九年级数学圆单元知识点总结及习题练习教师版

16/16九年级数学《圆》知识点祥解与习题检测一、圆的概念集合形式的概念：、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系、点在圆内点在圆内；、点在圆上点在圆上；、点在圆外点在圆外；三、直线与圆的位置关系、直线与圆相离无交点；、直线与圆相切有一个交点；、直线与圆相交有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图）无交点；外切（图）有一个交点；相交（图）有两个交点；内切（图）有一个交点；内含（图）无交点；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论：（）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共个定理，简称推定理：此定理中共个结论中，只要知道其中个即可推出其它个结论，即：①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意个条件推出其他个结论。推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称推定理，即上述四个结论中，只要知道其中的个相等，则可以推出其它的个结论，即：①；②；③；④弧弧七、圆周角定理、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角∴、圆周角定理的推论：推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角∴推论：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙中，∵是直径或∵∴∴是直径推论：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△中，∵∴△是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边形是内接四边形∴九、切线的性质与判定定理（）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵且过半径外端∴是⊙的切线（）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理与推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴平分十一、圆幂定理（）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙中，∵弦、相交于点，∴（）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙中，∵直径，∴（）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙中，∵是切线，是割线∴（）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙中，∵、是割线∴十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、两点∴垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（）公切线长：中，；（）外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（）正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式、扇形：（）弧长公式：；（）扇形面积公式：：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积、圆柱：（）圆柱侧面展开图（）圆柱的体积：（）圆锥侧面展开图（）（）圆锥的体积：九年级数学第二十四章圆测试题（）时间：分钟分数：分一、选择题（每小题分，共分）图——．若⊙所在平面内一点到图——．．．或．或．如图——，⊙的直径为，圆心到弦的距离的长为，则弦的长是（）．．．．．已知点为△的外心，若∠°，则∠的度数为（）．°．°．°．°．如图——，△内接于⊙，若∠°，则∠的度数为（）．°．°．°．°图——图——图——图——图——图——．如图——，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子、在点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点靠在圆周上，读得刻度个单位，个单位，则圆的直径为（）．个单位．个单位．个单位．个单位．如图——，为⊙的直径，点在⊙上，若∠°，则∠等于（）．°．°．°．°．如图——，为⊙外一点，、分别切⊙于、，切⊙于点，分别交、于点、，若，则△的周长为（）．．．．．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为，母线长为，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（）．．．．图——图——．如图图——图——．π．π．π．π．已知在△中，，，那么△的内切圆的半径为（）．．．．．