全等三角形全章热门考点与重点题型解题技巧整理(解析版)

全等三角形全章热门考点与重点题型解题技巧整理 （解析版）考点1:全等三角形判定的三种类型考点分析：一般三角形全等的判定方法有四种： SSSSAS,ASA,AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即 HL”.具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析， 选择合适的、简单易行的方法来解题..题型1已知一边一角型应用1一次全等型1.在△ABC中，BD=DC,/1=/2,求证：AD平分/BAC..证明：BD=DC,DBC=ZDCB.又.一/1=/2,. 1+ZDBC=/2+ZDCB,即/ABC=/ACB.AB=AC.在^ABD和AACD中，AB=AC,/1=/2,BD=CD,ABD^AACD(SAS).・./BAD=ZCADAD平分/BAC.BEXAD2.如图，在^ABC中，D是BC边上一点，连接AD,过点B作于点E,过点C作CFLAD交AD的延长线于点F,且BE=CF.BEXAD求证：AD是4ABC的中线.证明：•••BEXAD,CFXAD,BED=ZCFD=90°.又・./BDE=ZCDF,BE=CF,・.△DBE^ADCF.是^ABC的中线.BD=CD..1.D是BC是^ABC的中线.应用2二次全等型.如图，/C=/D,AC证明：过点A作AM^BC,AN^BD,分别交BC,BD的延长线于点M,N.•.ZM=ZN=90°.・./ACB=ZADB,/ACM=/ADN.在^ACM^AADN中，/M=/N,/ACM=/ADN,AC=AD,ACM^AADN(AAS).AM=AN,CM=DN.在RtAABM和RtAABN中，AB=AB,AM=AN,•••RtAABM^RtAABN(HL).BM=BN.BM-CM=BN-DN,即BC=BD..如图所示，D是4ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC,/BAE=/CAE.求证/ABE=/ACE.证明：过E作EF^AB于F,EG，AC于G,则/AFE=ZAGE=90°.在^AFE和AAGE中，/AFE=/AGE,/FAE=/GAE,AE=AE,AFE^AAGE(AAS),EF=EG.在RtABFE和RtACGE中，EB=EC,EF=EG,•••RtABFE^RtACGE(HL),・./ABE=ZACE.题型2已知两边型应用1一次全等型1.如图，在RtAABC中，/ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F,试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你的猜想的正确性..解：BFLAE.理由如下:./ACB=90°,./ACE=ZBCD=90°.

又「BC=AC,BD=AE,•••RtABDC9RtAAEC(HL).・./CBD=ZCAE.又・•/CAE+ZE=90°,・./EBF+ZE=90°../BFE=90°,即BF±AE.应用2两次全等型.如图，AB=CB,AD=CD,E是BD上任意一点.求证：AE=CE.证明：在^ABD和4CBD中AB=CB,AD=CD,BD=BD,ABD^ACBD(SSS).・./ABE=ZCBE在^ABE和^CBE中，AB=CB,ZABE=ZCBE,BE=BE,ABE^ACBE(SAS).AE=CE.AB=AC,点D,E分别在AB,AC上，且CD=AB=AC,点D,E分别在AB,AC上，且CD=BE.求证：/ADC=/AEB.证明：过点B,C两点分别作CA,BA延长线的垂线，垂足分别为 F,G.在4ABF和4ACG中,/F=ZG=90°,/FAB=/GACAB=AC,ABF^AACG(AAS)..BF=CG.在RtABEF和RtACDG中，{BF=CG,BE=CD,••RtABEF且Rt△CDG(HL)../ADC=ZAEB.点拨：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.题型3已知两角型应用1一次全等型.如图，已知/BDC=/CEB=90°,BE,CD交于点O,且AO平分/BAC.求证：OB=OC.证明：・./BDC=ZCEB=90°,•••ODXAB,OEXAC..AO平分/BAC,OD=OE.在^OBD和^OCE中，/DOB=/OEC,OD=OE,/OBD=/COE,・.△BOD^AOCE(ASA)..•.OB=OC.应用2两次全等型.如图，在4ABC与4DCB中，AC与BD交于点E,且/BAC=/CDB,/ACB=/DBC,分别延长BA与CD交于点F.求证：BF=CF.证明：在4ABC和4DCB中,/BAC=/CDB,/ACB=/DBC,BC=CB,ABC^ADCB(AAS)..AC=DB.又・./BAC=ZCDB,./FAC=/FDB.在^FAC和4FDB中，ZF=ZF,/FAC=/FDB,AC=DB,.△FAC^AFDB(AAS)..BF=CF.考点3:证明三角形全等的四种思路考点分析：全等三角形是初中几何的重要内容之一， 是几何入门最关键的一步， 学习了判定三角形全等的几种方法之后， 如何根据已知条件证明三角形全等， 掌握证明全等的几种思路尤为重要.题型1条件充足时直接用判定方法1.如图,AC和1.如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,求证:AB//CD.证明：在4AOB和ACOD中，OA=OC,/AOB=/COD,OB=OD,・.△AOB，COD.，/A=ZC.AB//CD.题型2条件不足时添加条件用判定方法.如图，点A,F,C,D在一条直线上，AF=DC,BC//EF,请只补充一个条件,使得△个条件,使得△ABC^ADEF,并说明理由.解：补充条件：EF=BC,可使得△ABC^ADEF.理由如下:•.AF=DC,点A,F,C,D在一条直线上，AF+FC=DC+FC,即AC=DF.••BC//EF,.EFD=/BCA.在4DEF和4ABC中，EF=BC,/EFD=/BCA,DF=AC,.△DEFABC(SAS)

