空间向量及基本运算教学课件

空间向量及基本运算空间向量及基本运算一、平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表示法：用有向线段表示；

字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母表示．相等的向量：

长度相等且方向相同的向量．ABCD一、平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表⒉平面向量的加减法与数乘运算⑴向量的加法：aba+b平行四边形法则aba+b三角形法则⒉平面向量的加减法与数乘运算⑴向量的加法：aba+b平行四边⑵向量的减法aba-b三角形法则⑶向量的数乘aka（k>0）ka（k<0）⑵向量的减法aba-b三角形法则⑶向量的数乘aka（k>0）⒊平面向量的加法与数乘运算律加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

⒊平面向量的加法与数乘运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即二、空间向量及其加减与数乘运算⒈空间向量：空间中具有大小和方向的量叫做向量．⑴定义：⑵表示方法：①空间向量的表示方法和平面向量一样；③空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．②同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量；二、空间向量及其加减与数乘运算⒈空间向量：空间中具有大小和方⒉空间向量的加法、减法与数乘向量a+baaaaOPabABbCOa-

b⒉空间向量的加法、减法与数乘向量a+baaaaOPabA⒊空间向量加法与数乘向量运算律⑴加法交换律：a+b=b+a；⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；⑶数乘分配律：λ(a+b)

=λa+λb；abca+b+cabca+b+ca+bb+c⒊空间向量加法与数乘向量运算律⑴加法交换律：a+b=对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明⒈空间向量的运算就是平推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即平行六面体平行四边形ABCD平移向量a到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．A’B’C’D’ABCDa平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．平行六面体平行四边形ABCD平移向量a到A’B’C’ABCDA’B’C’D’例1ABCDA’B’C’D’例1解：ABCDA’B’C’D’始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量解：ABCDA’B’C’D’始点相同的三个不共面向量之和，等⑶设M是线段CC’的中点，则解：ABCDA’B’C’D’M⑶设M是线段CC’的中点，则解：ABCDA’B’C’D’M⑷设G是线段AC’靠近点A的三等分点，则GABCDA’B’C’D’M解：⑷设G是线段AC’靠近点A的GABCDA’B’C’D’M解：例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，ABCDA1例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，ABCDA1例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1解：例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，ABCDA1例2：已知平行六面体

ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1解：例2：已知平行六面体ABCDA1B1C1D1解：ABMCGD练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：ABMCGD练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别ABMCGD(2)原式练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：ABMCGD(2)原式练习一：空间四边形ABCD中,M、G分ABCDDCBAE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.ABCDDCBAE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’AABCDDCBE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面

AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.AABCDDCBE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’ABCDDCBAE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面

AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.ABCDDCBAE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律小结加法交换律数乘分配律加法结合律类比、数形结合数乘:ka,k为正数,负数,零平面向量概念加法运定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三作业：导航练习:9.19空间向量及其运算作业：导航练习:棱锥、圆锥的体积棱锥、圆锥的体积复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。

2、V柱体＝ShV圆柱＝πr2h

3、柱体体积公式的推导：复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面α的平面所截截面面积始终相等体积相等∵V长方体＝abc∴V柱体＝ShV圆柱＝πr2hα柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面α的平问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下锥体体积是否具有相似的结论？问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S1hShS取任意两个锥体，它们的底面积为S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面积始终相等＝两个锥体体积相等定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S1h定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S1hShS证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。

把这两个锥体放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平面内，用平行于平面α的任一平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2，

那么根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S1h与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA’C’B’与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA’C’B’与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA’C’B’与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA’C’B’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’C’B’把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’C’B’连接B’C,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。

就是三棱锥1

和另两个三棱锥2、3。１23定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝Sh

就是三棱锥1

和另两个三棱锥2、3。BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’１23定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShBCA’B’2CA’C’B’3ABCA’1三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShCA’C’B’3ABCA’1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1高定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。高也相等（顶点都是A’）。高定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2V1＝V2＝V3＝V三棱锥定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝Sh定理证明：已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.求证:V三棱锥＝Sh证明:把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底△BCB1、△C1B1C的面积相等，高也相等（顶点都是A1）∵V1＝V2＝V3＝V三棱锥。∵V三棱柱＝Sh。∴V三棱锥＝Sh。ABCA’C’B’１23定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么任意锥体的体积公式：

定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是

V锥体＝Sh

推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是

V圆锥＝πr2h任意锥体的体积公式：定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底小结：定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝Sh定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是

V锥体＝Sh推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是

V圆锥＝πr2h小结：例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

证明：在平面BCD内，作DE⊥BC，垂足为E，连接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。

根据三垂线定理，AE⊥BC。∴∠AED＝θ。V三棱锥＝S△BCD·AD＝S△ABC

·ADcosθ

＝×BC·ED·AD＝×BC·AEcosθ·AD例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

问题1、ADcosθ有什么几何意义？

F

结论：V三棱锥＝S△ABC·d

例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

结论：V三棱锥＝VC-AED＋VB-AED

问题2、解答过程中的

×BC·AEcosθ·AD其中

AEcosθ·AD可表示意思？∵AEcosθ＝ED∴S△AED＝ED·AD

又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。

分析：例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请列出三棱锥体积表达式）ABCDA’C’B’D’问题1、你能有几种解法？

问题2、如果这是一个平行六面体呢？或者四棱柱呢？练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，ABC练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？C

