空间向量与立体几何

2020-2021学年选修2-1《第3章空间向量与立体几何》一.选择题（共21小题）1.已知点A（-3,1,-4）,则点A关于％轴的对称点的坐标为（ ）A.(-3A.(-3,-1,4)B.(-3,-1,-4)C.(3,1,4)D.(3-1,-4)【分析】根据在空间直角坐标系中关于％轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，写出点A关于％轴对称的点的坐标.【解答】解：•・【分析】根据在空间直角坐标系中关于％轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，写出点A关于％轴对称的点的坐标.【解答】解：•・•在空间直角坐标系中关于％轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，•・•点A(-3,1,-4),・•・关于％轴对称的点的坐标是（-3,-1,4）,【点评】本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题.2.如图：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1G与B1D1的交点.若AB=；3,AE二h【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM.A/二口则下列向量中与相等的向量是（ ）【解答】解：：丽二面可+彳第1页共【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM.A/二口则下列向量中与相等的向量是（ ）【解答】解：：丽二面可+彳第1页共24页故选：A.【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决.3.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若匚A=；a,CB=b,?3=c，则£^g=( )■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ pA.a+b-c B.a-b+c C.-a+l>+c D.-a+b-c【分析】将向量不分解成审+标，然后将利用相等向量和向量的三角形法则将不L与标化成用士良日表示即可.标化成用士良日表示即可.【解答】解：A］B=%A+AB=-匚匚］+匚--CA故选：D.Ci故选：D.Ci【点评】本题主要考查了空间向量的加减法，解题的关键是利用向量的三角形法则，属于基础题.4.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是线段AB上一点，且［些］=［，则C点的坐|AB|3标为()【分析】利用向量的线性运算即可得出.标为()【分析】利用向量的线性运算即可得出.第2页共24页故选：C故选：C.【点评】熟练掌握向量的线性运算是解题的关键.5.已知名=(2,-1,5.已知名=(2,-1,3),b=(-1,4-2),c=(7,5人），若占、不、三三向量共面，则实数人等于（ ）【分析】由已知中方=（2,-1,3）,b=（-1,4,-2）,c=（7,5,人），若&、c三向量共面，我们可以用向量白、b作基底表示向量g进而构造关于人的方程，解方程即可求出实数人的值.【解答】解：:己=(2,-1,3),b=(-1,4,-2)日与b不平行，又•・•占、石、又三向量共面，则存在实数X,y使c=X3+yb2X-Y=7-X+4Y=5l3X-2Y=X.解得入耆【点评】本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理，其中根据三、3、工三向量共面，。与b不共线，则可用向量方、M乍基底表示向量c,造关于人的方程，是解答本题的关键..已知04=(1,2,3),0B=(2,1,2),0P=(1,1,2),点Q在直线OP上运动，第3页共24页

则当QA・QE取得最小值时，点则当QA・QE取得最小值时，点Q的坐标为（ ）【分析】可先设Q（x,y,z），由点Q在直线OP上可得Q（入，入，2人），则由向量的数量积的坐标表示可得必喝巳=2（3入2-8人+5）,根据二次函数的性质可求，取得最小值时的人，进而可求Q【解答】解：设Q（x，y,z）由点Q在直线OP上可得存在实数人使得面二%而，则有Q（入，入，2人）QA二（1一人，2—八，3-2 QB=（2—入，1一人，2-2囚）当皿您=（1-入）（2-入）+（2-入）（1-入）+（3-2入）（2-2人）=2（3入2-8人+5）4 2根据二次函数的性质可得当入养■时，取得最小值4■此时Q故选：C.【点评】本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数人使得其二人而，进而有Q（入，入，2人），然后转化为关于人的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用..已知A（2,-5,1）,B（2,-2,4）,C（1,-4,1）,则向量处与AC的夹角为（ ）A.30° B.45° C.60° D.90°【分析】由题意可得：丽二S,$3）,标二（-1,1,Q）,进而得到薪,应与I标I,II正I,再由cos＜瓦，晟＞=:黑^7可得答案.|ab||ac|【解答】解：因为A（2,-5,1）,B（2,-2,4）,C（1,-4,1）,所以屈二（Q,3,3）,应二（-1,1,0）,所以ABYC—0X(-1)+3X1+3X0=3,并且1研1=312,|AC|=;'2,所以cos所以cos<A5,AC>=|屈I|前|3•巧乂-巧一2,二屈与正的夹角为60°第4页共24页

