概率论与数理统计习题三解析哈工大版

习题三1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p(0p1)，若以X表示直至掷到正、反面都出现时为止所需扔掷次数，求X的散布列。解(Xk)表示事件：前k1次出现正面，第k次出现反面，或前k1次出现反面，第k次出现正面，因此P(Xk)pk1(1p)(1p)k1p,k2,3,L.2．袋中有b个黑球a个白球，从袋中随意拿出r个球，求r个球中黑球个数X的散布列。解从ab个球中任取r个球共有Carb种取法，r个球中有k个黑球的取法有CbkCark，因此X的散布列为P(Xk)CbkCark，kmax(0,ra),max(0,ra)1,L,min(b,r)，Carb此乃由于，假如ra，则r个球中能够全部是白球，没有黑球，即k0；假如ra则r个球中起码有ra个黑球，此时k应从ra开始。3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种部件，第i个部件是不合格品的概率pi1(i1,2,3)，以X表示三个部件中合格品的个数，求X的散布i1列。解设Ai‘第i个部件是合格品’i1,2,3。则P(X0)P(A1A2A3)1111234，24P(X1)P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)1111211136，23423423424P(X2)P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)12111312311234234234，24P(X3)P(A1A2A3)1236234.24即X的散布列为X012316116.P242424244．一汽车沿一街道行驶，需经过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其余信号灯为红或绿互相独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为1，以X表示该汽车初次碰到红灯前已经过的路口的个数，求X的概率2散布。解P(X0)1P(第一个路口即为红灯),2111P(X1)P(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)2，24依此类推，得X的散布列为X0123P1111.24885．将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面的次数，求X的分布列。解X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故X~B(n,1)，X的散布2列为nP(Xk)Cnk1k0,1,L,n26．一互换台每分钟接到的呼喊次数听从参数为4的泊松散布，求（1）每分钟恰有8次呼喊的概率；（2）每分钟的呼喊次数大于10的概率。解设X为每分钟接到的呼喊次数，则X~P(4)（1）P(X8)48e44ke44ke40.29778!k8k!kqk!（2）P(X10)4k40.00284.k11k!e7．某商铺每个月销售某种商品的数目听从参数为5的泊松散布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不畅销的概率为0.99977以上。解设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意0.99977P(XN)1P(XN)1P(XK)15ke5KN1KN1k!即5K50.00023eKN1k!查泊松散布表知N115，故月初要库存14件以上，才能保证当月不畅销的概率在0.99977以上。8．已知失散型随机变量X的散布列为：P(X1)0.2,P(X2)0.3，P(X3)0.5，试写出X的散布函数。解X的散布列为X123P0.20.30.5因此X的散布函数为0,x1,F(x)0.2,1x2,0.5,2x3,1,x3.9．设随机变量X的概率密度为f(x)csinx,0x,0,其余.求：（1）常数C；（2）使P(Xa)P(Xa)建立的a.解（1）1f(x)dxcsinxdxccosx2c，c10；02（2）P(Xa)a1sinxdx1cosxa11cosa，2222P(Xa)a1sinxdx1cosxa11cosa,002222可见cosa0，a。210．设随机变量X的散布函数为F(x)ABarctanx，x，求：（1）系数A与B；（2）P(1X1)；（3）X的概率密度。解（1）由散布函数的性质0F()AB21F()AB2于是A1，B1，因此X的散布函数为211arctanxF(x)x，211(11（2）P(1X1)F(1)F(1)242（3）X的概率密度为1f(x)F(x)，x(12x)11．已知随机变量X的概率密度为f(x)1e|x|，x.2求X的散布函数.解1xxeudu,2F(x)f(u)du01xx1udu,edxe2021ex,x0,211ex,x0.212．设随机变量X的概率密度为