题型3非三角形问题中构造全等三角形用判定方法.如图，在四边形OACB中，CMLOA于M,/1=/2,CA=CB,求证:(1)X3+74=180°;⑵OA+OB=2OM.证明：如图，过C点作CEXOB,证明：如图，过C点作CEXOB,交OB的延长线于E点,(1)-/1=/2,CM±OA,CEXOE,•.CE=CM,又＜CA=CB,•••RtABCE^RtAACM(HL).・./3=/CBE,.•/3+/4=/CBE+Z4=180°..CE=CM,OC=OC,•••RtAOCE0RtAOCM(HL)..•.OE=OM.由(1)知BE=AM,OA+OB=OM+AM+OB=OM+BE+OB=OM+OE=2OM.题型4实际问题中建立全等三角形模型用判定方法4.如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点A,可以在AB所在直线外任取一点D,在AB的延长线上任取一点E,连接ED和BD,并且延长BD到G,使DG=BD,延长ED至ijF,使DF=ED,连接FG,并延长FG至UH,使H、D、A在一条直线上，则HG=AB,试说明理由.解：在4DEB和4DFG中，,.DB=DG,/BDE=/GDF,DE=DF,・.△DEB^ADFG(SAS)../E=ZF,AE//FH,./DBA=ZDGH.又..DB=DG,/ADB=/HDG.ADB^AHDG(ASA),.HG=AB.考点4:构造全等三角形的六种常用方法考点分析：在进行几何题的证明或计算时， 需要在图形中添加一些辅助线， 辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系， 使数学问题较轻松地解决.常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形.题型1翻折法1.如图，在4ABC中，BE是/ABC的平分线，ADXBE,垂足为D.求证:/2=/1+/C.证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)••BE平分/ABC,./ABE=ZCBE.BD±AD,ADB=ZBDF=90°.在^ABD和4FBD中，/ABD=ZFBD,BD=BD,ZADB=ZFDB=90°,ABD^AFBD(ASA)../2=/DFB.又・./DFB=Z1+ZC,2=/1+ZC.B FC题型2基础三角形法2.如图，在RtAABC中，/ACB=90°,AC=BC,/ABC=45°,BC的中点，CELAD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.求证：/ADC=/BDF.证明：如图，过点B作BG，BC交CF的延长线于点G.・./ACB=90°,2+/ACF=90°.•.CEXAD,，/AEC=90°,. 1+ZACF=180°-ZAEC=180°-90°=90°.=/2.在AACD和^CBG中，/1=/2,AC=CB,/ACD=/CBG=90°,ACD^ACBG(ASA)../ADC=/G,CD=BG.・•点D为BC的中点，.CD=BD..1.BD=BG.又・./DBG=90°,/DBF=45°,/GBF=/DBG—/DBF=90°—45°=45°；./DBF=/GBF.在4BDF和ABGF中，BD=BG,/DBF=ZGBF,BF=BF,.△BDFBGF(SAS)./BDF=/G./ADC=/BDF.点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造 ^CBG、ABGF是解题的关键.题型3旋转法3.如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求/EAF的度数.解：如图，延长CB到点H,使得BH=DF,连接AH../ABE=90°,/D=90°,D=ZABH=90°.在^ABH和^ADF中，AB=AD,ZABH=ZADF=90°,BH=DF,△ABHADF.「.AH=AF,/BAH=/DAF.••/BAH+/BAF=/DAF+/BAF,即/HAF=/BAD=90°..BE+DF=EF,，BE+BH=EF,即HE=EF.AH=AF,在^AEH和AAEF中，AE=AE,EH=EF,•.△AEH^AAEF./EAH=/EAF../EAFHAF=45°.2点拨：图中所作辅助线，相当于将4ADF绕点A顺时针旋转90°,使AD边与AB边重合，得到4ABH.题型4平移法4.在4ABC中，/BAC=60°,/C=40°,AP平分/BAC交BC于点P,BQ平分/ABC交AC于点Q,且AP与BQ相交于点O.求证：AB+BP=BQ+AQ.证明：过点O作OD//BC交AB于点D,ADO=ZABC../BAC=60°,/C=40°,./ABC=80°../ADO=80°..BQ平分/ABC,•./QBC=40°.AQB=ZC+/QBC=80°../ADO=ZAQB.易知/DAO=ZQAO,OA=OA,ADO^AAQO..OD=OQ,AD=AQ.又「OD//BP,./PBO=ZDOB.又・./PBO=ZDBO,./DBO=ZDOB.•.△DOB是等腰三角形.BD=OD..1.BD=OQ../BAC=60°,/ABC=80°,BQ平分/ABC,AP平分/BAC,・./BAP=30°,/ABQ=40°,./BOP=70°../BAP=30°,/ABC=80°,./APB=70°../BOP=/APB,• BOP是等腰三角形，，BO=BP..AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ.