故选：c【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题.若向量Z=（1,入，2）,b=（2,-1,2）.&b夹角的余弦值是，则人的值为（ ）A.2 B.-2 C.-3 D.3【分析】设向量片，石的夹角为①可得cose=匕==提解这个关于人的方程即可.【解答】解：设向量=，石的夹角为e,则U•・•向量己=（1,入，2）,b=（2,-1,2）,..…… 2—I =6f薯J1+人氏4“4+[+43V5+-29解得人=-2,故选：B.【点评】本题考查空间向量的夹角与距离公式，属基础题..已知看二（九+L0，2）,二⑹2N—L2人），若;3〃E,则人与的值可以是（ ）A.2,-i-B.-y,-i-C.-3,2D.2,2【分析】直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出入与的值即可.解得人=2或入=-3.【解答】解：因为=（%+1,0,2）,b=（6,2^-1,2九），鼻〃石，所以解得人=2或入=-3.所以人与的值可以是：2,故选：A.【点评】本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力..与向量占=（1,-3,2）平行的一个向量的坐标是（ ）A.（去1,1） B.（-1,-3,2）C.（-"^,弓，-1） D.（\：2,-3,-2V2）第5页共24页

【分析】利用向量共线定理即可判断出.1 3 1 1K【解答】解：对于C中的向量：(-亍豆"，-1)=-可"(，-3，2)=-亍和因此与向量W=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是(,，,，-1).故选：C.【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题..已知E,F,G,H是空间四点，命题甲：E,F,G,H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】利用公理2可知四点不共面，则由它们确定的直线一定不相交，通过条件的判断，可知甲是乙的充分不必要条件.【解答】解：：E,F,G,H是空间四点且不共面・•・直线EF和GH不相交.♦.甲乙若直线EF和GH不相交，则它们可能平行，E,F,G,H四点共面，.♦•乙推不出甲故甲是乙成立的充分不必要条件故选：A.【点评】本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系，同时考查了必要条件，充分条件与冲要条件的判断，基本的定理和定义是解决问题的通法，是个基础题..已知四=(2,2,1),AC=(4,5,3),则下列向量中是平面ABC的法向量的是(A.A.(1,2,-6) B.(-2,1,1)C.(1,-2,2)D.(4,-2,1)—F- n千lS|P|二【分析】设平面ABC的法向量是口=(%,y,z)，则一一—，即可得出.J2耳■二二Q

]J2耳■二二Q

]4x+5yH-3z=0【解答】解：设平面ABC的法向量是门=(%,y,z),取％=1,解得y=-2,z=2.□=(1,-2,2).故选：C.【点评】本题考查了向量数量积运算性质、线面垂直的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.第6页共24页13.设yGR，则点P(1,»2)的集合为( )A.垂直于10z平面的一条直线B.平行于10z平面的一条直线；C.垂直于y轴的一个平面D.平行于y轴的一个平面【分析】由题意及空间几何坐标系的坐标的意义，点P(1,y,2)的集合表示横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由此结合四个选项可以选出正确选项【解答】解：点P(1，y，2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P(1，y，2)的集合为垂直于10z平面的一条直线故选：A.【点评】本题考查空间直线的向量参数方程，求解本题的关键是理解空间坐标的意义，配合空间想像得出点的集合是一条直线.14.下列各组向量中不平行的是( )a=(l,2,-2),b=(-2,-4,4)c=ClJ口，口),d=(~3,0,0)e=C2,3,0),"(0,0,g=(-2,3m5),h=(16,24,40)【分析】判断两向量片，可共线，利用共线向量定理，只需找到一个实数入，使得』=谷,另外零向量与任意向量平行，于是可得本题答案.【解答】解：选项A中，己二选项B中有：d=-3c=>d,G，选项C中零向量与任意向量平行，选项。，事实上不存在任何一个实数入，使得最入1T即：(16,24,40)=入(16,24,40).故选：D.【点评】本题考查空间向量的概念，向量共线定理的应用.15.如图，平面a，平面0,an0=直线l,A,C是a内不同的两点，B,D是0内不同的第7页共24页

