人教版九年级数学上册知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元，并且未知数的最高次数是（二次）方程，叫做一元二次方程。注意一下几点：2一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。降次——解一元二次方程配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直开平方。一般地，对于形如 x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得aax= ,x= .aa1 2直接开平方法适用于解形如x2=p(mx+a)2=p(m≠0)以利用直接开平方法。根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）把常数项移到等号的右边； ⑵方程两边都除以二次项系数；⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷若等右边为非负数，直接开平方求出方程的解。公式法知识点一公式法解一元二次方程一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个bb b 24ac2a

，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中的值，注意符号；③求出b2-4ac的值； ④若则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解若b2-4ac＜0，则方程无实数根。知识点二一元二次方程根的判别式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根的判别式△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；公式；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二用合适的方法解一元一次方程理论依据适用范围称直接开平平方根的意形如x2=p方法义≥0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解当ab=0，则a=0法或b=0成两个一次因式的积的一元二次方程。一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x

,xx+x=-p,xx=q.1 2 1 2 12b c若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x,x,则有

+x=， ,xx=1 222.3实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

1 2 a 12 a的等量关系。设：是指设元，也就是设出未知数。含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。解：就是解方程，求出未知数的值。验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。答：写出答案。知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。三个连续偶数（奇数：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.增长率问题设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x的等量关系为a（1x。利润问题利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识yax2bxc(abca0y叫做xyax2的性质yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.yax2的图像与a①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yaxa.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y二次函数yax2bxc 用配方法可化成：yaxh2k 的形式，其中h

b，k

4acb2.2a 4ayax2yax2kyaxh2；④yaxh2k；⑤yax2bxc.a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相.②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.a求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：

b2

4acb2

，∴顶点是

b 4acb

，对称轴是yax2

bxcax

（ ， ）直线xb.2a

2a 4a

2a 4a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxh2khk)，对称轴是直线xh.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.yax2bxcabc的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a（2）b和ayax2bxc的对称轴是直线xb

0时，对称轴为yb

0（即a、b同号）y轴2a aba

0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）cyax2bxcy当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点0，c：c0c0yc0y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b0.a几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0（y轴）（0,0）yax2kyaxh2yaxh2kyax2bxcx0（y轴）xh(0,k)(h,0)当a0时xh(h,k)开口向上xb2a(b 4acb2当a0时2a，4a)开口向下用待定系数法求二次函数的解析式yax2bxc.已知图像上三点或三对xy顶点式：yaxh2k交点式：已知图像与x轴的交点坐标x、1

，通常选用交点式：yaxx212

x.2直线与抛物线的交点yyax2bxc(0,c).与y轴平行的直线xhyax2bxchah2bhc).抛物线与x轴的交点yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标xx1 2方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.平行于x轴的直线与抛物线的交点同0122纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxckykx的图像lyax2bx0的图像G的交点，由方程组ykxnyax2bx

l与Gl与Gl与G没有交点.）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线 yax2bxc与x轴两交点为x0，B

0，由于x、

是方程ax2bxc0的两个根，故1 2 1 2xx b,xx cxxx24xx1 2 12 b2a4cab24acaaABx1

a 1 2 axxxx21 22

第二十三章旋转图形的旋转知识点一旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点二旋转的性质（）对应点到旋转中心的距离相等（））旋转前后的图形全等。理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度（2）的距离相等，对应线段相等，对应角相等（3）变，只改变了图形的位置。知识点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质（任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中转过一定角度（作旋转角）③截即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离得到各点的对应点； ④接即连接到所连接的各点。中心对称知识点一中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。知识点二作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。知识点三中心对称的性质有以下几点：平分；关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。知识点五关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点关于原点对称点为-x,-。第二十四章圆圆圆知识点一圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OAOAOOAO，半径为rOr点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。知识点二圆的相关概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。知识点一圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点二垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径C为CD，ABCD⊥AB，MA BAM=BM垂足为M AC=BCDAD=BD垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，CD⊥ABAM=BM AC=BCAD=BD注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。弧、弦、圆心角知识点弦、弧、圆心角的关系等，所对的弦也相等。们所对应的其余的各组量也相等。弦不一定相等。圆周角知识点一圆周角定理对的圆心角的一半。圆周角定理的推论：半圆（或直径）是直径。圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。知识点二圆内接四边形及其性质圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。点、直线、圆和圆的位置关系点和圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。r，点POP=d，则有：点P在圆外 d＞r；点p在圆上 d=r；点p在圆内 知识点二过已知点作圆经过一个点的圆（如点A）·O1A（如点O）为圆心，以OA·O1A ·O2·O3经过两点的圆（如点AB）AAB（如点O）为圆心，以OA（或OB）可，如图，这样的圆可以作无数个。AB经过三点的圆①经过在同一条直线上的三个点不能作圆AOABCABABAC或BCAC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点OOA（或AO③BBC知识点三三角形的外接圆与外心经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。直线和圆的位置关系知识点一直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。直线与圆的位置关系可以用数量关系表示若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：直线l和⊙O相交 d＜r； 直线l和⊙O相切 d=r； 直线l和相离 d＞r。知识点二切线的判定和性质切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。知识点三切线长定理点到圆的切线长。心的连线平分两条切线的夹角。是切点。知识点四三角形的内切圆和内心形叫做圆的外切三角形。三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。圆和圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：①如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；②如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；③如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：1 211 212两圆外离+r1 2两圆外切d=r+r1 2两圆相交r-r＜d＜r+r2 1 1 2两圆

r

r 内切 d=r-r2 1

两圆内含 -r2 1正多边形和圆知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n2）分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。知识点二正多边形的性质正n2n所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n经过正nnn图形，正n正n(n2180，中心角和外角相等，等于360。n n弧长和扇形面积知识点一弧长公式l=nR180在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=知识点二扇形面积公式

n ×2πR=nR。360 180在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为

nR2。扇形360比较扇形的弧长公式和面积公式发现：S=nR2

1R

1lR所以s

1lR扇形360 180 2 2 扇形 2知识点三圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