题型5倍长中线法5.如图，在4ABC中，D为BC的中点.(1)求证：AB+AC>2AD;(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.6.如图，AB//CD,CE,6.如图，AB//CD,CE,证：BC=AB+CD.B C(1)证明：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.•.D为BC的中点，.•.CD=BD.又「AD=ED,/ADC=/EDB,ADC^AEDB.AC=EB..AB+BE>AE,.AB+AC>2AD.(2)解：•••AB—BE<AE<AB+BE,.AB—AC<2AD<AB+AC..AB=5,AC=3,•1-2<2AD<8.1<AD<4.点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题转化为证全等，从而利用全等三角形的性质解决问题.题型6截长补短法BE分别平分/BCD和/CBA,点E在AD上.求证明：如图，在BC上取一点F,使BF=BA.连接EF.・•・CE,BE分别平分/BCD和/CBA,3=/4,/1=/2.在4ABE和4FBE中，BE=BE

ABE^AFBE(SAS).ZA=/5..AB//CD,A+ZD=180°.又・•/5+/6=180°,，/6=/D.在^EFC和^EDC中，Z6=ZD,/3=/4,EC=EC,.△EFC^AEDC（AAS）,FC=DC..1.BC=BF+CF=AB+CD.点拨：证明一条线段等于两条线段的和的方法： 戳长法”或补短法戳长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段； 补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段.考点5:角平分线中常用作辅助线的方法考点分析：因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件 （角相等和公共边），所以在处理角的平分线的问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等 （SA9或向两边作垂线段（AAS）或延长线段等来构造全等三角形.题型1作一边的垂线段.如图，已知4ABC的周长是20cm,BO,CO分别平分/ABC和/ACB,ODLBC于点D,且OD=3cm,求AABC的面积.解：连接OA,过点。作OE^AB,OF±AC,垂足分别为E,F..BO是/ABC的平分线，且OD^BC,OEXAB,Saabc=Saboc+Saabo.-.OE=OD=3cm.Saabc=Saboc+Saabo+Saaco=2BCOD+2ABOE+"ACOF="(BC+AB+AC)OD=2X20M=30(cm2).