两点，且A,B,C,D直线l,M,N分别是线段AB,CD的中点.下列判断正确的是( )A.当ICDl=2ABI时，M,N两点不可能重合B.M，N两点可能重合，但此时直线AC与直线l不可能相交C.当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D.当AB,CD是异面直线时，MN可能与l平行【分析】由位置关系判断就可，本题宜用直接法来进行判断，B项正确易证【解答】解：对于A选项，当ICDI=2IAB时，若A,B,C,D四点共面AC〃BD时，则M,N两点能重合.故A不对对于B选项，若M,N两点可能重合，则AC〃BD,故AC〃1，此时直线AC与直线l不可能相交，故B对对于C选项，当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l平行，故C不对对于D选项，当AB,CD是异面直线时，MN不可能与l平行，故选：B.【点评】考查图形的观察能力与运用相关知识证明判断的能力.16.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D方法求解直线与平面所成的夹角.第8页共24页

【解答】解：以。点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为％轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）ABC^=（-2,0，1），AC=（-2，2，0），AC且为平面BB1D1D的一个法向量.，C0S（所47b=等ABC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为二故选：D.【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题..在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（ ）A.AC B.BD C.A1D1 D.A1A【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出向量近的坐标，以及正、丽、耳的坐标，可以发现而♦而=0，因此，而，丽，即CE±BD.【解答】解：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为l，y，z轴建空间直角坐标系,设正方体棱长为1，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，D（0，1，0），A1（0，0，1），E卷,i1），ACE=（2,2,1），AC=（1，1,0）,BD=（-1,1,0）,%口=（0,1,-1）,%A=（0,0,-1）,显然CE・BD=1---i-+0=0,ACE±BD,即CE±BD.故选：B.第9页共24页【点评】本题考查利用空间直角坐标系求向量的坐标，再利用2个向量的数量级等于0,证明两个向量垂直，属于中档题..若直线l的方向向量为小平面a的法向量为口，能使l〃a的是( )a=(1,0,0),n=(-2,0,0)a=(1,3,5),n=(1,0,1)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)3=(1,-1,3),n=(0,3,1)【分析】由题意l〃a，则4-i=0,分别计算A、B、C、D中』・W的值，判断正确选项.【解答】解：若l〃a，则［・，=0.而A中取n=-2,B中王n=1+5=6,■■■■C中己・ri=-1,只有D选项中方・n=-3+3=0.故选：D.【点评】本题考查向量语言表述线面的垂直、平行关系，是基础题.19.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，贝UCD与平面BDC1所成角的正弦值等于()【分析】设AB=1,则AA尸2,分别以口送「口/i、口1口的方向为％轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设n=(%,y,z)为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为仇第10页共24页则sine=l11・gJ在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可.|n||DC|【解答】解：设AB=1,则AA1=2,分别以时、市、币的方向为％轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D(0,0,2),C1(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),DB=(1,1,0),丐=(1,0,-2),DC=(1,0,0),厂~*1■设门=(%,y,z)为平面BDC1的一个法向量，贝Hr—H,即《 ，取口=(2,TOC\o"1-5"\h\z皿011-2,1),n-D「口设CD与平面BDC1所成角为e,则sine=l 1=刍|n||DC| 3故选：A.【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键..若』=(2,3),b=(-4,7),则之在己方向上的投影为( )A.•2 B.年 C.季 D.•市【分析】先求得两向量的数量积，再求得向量它的模，代入公式求解.【解答】解析：』在,方向上的投影为吊A立$=二=等.M V(-4)2+72 5故选：C.【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用..如图长方体中，AB=AD=213,CC1=,巧，则二面角C1-BD-C的大小为()第11页共24页DiA.30° B.45° C.60° D.90°【分析】取BD的中点E，连接C1E,CE，根据已知中AB=AD=2\：3,"1='*,我们易得△C1BD及4CBD均为等腰三角形，进而得到C1E±BD,CE±BD,则NC1EC即为二面角C1-BD-C的平面角，解△C1EC即可求也二面角C1-BD-C的大小.【解答】解：取BD的中点E，连接C1E,CE由已知中AB=AD=213,CC1=--；2,易得CB=CD=213,C1B=C1D=丁14根据等腰三角形三线合一的性质，我们易得C1E±BD,CE±BD则NC1EC即为二面角C1-BD-C的平面角在^C1EC中，C1E=2'；2,CC1=''2,CE='.;6故NC1EC=30°故二面角C1-BD-C的大小为30°故选：A.【点评】本题考查的知识点是二面角平面角及求法，其中根据三垂线定理找出二面角的平面角是解答本题的关键.二.填空题（共2小题）22.若2,等），-1,福），Ct-2,L春）是平面a内的三点，设平面a0 q a的法向量口二（:K,v,£）,则U%：y：z=2：3：（-4） .【分析】求出版、晟的坐标，由五•标=0,及五•正=0,用y表示出1和z的值，即得法向量的坐标之比.【解答】解：号（L-3,{I.届=（—乙,）f1•庙二。，二。，第12页共24页.丁 s，X二了；工普了二门(4必23；(-4)故答案为2：3：-4.【点评】本题考查平面的法向量的性质以及两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用.【分析】根据两条直线的方向向量平行，则两条直线平行，两条直线的方向向量垂直，两条直线也垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直，我们结合空间直线与直，直线与平面位置关系的判断方法，逐一分析已知中的四个命题，即可得到答案.I 匕1“匕2n且"b【解答】解：若一.,，则b，a,故①错误；巳1IIn^a±C£匕［#ri一一若一一则，弓n弓尸b,故②正确；匕L#n若成口，则b〃a，故③正确；巳］_L%斗1 若・什.，则匕2#n，又由bUa,故b，a,故④正确;第13页共24页故答案为：②③④【点评】本题考查的知识点是向量方法证明线、面位置关系，其中熟练掌握两条直线的方向向量的夹角与直线夹角的关系，直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面夹角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角之间的关系，是解答此类问题的关键.三.解答题(共6小题).如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB//CD,AC±BD，垂足为H,PH是四棱锥的高，E为AD中点(I)证明：PE±BC(II)若NAPB=ZADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.尸【分析】以H为原点，HA,HB,HP分别为1,y,z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系.(1)表示PK,BC,计算PE・BC二。，就证明PE±BC(2)NAPB=NADB=60°,求出C,P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量还，然后求应与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.【解答】解：以H为原点，HA,HB,HP分别为1,y,z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0),B(0,1,0)(I)设C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0)则口(。，g0),EC-j-,0).可得而二年，?F)，而二(皿,T,0).因为丽•祝吟事0二0所以PE±BC.第14页共24页

