei

ds2aij1ej(s),其中将微分方程组(1.1)改写成(1.2)dei

ds2aij1ej(s),i1,2ij220(s)(s)0是一个反对称矩阵，即ji(1.3)对(1.3求导，并利用ijgij(s)(1.2有:0i,j1,2.令ei(s),je(s)(gij)i,j1,2.1(1.4)凡1(1.4)凡ij(s)dei(s),je(s)dsdsd%(s),j(s)dsIdei(s),ej(s)dsek(s),jes)ei(s),ak1jke<(s)2a,、es)2a(s),ke(s)ikek(s),jk1jkk1ei2aikek(s),jk12es)2ajkk1ek(s)(s)aikg.j(s)^k1fkgki(s)•i,j1,2.2是微分方程组(1.5)(1.4)表明gj(s)i(1.4)表明gj(s)i,j,2(1.5)2凡(s)dsaikkj(s)ajkkki(s)i,j1,2.的解。1,i定义ijj；i.j.1,2.则ddsij0,i,j1,2.且aikkjajkki所以dsijaikkj(a1(a2kk1k2k1ajkki,a1ka2ka1k)k1)ak22211a11a220,i0,ikJa12k土j1,2.1成.微分方程组(1.5的解。注意到：gj0i,j1,2iji,满足初始条件gij(0s)j，1,所以gij(s)a21a0,i1,120,i2,j1ij是微分方程组(1.5)iji,j的唯一解。从而|gij(所以，e(s),2e(s)s)ijIj1,2.b)均是正交标架。由于F(s)e1(s),2e(s),1e(s)e2(s)s(a,b)是关于s的连续函数，且)e1(0),2e(s),1e(s)e2(s)=1知,F(s)e1(s),2e(s),1e(s)e2(s)=，1s(a,b)o可见，e1(s),e(s)(a,b)均是与自然定向相同的正交标架。于是由微分方程组(1.1)有:drdse1(s)二，1这表明s为弧长参数。从而^!由dse1(s)推出t(s)e1(s)是de1单位切向量。由ds(s)e(s)推出de1(s)W&t(s是曲线r(的曲率，从而由de11&1dq,即"ds(s)2(s)推出由n(s)(s)t(s)(s)~dse2(s)e2(s)是单位正法向量。可见，微分方程组(1.1)的满足初始条件：r(s)1;(s),2e(s)s|sr。;1e,2e0唯一一组r(s);1e(s),2e(s)的确表明：存在平面E2的曲线r(s)它以s为弧长参数，(s)为曲率，当(s)是连续可微函数时。再证明(2)：设r1(s)与r2⑴是平面E2中两条以s为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间(a,b上，1(s)(s)0s(a,b)则存在刚体运动t(x)xt把曲线r(s变为r(s)，即rt。以。证明开始：设0(a,b)考虑两条曲线在s0处的Frenet标架r1(0);1t(0),1n(0)与r(0);2t(0),2n(0)。则存在平面E2中一个刚体运动丁把第二个标架变为第一个标架，即r与Tor在s0处的Frenet标架重合。因此我们只须证明当曲线以(s与r(s在s0处的Frenet标架重合时，r耳。曲线Frenet标架的标架运动方程为dr—t(s)(1.6)巴(s)n(s)dsdn——(s)t(s)dss0处重合就意味着这两组解在这是一个关于向量值函数r,t,n的常微分方程。曲线r2(s)的Frenet标架与s0处重合就意味着这两组解在Frenet标架都是微分方程组(1.6)的解。它们在s0的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到r2r1。定理证明完成。习题三(P68)2(1)r(u,v)a(uv),b(uv),4是什么曲面?xa(uv)解：yb(uv)x2y2yz马鞍面a2z习题三(P68)2(1)r(u,v)a(uv),b(uv),4是什么曲面?xa(uv)解：yb(uv)x2y2yz马鞍面a2z4uvy4.证明：曲面F(,)的切平面过原点。证明：无妨假定方程F(,)0确定一个zfx,的)隐函数，于是yF(■一xF1xxyF[(21fF(yfxF1f)10x1「1f]0fxfyyF】zFxF22F1F2y,f(x,ry0,1,fxF2F10,1,—F2y£^-xF2F1F2yF1zFp1xF2F2所以，P(x,y,处)的切平面为易见，yFzF(xxF2当(X,Y,Z)yFzF(012__易见，yFzF(xxF2当(X,Y,Z)yFzF(012__—xF2x)；(YF2(0,0,0)时，x)鸟(0F2y)z)0有：y)(0yFzFF2yF-1F2zFn2=0=^所以结论为真。6.证明：曲面S在p点的切平面TPS等于曲面上过P点的曲线在P点的切向量的全体。证明：设曲面S的参数方程为rr(u,v),(u,v)，P@r(用,v),(0u,v)D。令