题型2作两边的垂线段.如图，已知/AOB=90°,OM是/AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA,OB交于点C,D,证明：PC=PD.证明：如图，过点P作PELOA于点证明：如图，过点P作PELOA于点E,PFLOB于点F,PEC=ZPFD=90°..OM是/AOB的平分线，PE=PF../AOB=90°,/CPD=90°,••/PCE+/PDO=360°-90-90=180°.而/PDO+ZPDF=180°,・./PCE=ZPDF.在4PCE和4PDF中，/PCE=/PDF,/PEC=/PFD,PE=PF,・.△PCE^APDF(AAS).PC=PD.延长作对称图形法3.如图，在4AOB中，AO=OB,/AOB=90°,BD平分/ABO,求证：BD=2AE.AEXBD,解：如图，延长AE交BO的延长线于点F.••AEXBE,./AEB=ZFEB=90°.••BD平分/ABOABE=ZFBE.又「BE=BE,ABE^AFBE.AE=FE..•.AF=2AE../AEB=ZAOB=90°,••/OAF+/AFO=90°,/OBD+/AFO=90°../OAF=/OBD.又..OA=OB,/AOF=/BOD=90°,AOF^ABOD(ASA).AF=BD..1.BD=2AE.题型4截取作对称图形法4.如图，AD为4ABC的中线，DE,DF分别是4ADB和4ADC的角平分线，求证：BE+CF>EF.证明：在AD上截取DH=BD,连接EH,FH.•••AD是BC边上的中线，BD=CD=DH.•••DE平分/ADB,./BDE=/HDE.又「DE=DE,.△BDE^AHDE(SAS).BE=HE.同理△CDF^AHDF(SAS)..•.CF=HF.在AHEF中，•••HE+HF>EF,BE+CF>EF.考点6:六种常见的实际应用考点分析：利用三角形全等解决实际问题的步骤：(1)明确应用哪些知识来解决实际问题； (2)根据实际问题抽象出几何图形；(3)结合图形和题意分析已知条件； (4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚.题型1利用三角形全等测量池塘两端的距离.如图，为了测量出池塘两端A,B之间的距离，在地面上找到一点C,连接BC,AC,使/ACB=90°,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就得到了A,B两点之间的距离.你能说明其中的道理吗？解：因为/ACB=90°,所以/ACD=180-ZACB=90°.在4ABC和4ADC中，BC=DC,/ACB=/ACD,AC=AC,所以△ABC^AADC(SAS).所以AB=AD.题型2利用三角形全等测量物体的内径.如图，已知零件的外径为a,要求它的厚度x,动手制作一个简单的工具,利用三角形全等的知识，求出x.

2.解：可设计如图所示的工具，其中 。为AC,BD的中点.AO=CO,在4AOB和△COD中，ZAOB=/COD,BO=DO,所以△AOB^ACOD(SAS).所以AB=CD,即CD的长就是A,B间的距离.因为AB=因为AB=a—2x,所以x=a—AB2二a—CD

2题型3利用三角形全等判断三点共线.如图，公园里有一条Z"字形道路ABCD,其中AB//CD,在AB,BC,CD三段路旁各有一个小石凳E,M,F,且BE=CF,M在BC的中点，试判断三个石凳E,M,F是否恰好在一条直线上？为什么？EBEB解：三个石凳E,M,F恰好在一条直线上.理由：:AB//CD, B=ZC,M是BC的中点，，BM=CM,BE=CF,在ABEM和4CFM中，/B=/C,BM=CM,.△BEM CFM(SAS)../BME=ZCMF.又・•/BMF+ZCMF=180°,./BMF+ZBME=180°.，三个石凳E,M,F恰好在一条直线上.

利用三角形全等解决工程中的问题.如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35cm,点B与点。的垂直距离AB长20cm,在点。处作直线平行于地面，再在直线上截取OC=35cm,过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm,连接OD,然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？解：在4AOB和ACOD中,OA=OC,/OAB=/OCD=90°,AB=CD,所以△AOB^ACOD(SAS).所以/AOB=ZCOD.又因为/AOB+ZBOC=180°,所以/BOC+ZCOD=180°,即/BOD=180.即/BOD=180.所以D,O,B三点在同一条直线上.所以钻头沿着DO的方向打孔，一定从点B处打出,题型5利用角平分线的性质求面积.育新中学校园内有一块直角三角形（Rt^ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在^ABD区域内种植了一串红，在^ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB=20m,AC=10m,求两种花草各种植的面积.解：过点D作口£，人8于£,DF，AC于F..・AD是/BAC的平分线，DE=DF.•.AB=20m,AC=10m,TOC\o"1-5"\h\zc1 1 1Saabc=2X20>^0=2X20XDE+2X10XDF,解得DE=DF=20m,..△ACD的面积=1X10丹=100(m2),2 3 3△ABD的面积=；><20号=号(m2).2 3 3答：一串红的种植面积是200m2,鸡冠花的种植面积是100m2