DAB

问题2、如果改为求棱长为a的正四面体A-BCD的体积。你能有几种解法？问题1、你能有几种解法？解一、补形，将三棱锥补成一个正方体。解二、利用体积公式

V四面体＝S△BCD·h

解三、将四面体分割为三棱锥C-ABE和三棱锥D-ABEE练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到C小结：1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。2、三棱锥体积的证明分两步进行：⑴、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等：（一个锥体的体积计算可以间接求得）⑵、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一：（它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程简化，常常给人耳目一新的感觉。小结：1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形小结：4、定理及推论定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。

定理二、如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是

V三棱锥＝Sh

定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是

V锥体＝Sh

推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是

V圆锥＝πr2h小结：作业：

1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与平面ABC所成的角的余弦值为，求此四面体的体积。

2、三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝a，PA,BC的公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EF＝h，求三棱锥的体积。作业：空间向量及基本运算教学课件空间向量及基本运算空间向量及基本运算一、平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表示法：用有向线段表示；

字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母表示．相等的向量：

长度相等且方向相同的向量．ABCD一、平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表⒉平面向量的加减法与数乘运算⑴向量的加法：aba+b平行四边形法则aba+b三角形法则⒉平面向量的加减法与数乘运算⑴向量的加法：aba+b平行四边⑵向量的减法aba-b三角形法则⑶向量的数乘aka（k>0）ka（k<0）⑵向量的减法aba-b三角形法则⑶向量的数乘aka（k>0）⒊平面向量的加法与数乘运算律加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

⒊平面向量的加法与数乘运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即二、空间向量及其加减与数乘运算⒈空间向量：空间中具有大小和方向的量叫做向量．⑴定义：⑵表示方法：①空间向量的表示方法和平面向量一样；③空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．②同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量；二、空间向量及其加减与数乘运算⒈空间向量：空间中具有大小和方⒉空间向量的加法、减法与数乘向量a+baaaaOPabABbCOa-

b⒉空间向量的加法、减法与数乘向量a+baaaaOPabA⒊空间向量加法与数乘向量运算律⑴加法交换律：a+b=b+a；⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；⑶数乘分配律：λ(a+b)

=λa+λb；abca+b+cabca+b+ca+bb+c⒊空间向量加法与数乘向量运算律⑴加法交换律：a+b=对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明⒈空间向量的运算就是平推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即平行六面体平行四边形ABCD平移向量a到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．A’B’C’D’ABCDa平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．平行六面体平行四边形ABCD平移向量a到A’B’C’ABCDA’B’C’D’例1ABCDA’B’C’D’例1解：ABCDA’B’C’D’始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量解：ABCDA’B’C’D’始点相同的三个不共面向量之和，等⑶设M是线段CC’的中点，则解：ABCDA’B’C’D’M⑶设M是线段CC’的中点，则解：ABCDA’B’C’D’M⑷设G是线段AC’靠近点A的三等分点，则GABCDA’B’C’D’M解：⑷设G是线段AC’靠近点A的GABCDA’B’C’D’M解：例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，ABCDA1例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，ABCDA1例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1解：例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，ABCDA1例2：已知平行六面体

ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1解：例2：已知平行六面体ABCDA1B1C1D1解：ABMCGD练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：ABMCGD练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别ABMCGD(2)原式练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：ABMCGD(2)原式练习一：空间四边形ABCD中,M、G分ABCDDCBAE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.ABCDDCBAE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’AABCDDCBE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面

AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.AABCDDCBE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’ABCDDCBAE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面

AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.ABCDDCBAE练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律小结加法交换律数乘分配律加法结合律类比、数形结合数乘:ka,k为正数,负数,零平面向量概念加法运定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三作业：导航练习:9.19空间向量及其运算作业：导航练习:棱锥、圆锥的体积棱锥、圆锥的体积复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。

2、V柱体＝ShV圆柱＝πr2h

3、柱体体积公式的推导：复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面α的平面所截截面面积始终相等体积相等∵V长方体＝abc∴V柱体＝ShV圆柱＝πr2hα柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面α的平问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下锥体体积是否具有相似的结论？问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S1hShS取任意两个锥体，它们的底面积为S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面积始终相等＝两个锥体体积相等定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S1h定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S1hShS证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。

把这两个锥体放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平面内，用平行于平面α的任一平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2，

那么根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S1h与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA’C’B’与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA’C’B’与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA’C’B’与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA’C’B’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’C’B’把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’C’B’连接B’C,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。

就是三棱锥1

和另两个三棱锥2、3。１23定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝Sh

就是三棱锥1

和另两个三棱锥2、3。BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’１23定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShBCA’B’2CA’C’B’3ABCA’1三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShCA’C’B’3ABCA’1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1高定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。高也相等（顶点都是A’）。高定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2V1＝V2＝V3＝V三棱锥定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝Sh定理证明：已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.求证:V三棱锥＝Sh证明:把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底△BCB1、△C1B1C的面积相等，高也相等（顶点都是A1）∵V1＝V2＝V3＝V三棱锥。∵V三棱柱＝Sh。∴V三棱锥＝Sh。ABCA’C’B’１23定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么任意锥体的体积公式：

定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是

V锥体＝Sh

推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是

V圆锥＝πr2h任意锥体的体积公式：定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底小结：定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝Sh定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是

V锥体＝Sh推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是

V圆锥＝πr2h小结：例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

证明：在平面BCD内，作DE⊥BC，垂足为E，连接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。

根据三垂线定理，AE⊥BC。∴∠AED＝θ。V三棱锥＝S△BCD·AD＝S△ABC

·ADcosθ

＝×BC·ED·AD＝×BC·AEcosθ·AD例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

问题1、ADcosθ有什么几何意义？

F

结论：