(II)由已知条件可得m=—,n=1,故C(-等，30)哼0),唱0)，P(0?0?1)设□=(设□=(%,y,z)为平面PEH的法向量则二二。即，n-HP=0,因此可以取,因此可以取法=(L•巧,0),由比二,由比二(1,0,-1)可得卜口£血，门所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为¥.4【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力..如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB±AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.第15页共24页

【分析】（1）以｛屈，正，而｝为单位正交基底建立空间直角坐标系A-孙z，利用向量法能求出异面直线A1B与gD所成角的余弦值.（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.【解答】解：（1）以｛靛，戢，而｝为单位正交基底建立空间直角坐标系A-%yz,C(0,2,0),则由题意知A(0,0,0),BC(0,2,0),A1A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4),A1B=(2,0,-4),匚1口=(1,-1,-4),18 _3<L020IS-10,・•・异面直线A1B与C1D所成角的余弦值娘者■.（2）AC=（0,2,0）是平面aba1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为常（,，V，£）,AD=(1,L0),码=3,2,4)id"AD=i+y=0,id"AD=i+y=0,in-AC1=2y+4z=O取z_1,得y_-2,%=2,・•・平面ADC1的法向量为常（2,-2,1）,设平面ADC1设平面ADC1与ABA1所成二面角为9,・•・平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为詈.第16页共24页a Cl【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用..如图，在四棱锥P-ABCD中，PD，平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB//DC,ZBCD=90°.(1)求证：PC±BC；(2)求点A到平面PBC的距离.P【分析】(1),要证明PC±BC,可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD，平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB/DC,ZBCD=90°,容易证明BC，平面PCD,从而得证；(2),有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE〃平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC，平面PCD,交线是PC,所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接4。，则三棱锥P-ACB与三棱锥A-PBC体积相等，而三棱锥P-ACB体积易求，三棱锥A-PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC第17页共24页的距离，设为h，则利用体积相等即求.【解答】解：（1）证明：因为PD，平面ABCD,BCu平面ABCD,所以PD±BC.由NBCD=90°,得CD±BC,又PDnDC=D,PD、DCu平面PCD,所以BC，平面PCD.因为PCu平面PCD,故PC±BC.（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则：易证DE//CB,DE〃平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等.又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.由（1）知：BC，平面PCD,所以平面PBC，平面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC,所以DF±PC,所以DF，平面PBC于F.易知DF=gL故点A到平面PBC的距离等于v'2.（方法二）等体积法：连接AC.设点A到平面PBC的距离为h.因为AB/DC,NBCD=90°,所以/ABC=90°.从而AB=2,BC=1,得4ABC的面积&ABC=1.由PD，平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积△诋叶D二I因为PD，平面ABCD,DCu平面ABCD，所以PD±DC.又PD=DC=，所以pc：,:'pd2+Dc2二.，2由PC±BC,BC=1,得4PBC的面积 及由VA-PBC=VP^ABC,可S/lPBC”二二于得h—二',故点A到平面PBC的距离等于，J'2【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力..如图1,在RtAABC中，/C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，