点拨：本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质、三角形的面积及作辅助线，利用三角形的面积求出 DE的长度是解题的关键。题型6利用角平分线的判定和性质设计方案6.如图，三条公路两两相交于A,B,C三点，现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有多少处？解：如图所示.①作出4ABC的两个内角的平分线，其交点为Oi；②分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为 。2,O3.故满足条件的修建点有三处，即点 Oi,。2,O3.点拨：解题的关键是分情况讨论：所选位置在三条公路所围三角形的内部和外部.考点6:四种常见的几何关系的探究考点分析：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础，三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此还可以获得直线之间的垂直（平行）关系，线段（面积）的和、差、倍、分关系.题型1位置关系1.如图，已知BEXAC,CFXAB,BM=AC,CN=AB.求证：AMLAN.Ny .证明：如图，;BE±AC,CFXAB,. 1+/BAC=90°,/2+/BAC=90°.=/2.又「BM=CA,AB=NC,.△ABMNCA../3=/N.//N+Z4=90°,

3+Z4=90°,即/MAN=90°.AM±AN.相等关系2,已知AABC,AB=AC,将AABC沿BC方向平移得到△DEF.(1)如图①，连接BD,AF,则BD=AF.(填多“4“或皂"号)(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC,DE,DF于点G,DF于点G,H,N,连接BH,GF.求证：BA=GF.(2)证明：将ADEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R,如图，••MN//BC,RC//EH,/GRC=ZRHE=/DEF,/RGC=/GCB,易得/GRC=/RGC, CGR是等腰三角形.CG=CR.又••.MN//BF,CR//EH,二.四边形RCEH为平行四边形，，CR=EH.•.CG=HE.由平移的性质得BC=EF,.BC+CE=CE+EF,即BE=CF.易得/HEB=/GCF,.△BEH心FCG(SAS),BH=FG.题型3和差关系3.如图，=/CFA=a,明./BCA=a,CA=CB,C,E,F分另是直线CD上的三点，且/BEC请提出对EF,BE,AF3.如图，=/CFA=a,明.题型4倍数关系.如图，在Rt^ABC中，/ABC=/A,/ACB=90°,D为AB边的中点，/EDF=90°,/EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC,CB（或它们的延长线）于点E,F.1当/EDF绕点D旋转到DELAC于点E时（如图（1））,易证S4def+Sacef=]Szxabc;当/EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图（2）和图（3）这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，Sadef,Sacef,Saabc又有怎样的关系？请说明你的猜想，不需证明.解：在题图（2）中结论仍成立；在题图（3）中不成立.对于题图（2）证明如下： A如图，过点D作DM^AC,DNLBC,垂足分别为M,N, |\则/DME=/DNF=/MDN=90。. ［匿飞K又・./A=/ABC,/AMD=/BND=90°,且易知DA=DB,ADM^ABDN,，DM=DN.•••/MDE+/EDN=/MDN=90°,/EDN+/NDF=/EDF=90°,・./MDE=ZNDF.・.△DME叁、DNF.二•S四边形DMCN=S四边形二•S四边形DMCN=S四边形DECF=SzXDEF+S/XCEF.由题图（1）可知S四边形DMCN1=2s△ABC,•SaDEF△CEF=g△ABC.1在题图（3）中，SaDEF,Sz\CEF,S△ABC间的系$△DEF—S△CEF=2s^ABC.

考点7:四类常见的热门题型考点分析：本章主要学习了全等三角形的性质与判定及角平分线的性质与判定， 对于三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系， 以及判断位置关系等，对于角平分线主要考查利用角平分线的性质求距离、证线段相等.题型1全等三角形的性质与判定1.如图所示,AB//EF//CD,ZABC=90,AB=DC,那么图中的全等三角形有(A31.如图所示,AB//EF//CD,ZABC=90,AB=DC,那么图中的全等三角形有(A3对2对1对0对2.如图,的长是(CAB,AC2.如图,的长是(CAB,AC边上，AM=2MB,AN==DN.在4ABC中，AC=5,F是高AD和BE的交点，AD=BD,WJBF)A.7B.6C.5D.43.如图，在z\ABC中，已知AB=AC,AD平分/BAC,点M,N分别