概率统计学习指导-第四章

第四 随量的数字特设离散型随量X的分布列X……P……若级数xkpk绝对收敛，则称级数xkpk为 量X的数学期望（或均值简称期望kE（X，

E(X)xkk

量X的概率密度为p(x)，若积分xp(x)dx绝对收敛则称积分xp(x)dx为，E（X E(X)

由数学期望的定义形式，它是随量X的所有可能取值与取相应值的概率乘积之和，不难理解，期望所反映的是随量X取值的概率“平均。 CE(CX)CE(XE(XY)E(X)E(Y若随量X，Y相互独立，则E(XY)E(X)E(YX……P……E(Y)Ef(X)f(xk)K

E(Y)Ef(X)f(x)

设 量X的期望为E（X，若EXE(X)2存在，则称量EXE(X)2为 量D（X D(X)EXE(XD(XX……P…D(XX……P……

X

D(X)EXE(X)2

E(X)2

kkKkk若边连续型随量X的概率密度为p(x)，D(X)EXE(X)2xE(X)2

D(X)E(X)2E(X

从方差定义的形式看，它是随量X所有可能的取值与其“平均”程度的差的平方与取相应X的重要数字特征。若随量X，Y相互独立，一般地，X1，X2，…，Xn相互独立，则 D(Xi)D(Xii i函数f(x)EXx2在x=E(X)处取得最小值D（X）此性质说明 量X的取值关PXx000-1PX1PX0q,pqpPXkCkpkqnknpq1 P **k1,21p PXkCMCNMCnnM(1M)Nn NPXkCr1prqkrkkr,r1 ,axb,p(x)ba 其它a2(b2 (xp(x) 2μex,xp(x) 11 a1p(x)(a) , x aPXx,Yyp(i,j1,2,L)时 E(Z)Ef(X,Y)f(xi,yj) E(Z)Ef(X,Y)f(x,y)p(x,

E(X)xipijxipi iijE(Y)ypypiij

D(X)xE(X)2pi xE(X)2

ijD(Y)

iyj

E(Y)2p

EXxpx,

yj

E(Y)2 jj

EYypx,ydxdyypYDXxEX2px, XxEX2X

DYyEY2px,

YyEY2Y

CovX,YCovX,Y

EXYEXEY

X,Y记

C

C2n

Cn

CCnn CovX,Y DY称量DXDY

为 量X,Y的相关系数，记作

CovX,Y DYDXDY

|ρXY|=1的充要条件 X,Y 对于随量X，若E(XK)存在，则K EXKX的K阶原KK EXEXK为X的K阶中心矩K1EX,2DX二、 例 设随量X的分布列X-02P（4.1（4.3（4.8）解E(X)=(－0.2)×0.4＋0×0.3＋2×0.3=－0.2于 例 把4个球随机地投入4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，试求E(X)和（4.1（4.3（4.8）解不难知道X0,1,2,3,

0

4!

C1C1C1P 2

44个盒子中任一个，有C1种方式，对于指定的空盒，4342 2种不同方式2X

44 4

2124244X0123P61

6136 EX

0

126因 DXEX2EX2例 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到分析设X为取球次数，它是随量，因为每次取到黑球后不再放回，故X的所有可能取值1,2,3,4,5,E(X)D(X)，首先必须求出X的概率分布，然后利用公式计算。解用古典概型概率计算方法可求得

5

415

431154

443211543

432111 1111155555X

5432 P因 EX

121314 EX

11221 故 DXEX2EX21132例 Ax2（1）

xa2

xx

a＞0pxdx（4.2（4.4）0 pxdxAx2ea20令t

Aa2tetat tAa33 2

EXxpxdxA

xa200令t

3t a a3t2t a 2Aa422 EX2x2令t

Aa4t2etat0tAa5

5

t2etdt

2 2a因 DXEX2EX2 34a22 2 例 px

1x11x解EXxpxdx11 dx01x1xdxdx22

2

2

2 11

1x 1x1x1x1x112x

0

1x2=21 1 2 2 2 因 DXEX2EX21021 评注（1）求数学期望和方差的基本条件是：先求出（或已知）离散型随量的分布列或连在掌握随的分布或概率度的基上直运用期及方差定义或式④Γxa1e0