(u(t),v(为参数区域D中过(u0,V)则的参数曲线，r(t)r(u(t),v为曲面上过P点的曲线。于是^Pru("V)(u(t),v(为参数区域D中过(u0,V)则的参数曲线，r(t)r(u(t),v为曲面上过P点这表明曲线出。可见过r(t)r(u(t),v(过))点的切向量drP点的切向量dtdrdtP都可由j(用，v)与r«，v)线性表p都在过P点的切平面上。另一方面，对于任意切向量从而Ga2b216u。22b(uv)，2a(uv)，,abEGF2)2a2b2]。8ab

0，m—。'EGF2a2b2，v)2a2(uv)a2b22wru(U，0v)从而Ga2b216u。22b(uv)，2a(uv)，,abEGF2)2a2b2]。8ab

0，m—。'EGF2a2b2，v)2a2(uv)a2b22这表明：在p点的切平面Tps中每一个向量都是过p点的某一曲线的位于p点的切向量。于是：曲面S在P点的切平面TPS等于曲面上过P点的曲线在P点的切向量的全体。25.求双曲抛物面r(u，v)a(uv)，b(uv)，4uv的Gauss曲率^平均曲率H，主曲率1，2和它们所对应的主方向・解：由r(a，b，4v)r(a，b，4u)Ea2b216v2，F2ab216uv，rurv22b(uv)，2a(uv)，ab，n其中EGF28[2b2(uv)2a2(u由ru0，rv(0，0，4)rv0ln于是Gauss曲率K:LNM264a2&KEGF2EGF22b2(u2平均曲率H:MF8ab(aMF8ab(a2b216uv)H^G_2―(EGF2)3/2ab(a2b216uv)2222224b(uv)4a(uv)2ab3/2因为M0，所以M2F2(LNM2F2(LNM2)(EGF2)2EGEGF22EGF22M."EG，EGF2所以主曲率i1:HlKM(FEG)EGF2ab愆b216uv)(a2b2~16u2)(a~b2~16v2)4b2(uv)24a2(uv)22a2W3/2对应的主方向为du:du:dv(1FM):1EL)(1FM)：：e,其中MFE^MEG—EGF2MF(F.")M(EGF2)TEGF^MEG(F-EG)_—E^TT—'矿所以du:dv\G:、E、a2b24u2■:2abMFE^MEG—EGF2同理，另一个主曲率.2H,~~KM(F一EG)EGF2ab愆b216uv)-■(ab216u2)(ab216v2)4b2(uv)4a2(uv)22械3,2对应的主方向为u:vG■/■Ea~Jb24u2:b24v2。注：设W:?STPS为外恩格尔登变换，则WrunuarubrvWrvnvcrudrvWrudurvdvduWracduru,,bddvurudvW，wrdu，wvrdvdurdurdvvrdurdvvr,ruuu，vdvacduduacduduu，vrru，vrbddvdvbddvdvacduduacdu0bddvdvbddv0LGMFMGNFEGF2EGF2du0MELFNEMFdv0EGF2EGF2(LGMF)(EGF2)MGNFdu0MELFNEMF(EGF2)dv0(LE)GF(MF)MGNFdu0MELF(NG)EF(MF)dv0WGFLEMFdu0FEMFNGdv01GFLEMFdu0EGF2FEMFNGdv0EiFLEMFdu0FGMFNGdv0ELFMdu0FMGNdv0du:dvFM:ELGN:FM0补充：定理(1)函数是主曲率的充要条件是（2）方向d=du:d是主方向的充要条件是EduFdvLduMdv(WW)。FduGdvMduNdv证明：（1）设du:d是对应的主方向，则有drdr，即nudupdvduurdv。分别用r,vr与上式两边作内积，得LduMdvEduFdvMduNdvFduGdv所以主方向du:d满足L)du)du由于du,dv不全为零可得向。)dvN)dv0,0.（2）在脐点，HF，NHG，在非脐点（E:（得到相应的主方向du:dvu:v(WW)FMGN20，L0MHH从而由II中的两个方程成为恒等式。此时，分别用（）duL)duFM(1FHI可知LHE，任何方向都是主方和1FM)dv(G0,)dk2代入(1GN):1(F(2FM):2EL)(2G