1)；42.0,0,x,0x1,f(x)2x,1x2,0,其余.求X的散布函数.解f(x)的图形为X的散布函数为xF(x)f(u)du0,x0,x0x1,f(x)udu,01xu)du,1x2,(1，1)xdx(2011,x2.0,x0,x20x1,012x,2x21,1x2,2x21,x2.1313．设电子管寿命X的概率密度为100,x100,f(x)x20,x100.若一架收音机上装有三个这类管子，求（1）使用的最先150小时，起码有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最先150小时烧坏的电子管数Y的散布列；（3）Y的散布函数。解Y为在使用的最先150小时烧坏的电子管数，Y~B(3,p)，此中pP(X150)150100dx1x2，100323（1）所求概率为P(Y2)P(Y2)P(Y3)C321213337；27k23k（2）的散布列为k1，k0,1,2,3,YP(Yk)C333即Y0123P81261.27272727（3）Y的散布函数为0,x0,8,0x127F(x)20,1x2,2726,2x3,271,x3.14．设随机变量X的概率密度为f(x)2x,0x1,0,其余.现对X进行n次独立重复观察，以Vn表示观察值不大于0.1的观察次数，试求随机变量Vn的概率散布。解Vn~B(n,p)，此中pP(X0.1)0.10.01，02xdx因此Vn的概率散布列为P(Vnk)Cnk(0.01)k(0.99)nk,k0,1,L,n.15．设随机变量X~U[1,6]，求方程x2Xx10有实根的概率.解设A‘方程有实根’，则A发生X240即|X|2，因X~U[1,6]，因此A发生X2,因此P(A)P(X6242)10.8.6516．设随机变量X~U[2,5]，现对X进行3次独立观察，试求起码有两次观察值大于3的概率.解设Y为三次观察中，观察值大于3的观察次数，则Y~B(3,p)，此中pP(X3)532，523所求概率为22123P(Y2)P(Y2)P(Y3)220C333327.17．设顾客在某银行窗口等候服务的时间X（单位：分），听从参数为1的5指数散布。若等候时间超出10分钟，则他就走开。设他一个月要来银行5次，以Y表示一个月他没有等到服务而走开窗口的次数，求Y的散布列及P(Y1)。解由题意Y~B(5,p)，此中xxpP(X10)1e5dxe5e2，10510于是Y的散布为C5k(e2)k(1e2)5kP(Yk)k0,1,2,3,4,5,P(Y1)1P(Y0)1(1e2)50.5167.18．一大型设施在任何长为t的时间发生故障的次数N(t)听从参数为t的泊松散布。（1）求接踵两次故障之间时间间隔T的概率散布；（2）求在设施已经无故障工作了8小时的状况下，再无故障运转8小时的概率。解（1）设T的散布函数为FT(t)，则FT(t)P(Tt)1P(Tt)事件(Tt)表示两次故障的间隔时间超出障，故N(t)0，于是FT(t)1P(Tt)1P(N(t)0)1可见，T的散布函数为1et,t0,FT(t)0,t0.