4 nN 1 2 DXEX2EX例6 设随量X的概率密度为px1ex,x2之后 解EXxpxdxx1ex 令xt1tet21 2

dt 012etdt DXxEX21x2ex2令xt1t2et2t2etdt0

7AipiXAn次试验中出现的E(X)D(X)。分析如果按照一般方法，先求出X的分布列，然后再求数学期望及方差是相当复杂的。为了解Xi

nn则 XXi EXipi,DXipi1pi

i 从 EXEXi DXDXipi1pi 评注本题将X分解成若干个随量之和，从而避免了寻求X的分布列P{X=k}而进行的比（c≤a+b解从袋中摸出ccXi

第icc7

XXi

,

i所 EXi

a

i a因 EXEXia例 设随量X,Y的分列分别X0123PY01234P解例 设随量X的分布列X1234…k…P121221124…1…求Y

X分析YXX的分布条件下，可直接应用（4.3） 解EYEsin2X

2

k1sink1

k4n由 2

11

kk4n所 EY11122 22 1 1例 设随量X的概率密度E(2X)E(e-分析利用公式（4.4）

e

xx0解E2X2xpxdx2xex02221!0Ee2Xe2xpxdxe2xex0e3xdx1e3x 例12 X～N（μ,σ2，解由公式（4.4）知EYEXxx

x e

x令

t则EY

t

t2dt

tte2 2 v,2则EY20

2vev dv2v2evdv2v

2 （4.3（4.4）例 若随量X的期望E(X)和方差D(X)均存在，DXX*XEDX试证明分析这里E(X),D(X)XEX DX证明EX*DX

DXEXEXDX EXEXDX XE DXDXDX 11DX

DXXY01—18180111811343例XY01—18180111811343（4.11（4.12）（4.11（4.12） 11 EY

1

1于

9 （方法二）先求得X,YXX01P556X01P538EX

15 6EY2 2因

2EY21313 16 （X,Y，在已知其联合概率分布，求各个分量的数字特征时，可用公（4.1（4.12（4.9）例15设随向量（X,Y）的概率密度9px,y

0x1,0分析此类问题的求解，只需利用公式（4.13（4.14）及（4.10）即可，乘下的只是计算二重解EXxpx001dx21xx0016x2dx21x011

2

x2dx25EYypx,001dx21xx0016x2dx21x6y 1 x3dx4116x EY2y2px,001dx21xy2000016xdx21x00124x1x4dx4 例 1

x2y2px,yR

x2y2X2X2Y

解由公式（4.10）EZEX2Y2x2x2y

px,

x2y2R

x2y2d

rRR2 R r2dr R2 17l分析把长为l的线段放在数轴上，使与区间[0,l]重合，用随量X,Y分别表示任取两点解随机就量X,Y xpX

0xl x x 其它 x,y

0xl,0y其它EZEXYxypx,1l l201ldxlxydy

ldxlyl2 13

EZ2Exy2xy2px,1

l

l l2

ydy 因 DXEX2EXl l l 3 XY012313018380380018XY012313018380380018分析要求相关系数ρXYD(X),D(Y)Cov(X,Y)然后代入（4.17）式计算即可。对（X,Y，piojo≠pio.·p.jo即可。X0123P13318888解这X0123P13318888 6P8

8EX1632 EX2126322因 DXEX2EX

12 8 EY01132333

21123223 因 DYEY2EY22488 1312333 于 CovX,YEXYEXEY181212 显 PX1,Y13p. 8X与Y例 1

x2y2px,yXY

x2y2（X,Y证明因为EXxpx,1x221

1x2dx由对称性知（4-1）EXYxypx,1x211x211111于 X,Y不难求得X,Y

ydypXx

px,ydy

1x21y2

xxypYy

px,ydx

x当|x|≤1，|y|≤1X与Y

px,ypXxpyy例 8

0xX,Y的相关系数ρXY解EXxpx2dx2x1x =21x21xdx140

4 EX2x2px,2dx2x21x 21x31x2dx200

因 DX EX220

EY14,EY220,DY

E(XY)xyp(x,又2dx2xy1(x又 2(1x21x)dx160 COV(X,Y)E(XY)E(X)E(Y于 161964 COV(COV(X,YD(X) 从 1.例 E(X)E(Y)1,E(Z)DXD(YD(Z1,

0，

1

2求EXYZ)及DXYZ解EXYZEXE(YE(ZD(XYZ)E(XYZ)E(XYZ)2E(XE(X))(YE(Y)(ZE(Z))2EXE(X)2EYE(Y)2EZE(Z)2

ZE(Z)D(ZD(ZD(X)D(Y)D(Z)2COV(X,Y)2COV(Y,Z)2COVD(ZD(ZD(X)D(Y)D(Z)2XY

D(X)

2YZ

D(Y)

2XZ

D(X)

