任意角的三角函数练习

任意角的三角函数练习一、填空题1．若是第四象限的角，则－是第_______象限角．2．集合，，则与关系____．3．已知角终边上一点P(x，y)关于y轴上的对称点的坐标是点(6，－8)，则与角终边相同的角的正弦值为____________．4．已知则=__________．5．终边落在直线上的角的集合为______________．6．若是第三象限的角，则sin(cos)·cos(sin)的符号为___________．二、解答题7．已知两角的和为1弧度，且两角的差为，求这两个角各是多少弧度．8．已知角的终边在x轴的上方(不与x轴重合)，求的终边所在的象限．9．扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求它的中心角和弦AB的长．10．若角的终边与角的终边关于x轴对称，求在[，内终边与角的终边重合的角．11．已知，且，试确定角所在的象限．12．(1)角α的终边上有一点P(15，y)，且，求y的值及α的其它三角函数值．(2)已知角α的终边落在直线上，求sinα，cosα，tanα的值．13．求证：=．14．角终边上有一点P(x，5)，且cos=(x≠0)，求sin＋cot的值．参考答案：一、填空题1．三．提示：∵角与角－的终边关于x轴对称，又∵角的终边在第四象限，∴角－的终边在第一象限，又角－与－的终边关于原点对称，所以角－是第三象限角．2．．提示：集合中代表元素，是的奇数倍；集合中代表元素，是的整数倍．3．－．提示：∵P(x，y)与(6，－8)关于y轴对称，∴x=－6，y=－8，即P(－6，－8)，故r=|OP|==10，又与终边相同的角为k·＋(kZ)且在第三象限，∴sin(k·＋)=－．4．0．提示：=，=－，∴=0．5．．提示：～间满足条件的角为和，故终边落在上的角的集合为：6．负．提示：∵是第三象限的角，∴－1＜sin＜0，－1＜cos＜0，∴sin(cos)＜0，cos(sin)＞0，∴sin(cos)·cos(sin)＜0．二、解答题7．分析：设两角的弧度数分别是通过列方程组，就可以求出，但要注意单位的统一．解：设两角的弧度数分别是，因为，则依题意，得，解之得即所求两角的弧度数分别为．8．解：根据题意k·＜＜k·＋，(kZ)，∴k·＜＜k·＋，(kZ)，当k=2n时，n·＜＜n·＋，(nZ)，∴在第一象限．当k=2n＋1时，n·＋＜＜n·＋，(nZ)，∴在第三象限．综上，在第一、第三象限．OABH9．解：令的长度为，OA=r，则=4－2r．OABH∵=，∴(4－2r)r=1，解地r=1，=2．令∠AOB的弧度数为，则===2(弧度)．如图，过O作OH⊥AB于H，则AB=2AH=2rsin1=2sin1．所以扇形OAB的中心角为2弧度，弦AB的长为2sin1厘米10．解：∵－角的终边与角终边关于x轴对称，∴=k·－，kZ，=k·－，kZ，令≤k·－＜，解得≤k＜，∵kZ，∴k=1、2、3．∴在[，内终边与角的终边重合的角为，，．11解：设是角终边上异于原点的任意一点，且，且，否则无意义．由已知，得，∴①又由已知，得②，由①②知，，，所以是第一象限的角．12．解：(1)角α的终边上有一点P(15，y)，且，由所以，．(2)角α的终边落在直线上，分一、三象限讨论．当角α的终边在第一象限时，sinα=，cosα=，tanα=；当角α的终边在第三象限时，sinα=－，cosα=，tanα=．13．证明：设P(x，y)为角终边上一点，，则由三角函数定义：=，=，，．========．14．解：∵r=，∴cos==，依题意，=，∵x≠0，∴=13，解得x=±12．若x=12，则sin=，cot=，∴sin＋cot=；若x=－12，则sin=，cot=－，∴sin＋cot=－．备用题：1．已知角是第二象限的角，则角的终边落在第_______象限．1．一或三．提示：∵是第二象限的角，∴k·＋＜＜k·＋(kZ)，∴k·＋＜＜k·＋(kZ)，当k是偶数时，是第一象限的角，当k是奇数时，是第三象限的角．2．集合A={|=k·＋，kZ，B={|=k·＋，kZ，C={|=k·＋，kZ，那么集合A、B、C的关系是______________．2．BAC．提示：∵A={|=2k·＋，kZ，B={|=4k·＋，kZ，∴BAC．3．已知tanx·cosx＞0且cotx·sinx＜0，那么x在第_______象限．3．二．提示：由tanx·cosx＞0得sinx＞0，cotx·sinx＜0则cosx＜0，即x在第二象限．4．若三角形的二个内角、满足sin·cos＜0，则此三角形的形状是_______．4．钝角三角形．提示：因为、是三角形的内角，所以＜＜，＜＜，而当(，)时，sin＞0，所以cos＜0，即＜＜，因此三角形为钝角三角形．5．设角的终边过点，则的值是_______．5．或．提示：由角的终边过点可得：(1)当时，；(2)当时，．6．已知·＜0，那么角是第______象限角．6．三或四．提示：由·＜0，得或，所以是第三或第四象限角．