t，也就是说在时间t没有发生故(t)0et1et,t0，0!即T听从参数为的指数散布。（2）所求概率为P(T16|T8)P{T16,T8}P(T16)e16e8.P(T8)P(8)e819．设随机变量X~N(108,32)。求（1）P(101.1X117.6)；（2）常数a，使P(Xa)0.90；（3）常数a，使P(|Xa|a)0.01。解（1）P(101.1X117.6)(117.6108)(101.1108)33(32)(23)(32)(23)10.99930.989310.9886；（2）0.90P(Xa)(a108)，查表知a10831.28，因此a111.84；3（3）0.01P(|Xa|a)1P(|Xa|a)1P(0X2a)(2a108),3因此2a108( )0.99，查正态散布表知2a1082.33，3故a57.495。20．设随机变量X~N(2,2)，且P(2X4)0.3，求P(X0)。解0.3P(2X4)(42)(0)，因此(2)0.8，P(X0)(02)(2)1(2)0.2。21．某地抽样结果表示，考生的外语成绩X（百分制）近似听从正态散布，均匀成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。解0.023P(X96)1(9672)1(24)(24)0.977,242,121.所求概率为P(60X84)(8472)(6072)(12)(12)2(12)120.841310.6826.22．假定丈量的随机偏差X~N(0,102)，试求在100次重复丈量中，起码有三次丈量偏差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松散布求出的近似值。解设Y为偏差的绝对值大于19.6的丈量次数，则Y~B(100,p)，此中pP(|X|19.6)1P(19.6X19.6)1(1.96)(1.96)22(1.96)220.9750.05，所求概率为100P(Y3)C100k(0.05)k(0.95)100k,k3利用泊松定理1005k50.875.ek3k!23．在电源电压不超出200V，在200240V和超出240V三种状况下，某种电子元件，破坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假定电源电压X听从正态散布N(220,252)，试求：（1）该电子元件破坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率。解设A‘电子元件破坏’，Bi‘电源电压在第i档’，i1,2,3，则（1）P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)P(X200)0.1P(200X240)0.001P(X240)0.2(200220)0.1[(240220)(200220)]0.001252525[1(240220)]0.220)25(20)20)]0.001[(1(20)]0.2(0.1[(25252525(10.7881)0.1(20.78811)0.001(10.7881)0.20.0641（2）P(B2)P(A|B2)0.005756P(B2|A)0.06410.0898.0.064124．假定随机变量X的绝对值不大于1；P(X1)1,P(X1)1，1X1}出现的条件下，X在(84在事件{1,1)随意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：（1）X的散布函数；（2）X取负值的概率P.解1设X的散布函数为F(x)，则当x1时，F(x)0，且F(1)1，8当x1时，F(x)1，P(1X1)1115，848当1x1时，由题意P{1Xx|1X1}k(x1)，而1P{1X1|1X1}2k，因此k1。于是2x1,P{1Xx|1X1}2此时F(x)P{1Xx}F(1)P{1Xx,1X11}8P{1X1}P(1X1x|1X1}5x115x7882816，故X的散布函数为0,x1,F(x)5x7,1x1,161,x1.（2）P(X0)F(0)P(X70).16解2设X的散布函数为F(x)，则当x1时，F(x)01且F(1)8当x1时，F(x)1，当1x1时，设x,xx(1,1)，且x0，由题意P(xXxx|1X1)kx，即P(xXxx,1X1)P(1X1)kx,由此得P(xXxx)5kx，8两边同除以x得F(xx)F(x)5k,x8令x0取极限得F(x)5k,8两边积分得F(x)5kxC，8由F(1及limF(x)1)8x1015kC8835kC48解之得C7,k1162

3得4故F(x)

5x7

5x7

，1x11616

16综上所述，X的散布函数为0,x1,F(x)5x71x1,,161,x1.（2）P(X0)F(0)P(X70).1625．已知失散型随机变量X的散布列为X21013P1111115651530求YX2的散布列.解Y的散布列为Y014917111.P30530526．设随机变量X的概率密度为ex,x0,fX(x)x0.0,求YeX的概率密度fY(y)解1当x0时函数yex单一增，反函数为xh(y)lny，于是YeX的概率密度为elny1,y1,1y1,fY(y)fX(h(y))|h(y)|y2,y0,y1.0,y1.解2设Y的散布函数为FY(y)，则FY(y)P(Yy)P(eXy)0,y1,P(Xlny),y10,y1,0,y1,lnyy1,exlny,y1.exdx,000,y1,0,y1,11,y1.1elny,y1.y1y1,fY(y)FY(y)y2,0,y1.27．设随机变量X的概率密度为fX(x)1,x2(1x)求随机变量Y13X的概率密度fY(y)解1函数y13x严格单一，反函数为xh(y)(1y)3，则fY(y)fX(h(y))|h(y)|3(1y)2,y.(1(16y))解2设Y的散布函数为FY(y)，则FY(y)P(Yy)P(13Xy)P(3X1y)1P(X(1y)3)1FX{(1y)3}，因此323(1y)2。fY(y)fX((1y))3(1y)(1(1y)6),y28．设X~U(0,1)，求（1）YeX的概率密度；（2）Y2lnX的概率密度。解X的密度为1,0x1,fX(x)0,其余.（1）yex在(0,1)上单一增，反函数为h(y)lny，因此Y的密度为1,1ye,0,其余.y（2）y2lnx在(0,1)上单一减，反函数为h(y)e2，因此Y的密度为yfY(y)1e2,y0,20,y0.29．设X~N(0,1)，求Y|X|的概率密度。解1函数y|x|在(,0)上单一减，反函数为h1(y)y，在[0,)上单一增，反函数为h2(y)y，因此Y的密度为fX(h1(y))|h1(y)|fX(h2(y))|h2(y)|,y0,fY(y),y0.02ey2即fY(y)2,y0,0,y0.30．设随机变量X听从参数为2的指数散布，试证Y1e2X在区间(0,1)上听从均匀散布。[证]只须证明Y的散布函数为0,y0FY(y)y,0y1,1