例 设随量X与Y的相互独立,E(X)E(Y)0,D(X)D(Y)1EXY)2解E(XY)2EX22E(XYE(Y2X,Y相互独立于 E(XY

E(X)E(Y)所 D(X)E(X2)1,D(Y)E(Y2)因 E(XY)2E(X2)E(Y2)11例 p(x,y)p(x,y)

0其

解EXxp(x1 2dx2xsin(x2 0.785,E(X)x2p(x,1 2dx2x2sin(x22

因 D(X)E(X2)E(X8

22 2 2 XYE(Y)E(X),D(Y)D(XCOV(X,Y)E(XY)E(X)E(Yxyp(x,y)dxdy 1 2dx2xysin(xy)dy2 212

50协方差矩阵为 50四、习甲甲0123P乙0123P0设 量X取非负整数n≥0的概率为pnA

Bn,E(X)=a,A对某目标进行三次射击(射击是独立进行的)0.4X为三次射击命中的E（X）D（XX的数学期望和方差。510010件次品,3件,X的数学期望,方差及均方差X1X2相互独立且分别服从参数为λ1,λ2的泊松分布,EX1X2及DX1X2X

Ax2(xp(x)

设X1和X2是两个相互独立的随量,其概率密度分别为p(x)

0x

e(x5)p2(x)

YX01234560102003000YD（Ypx

xy

x)22

p(x,y)

x2 X2Y求随量函数Z X2Ycosxcosy,0x,0yp(x,y)

X,Y设随机向量(X,Y)在区域D(x,y)|0x1,0yx上服从均匀分布,求求设随量X与Y相互独立,均服从正态分布N(a,σ2),试求pXqY与XY的相关系数,p,q,μ,υ都是常数.若UaXbVcYdUVXY

E(X)00.410.320.230.1E(Y)00.310.520.230因此EXEY Bn

pnA

Ae

EX

n

nBnAB

nBAnBA

ABeBn1n（1（2 A=e- XP0XP01C10.410.622C20.4233XP0123即E(X)=0×0.216＋1×0.432＋2×0.288＋3×0.064=1.2解X~B6,5 100所 EXnp6

DXnpq6

解随量X的分布列X0123C0CC1CC2C3CP10C10C10C10C即X0123PDXXDX

解X123nnn2k因 pkPXk k

X

nn1

nnnnEXk

k

nnk

k2k nn nk2 k nn解

EX11,DX1EX22,DX22EX1X2EX1EX2DX1X2DX1DX2解pxdx2Ax2x22 A2x44x34x2dx16A A16②EXxpxdx2x15x2x22dx 解X1,X2EX1X2EX1EX2xpxdxxp 051x2xdxx052x31x 02x3

2t5et32tetdt5et3 225215

EX

x

cos2xdx

2 EX

2x22

cos21 2x2 4 20 2041

12x2cos

2 2x2dsin2x42x2dsin2x

4 20 204

1x2sin

2sin2x

4 21

2xd020 1 20 cos2x 2cos 1

sin2x2 因 DX

2EX

12解球的直径X

axpxb

其它所以球的体积V6

X3的平均值EVx3bx31a b bx3dx

aba2b26ba 解如图4- 取圆周上定点O为极点，过O的直径为极轴，设B是圆周上任意一点与极轴的夹角为Φ，由题意知Φ服从区间 22

2

设随量X表示弦OB的长度，则有X=2RcosΦ，由此得到弦的平均长度

4E 22R 2

2cos 2XP012YP01XP012YP012343536

解因为px,

x2y2A0A0

0r2 0r2

2A2d

A22

r21

2A2A1,所 A1②EX

x

x2y21

dx

x2y2x2yx2y

EZ

x2

r2

d0r 212

r2

r2

令2t2tet 2t2t1

3 2t2etdt 2 0 211 2

22 222

x2 EZ

x2y2 2

r d

r2e22 r2t2tet0因 DZEZ2EZ2 22

2

EXxpx, 002dx2xcosxcos00 002xcosxdx2cos002xcosxdx

EY2

EX2x2px, 002dx2x2cosxcos00 002x2cosxdx2cos00 2x2cosxdx

2同

24

2

所 D

D

2

EXY22xypx,0 002dx2xycosxcos002 22xcosxdx2ycosydy 1 于 CovX,YEXYEXEY 1 1 1 0故协方差矩阵为

解区域D4-31。因此（X,Y）2px,y

0x1,0yEXxpx, 0dx0x2dy0x2x21 EX2x2px,ydxdy1dxxx2 12x3dx2x411 DXEX2EX21,EYypx,1dxx2ydy1x2dx1 EY2y2px,1dxxy22dy12x3dx1 0 因