7．在－到之间与－角终边相同的角是_____________．7．－，－，，．提示：与－角终边相同的角可表示为k·＋(－)，kZ，依题意，得－＜k·－＜，解得＜k＜4，所以k=1，2，3，4．所求角为－，－，，．8．设A={|=k，kZ，|k|≤10}，B={|=k，kZ}，则AB=________．8．{－，0，}．提示：设AB，则A，且B，∴=k，且=n，∴有k=n，即k=n，由于|k|≤10且kZ，∴n=0或n=±10，∴AB={－，0，}．9．2弧度的圆心角所对应的弦长为2，这个圆心角所加的扇形面积的数值是_______．9．．提示：由已知得r=，则=r·=··2=．10．若角的终边与的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角为10．提示：由已知，得，，由，得所以依次为11．sin(－1320o)=______．11．．提示：原式=－sin(240o+3×360o)=－sin240o=－sin(180o+60o)=sin60o=．12．有下列命题：⑴终边相同的角的同名三角函数的值相等⑵终边不相同的角的同名三角函数的值不等⑶若sin＞0，则是第一、二象限的角⑷若是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos=－其中正确的命题的个数是______个．12．1．提示：根据任意角三角函数定义知⑴显然正确；由于sin=sin，因此⑵是错误的；因为sin=1＞0，但不是第一、二象限的角，所以⑶也是错误的；在⑷中x＜0，应有cos=．综上，正确的命题的个数是1个．13．在内，使成立的的取值范围是_______．13．．提示：在单位圆中，作出正弦线及余弦线，观察图象，得．xxyO1114．在[0，]上满足sinx≥的x的取值范围是_______．．14．[，]．提示：作出单位圆，如图，过(0，)点作x轴的平行线，分别交单位圆于两点，连接圆心O和这两点，得到两条射线与x轴的非负半轴所成的角分别为和．可得sinx≥的x的取值范围是[，]．15．＋＋－=__________．15．5．提示：＋＋－=＋＋－=＋＋－=＋＋3＋1=5．16．已知是第二象限的角，且=－，则是第_____象限的角．16．二．提示：∵是第二象限的角，∴＜＜()，∴＜＜()，∴是第一、二、四象限的角，当在第一、四象限时，不满足=－，所以是第二象限的角．17．设点P(x，2)是角终边上一点，且满足sin=，则实数x=．17．．解：，由得，则实数x=．18．求证：－≤＋≤．18．证明：设P(x，y)为角终边上一点，，则由三角函数定义：＋=＋．又===2－≤2，∴|＋|≤，即－≤＋≤，∴－≤＋≤．19．一个扇形的周长为C，问当它的圆心角取何值时，此扇形的面积最大，最大值是多少？19．解：设此扇形的弧长为，半径为R，圆心角为，则有2R＋=C，=．∴S==(C－2R)=－R＋=－(R－2×＋C)＋C=C－(R－)．当且仅当R=时，S有最大值，其最大值为C，此时C=2R＋=＋，解得=，∴===2(弧度)．即当=2弧度时，面积最大，其最大值为C．20．已知是第三象限的角，问是哪个象限的角？20．解：∵是第三象限的角，∴k·＋＜＜k·＋，(k)即k·＋＜＜k·＋，(k)⑴当k是3的倍数，即k=3n(n)时，上式可化为n·＋＜＜n·＋，(n)所以是第一象限的角．⑵当k=3n+1(n)时，上式可化为n·＋＜＜n·＋，(n)所以是第三象限的角．⑶当k=3n+2(n)时，上式可化为n·＋＜＜n·＋，(n)所以是第四象限的角．综上所述，是第一、第三或第四象限的角．21．已知n个扇形的半径分别为r、r、……、r与所含圆心角、、……、均构成等差数列，公差d=2，d=，又已知a=，r=1cm，求这n个扇形的面积S、S、……、S的和．(其中1＋2＋…＋n=，1＋2＋…＋n=)21．解：由已知得=＋(n－1)=(n＋9)，r=1＋(n－1)×2=2n－1，S===(2n－1)·(n＋9)=(4n＋32n－35n＋9)．所以S＋S＋……＋S=[4×＋32×－35×＋9n]=(6n＋76n－3n－19)． 22．已知＜0，求所在的象限．22．解：在角终边上取一点P，其坐标为(x，y)，|PO|=r，则有sin=，csc=，tan=，cot=，由已知，得=＜0，由于r＞0，所以不管y是正、是负，都有x＜0．所以cos＜0且y≠0，因此是第二或第三象限角．22．已知角终边上一点P(－，y)(y≠0)，且sin=y，求cos＋cot的值．22．解：∵sin=，sin=y，∴=y，由已知y≠0可解得y=±．当y=时，cos=－，cot=－，cos＋cot=．当y=－时，cos=－，cot=，cos＋cot=．23．设0≤≤，试比较sin与cos的大小关系．23．解：如图所示，在单位圆中，MP=sin，|MP|=cos，x┌Y1－1－1MOP∵0≤≤，∴MP≥0，OM≥0，∴sin=|MP|x┌Y1－1－1MOP当0＜＜时，＜∠OPM＜，