且DE/BC,DE=2,将4ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C±CD，如图2.（1）求证：A1C，平面BCDE；第18页共24页（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.C BC B图1 图工【分析】（1）证明A1C，平面BCDE，因为A1C±CD，只需证明A1C±DE，即证明DE，平面A1CD；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量n=（-1,2,•后），面=（-1，0，・三），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则aG[0,3]，求出平面A1DP法向量为由二（-3a,6,假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则目・三二。，可求得0WaW3,从而可得结论.【解答】（1）证明：•;CD±DE，A1D±DE，CDnA1D=D，・，・DE，平面A1CD，又；A1Cu平面A1CD，：.A1C±DE又A1C±CD，CDnDE=D：A1C，平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（-2,0，0），A1（0，0，2'.''3），B（0，3,0），E（-2，2，0）：A1B=（OJ3,-2，），A1E=（-2j2,-2巧）设平面A1BE法向量为法二（©v,e）第19页共24页

「——一 rvs则23©俨一村小.二人=。t-2x-F2y-2V32=0 上二一V，n二(T,2,；3)又：M(-1,0,'.',3),ACI=(-1,0,,'3)—而石4-21|a|-|n|-/H4+3-/1+32%22・•・CM与平面A1BE所成角的大小45°(3)解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为(0,a,0),则a00,引，不二(0,3,-2石)，而二⑵a,0)，门1二"3a,6,；3a)设平面A1DP法向量为，门1二"3a,6,；3a)假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则品•120,.•・3a+12+3a=0,6a=-12,a=-2V0<aW3，不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直Al(O^V3)节巨前E(-2^0)【点评】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会.28.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D为AB的中点.第20页共24页

(I)求证AC±BC1；(II)求证AC1〃平面CDB1；(III)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.【分析】解法一：(1)：利用勾股定理的逆定理判断出AC±BC,同时因为三棱柱为直三棱柱，从而证出.(2)：因为D为AB的中点，连接C1B和CB1交点为E，连接DE，：D是AB的中点，E是BC1的中点，根据三角形中位线定理得DE〃AC1,得到AC1〃平面CDB1；第三问：因为AC1#DE，所以NCED为AC1与B1C所成的角，求出此角即可.解法二：利用空间向量法.如图建立坐标系，(1)：证得向量点积为零即得垂直.(2)：3=Ab,=与5两个向量或者共线或者平行可得.第三问：【解答】证明：(I)直三棱柱ABC-A1B1c1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,・•.AC±BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,AAC±BC1；(II)设CB1与C1B的交点为E，连接DE,:D是AB的中点，E是BC1的中点，ADE〃AC1,•「DEu平面CDB1,AC1仁平面CDB1,AAC1〃平面CDB1；(m)VDE//AC1,ANCED为AC1与B1C所成的角，在^CED中，ED=^AC1=—,CD=—AB=—,CE=—CB1=2.2,12 2 2 2 1AcosNCED= ET=学^,A异面直线AC1与B1C所成角的余弦值42.•J第21页共24页解法二：•・•直三棱锥ABC-A1B1cl底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,CC1两两垂直.如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,3 ——- 4,4),D(士，2,0)(I)VACt=(