如图——，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依、、、、、、、、的顺序沿着圆周上的段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这段路径上不断爬行，直到行走π后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（）．点．点．点．点二、填空题（每小题分，共分）．如图——，在⊙中，弦等于⊙的半径，⊥交⊙于点，则∠。．如图——，、与⊙相切于点、，∠゜，为⊙上异于、的一个动点，则∠的度数为。图——图——图——图图——．已知⊙的半径为，点为⊙外一点，长为，那么以为圆心且与⊙相切的圆的半径为。．一个圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积是。．扇形的弧长为π，面积为π，则扇形的半径为。．如图——，半径为的圆形纸片，沿半径、裁成：两部分，用得到的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径分别为。．在△中，∠゜，，，以为圆心，为半径作圆与斜边相切，则的值为。．已知等腰△的三个顶点都在半径为的⊙上，如果底边的长为，那么边上的高为。．已知扇形的周长为，面积为，那么扇形的半径为。图——．如图——，为半圆直径，为圆心，为半圆上一点，是弧的中点，交弦于点。若，，则的长为图——三、作图题（分）．如图——，扇形的圆心角为°，半径为.⑴请用尺规作出扇形的对称轴(不写做法,保留作图痕迹).图——⑵图——四．解答题（小题分、小题分，小题分，共分）．如图——，、是⊙的两条弦，且，求证：。图图——图——⌒．如图——，已知⊙的半径为，点为半径的延长线上一点，射线切⊙图——⌒．已知：△内接于⊙，过点作直线。（）如图——，为直径，要使为⊙的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：①；②；③。（）如图——，是非直径的弦，∠∠，求证：是⊙的切线。图图——图——第二十四章圆（）一、选择题．．．．．．．．．．．二、填空题．゜．゜或゜．或．π．．．．．或．三、作图题．（）提示：作∠的角平分线，延长成为直线即可；⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒（）∵扇形的弧长为，⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒．证明：∵，∴，∴，即，∴。⌒．解：设∠，∵的长为，∴，解得。∵为⊙的切线，∴△为直角三角形，∴，∴。．（）①⊥；②∠∠；③∠°。（）连接并延长交⊙于点，连接，则为⊙的直径，∴∠∠°。∵∠与∠同对弧，∴∠∠，又∵∠∠，∴∠∠，∴∠∠°，∴是⊙的切线。九年级数学第二十四章圆测试题（）时间：分钟分数：分一、选择题（每小题分，共分）．已知⊙的半径为，为线段的中点，当时，点与⊙的位置关系是（）．点在⊙内．点在⊙上．点在⊙外．不能确定．过⊙内一点的最长弦为

，最短弦长为，则的长为（）图——．．．．图——．在△中，是内心，∠°，则∠的度数为（）．°．°．°．°．如图——，⊙的直径与的夹角为°，切线与的延长线交于点，若⊙的半径为，则的长为（）．．．．．如图——，若等边△内接于等边△的内切圆，则的值为（）图——．．．．图——图——．如图——，⊙图——．（，）．（，）．（，）．（，）．已知圆锥的侧面展开图的面积是π，母线长是，则圆锥的底面半径为（）．．．．．如图——，⊙和⊙内切，它们的半径分别为和，过作⊙的切线，切点为，则的长是（）图——．．．．图——图——．如图——，⊙的直径为，周长为，在⊙内的个圆心在上且依次相外切的等圆，且其中左、右两侧的等圆分别与⊙图——．<．．>．不能确定．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是、、，则下列关系成立的是（）．．>>．<<．>>⌒⌒二、填空题（每小题分，共分）⌒⌒．如图——，是⊙的直径，，∠°，则∠。图——图——图——图——．如图——，是⊙图——图——图——图——图图——．⌒⌒如图——，、分别是⊙的半径、上的点，⊥，⊥，，则与弧长的大小关系是。⌒⌒⌒．如图——，、是⊙的半径，是⊙上一点，若已知∠º∠°,则∠.⌒．（·江苏南通）如图——，正方形内接于⊙，点在上，则∠.图——图图——图——图——图图——．（·山西）如图——，已知∠°，为边上一点，以为圆心，长为半径作⊙，若点在边上运动，则当时，⊙与相切。.如图——，在⊙中，弦，圆周角∠°，则⊙的直径等于。．如图——，、、是⊙上三点，当平分∠时，能得出结论：（任写一个）。．如图——，在⊙中，直径与弦相交于点，若，，，则⊙的半径是。图——．（·潍坊）如图——，正方形的边长为，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，分别交、于、两点，与切于点，则图中阴影部分的面积是图——三、作图题（分）．如图——，已知在△⊙中，∠°，请用圆规和直尺作⊙，使圆心在上，且与、两边都相切。（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）图图——四、解答题（第、小题每题各分，第小题分，共分）图——．如图——，是⊙图——．如图——，在⊙中，是直径，是弦，⊥。图——（）是优弧上一点（不与、重合），求证：∠∠图——（）点′在劣弧上（不与、重合）时，∠′与∠有什么数量关系？请证明你的结论。五、综合题．如图——，在平面直角坐标系中，⊙与轴相切，且点坐标为（，），直线过点（—，），与⊙相切于点，求直线的解析式。图图——第二十四章圆（）一、选择题．．．．．．．．．．二、填空题．°．．相等．°．°．．．．