电磁场与电磁波：第4章 静态场边值问题的解法3

习题例题4.3.1改为不接地,求球内电场.图1点电荷q置于金属球壳内任意位置的电场b

-q’d(金属球壳内)解:

已知接地情况下的解为:关键一：不接地情况比之接地情况的不同点在于球壳不再是零电位，而是一常数电位球。关键二：如何再用像电荷获得球壳上的常数电位，即大小、分布？11/20/20221错解：绝大部分人的答案：加一放在球心的+q’

。原因：球内是待求解区域，不能放像电荷。正解：球壳外表面上均匀分布电荷+q’’。且由此电荷单独产生的电势是使整个球为等位体。所以球内任一场点的电位为：关键三：q’’=？图1点电荷q置于金属球壳内任意位置的电场=q’？=q？11/20/20222§4.5

有限差分法

有限差分法（FiniteDifferentialMethod）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题。当场域边界的几何形状比较复杂时，很难用解析法进行分析。应采用数值计算法。有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题，通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解。11/20/20223

有限差分法是将求解区域划分成网格，把区域内连续的场分布用网格节点上的离散的数值解代替。

应用有限差分法计算静态场边值问题，需要把微分方程用差分方程代替。

网格的划分有不同的方法，我们只需要掌握正方形网格划分。

有限差分法是求解电磁场问题的数值方法。

对于边界条件过于复杂的电磁场问题，无法求得解析解。11/20/202241．差分原理设有一函数f(x)，当独立变量x有一微小增量x＝h，相应f(x)的增量为：

f(x)=f(x+h)-f(x)

称为函数f(x)的差分。不同于增量为无限小的微分，差分被称为有限差分。当h很小时，f(x)df(x)中心差分f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)11/20/20225一阶差商：二阶差商偏导数也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示为差分方程（代数方程）。

11/20/202262.二维泊松方程的差分格式（1）（2）二维静电场边值问题：11/20/20227

通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为h,节点0,1,2,3,4上的电位分别用和表示。（3）有限差分的网格分割11/20/20228有限差分的网格分割将和分别代入式(3),得（4）（5）考虑1，3两点x1=xo+h,x3=xo-h如果h足够小,忽略h三次方以上项11/20/20229（8）同理由（4）–（5）由（4）+（5）（6）（7）（9）将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式上式用x0点中心差商代替该点的偏导数,步距越小,误差越小。11/20/202210当场域中，得到拉普拉斯方程的五点差分格式若场域离散为矩形网格，差分格式为：12

上式表示任意一点的电位等于围绕它的4个点的电位的平均值。

对每一网格点写出类似的式子，得到方程数与未知电位的网格点数相等的线性方程组。

将边界条件离散化，作为边界上节点的已知电位。11/20/202211

3.边界条件的离散化处理1）第一类边界条件

给边界离散节点直接赋已知电位值。2）

对称边界条件合理减小计算场域，差分格式为11/20/202212

3）第二类边界条件边界线与网格线相重合的差分格式（即给定0点位函数的法向导数值）：

4）介质分界面衔接条件的差分格式其中边界条件的离散化处理11/20/202213设将场域划分如图.边界上的值分别为f1,………f16。在各内点上作出差分，泊松方程变成下列差分方程组

4.差分方程组的求解方法1)简单迭代法11/20/20221411/20/202215解出关于1，2…..9的代数联立方程组，即可求出各点的函数值。算法以解拉普拉斯方程为例。（1）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。（2）按一固定顺序(从左到右，从下到上)依次利用11/20/202216计算内点o点的新值。即o点的新值就是围绕该点的4个点的电位的平均值。11/20/202217如（j，k）点在第n＋1次迭代时按下式计算：当所有的内点都计算完后，用他们的新值代替旧值，完成一次迭代。再进行下一次迭代。直到每一点计算得到的新值与旧值之差小于指定的范围。这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电位作为下一次迭代时的初值。11/20/202218例1已知一正方形截面的无限长金属盒。盒子两侧及底部电位为零，顶部电位为100V，求盒内的电位分布。根据二维拉氏方程的有限差分形式得点5的电位为一、简单迭代法

对每一网格点赋初值:点1、3电位为点7、9电位为点4、6电位为点2电位为点8电位为11/20/202219

初值给定后，按一固定顺序，利用拉氏方程的差分形式，用围绕它的4个点的电位的平均值作为其新值，依次计算每点的电位。当所有点计算完后，用新值代替旧值，即完成一次迭代。然后再进行下一次，直到每一点计算的新值和旧值之差小于指定的范围。点的电位在n+1次迭代时由下式计算11/20/2022202)高斯——赛德尔迭代法式中：

迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。

迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足为止。高斯——赛德尔迭代法

即计算（i，j）点时，左边点（i，j-1）和下面点（i-1,j）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。11/20/2022213）超松弛迭代法式中：——加速收敛因子为使计算时收敛速度更快，常采用超松驰法。点第n+1次的电位由下式计算为了加快收敛，可引进一个松驰因子，点（i,j）第k+1次迭代变为有一个最优值，如果选择恰当，将大大地提高收敛速度。11/20/202222

迭代收敛的速度与

有明显关系：最佳收敛因子的经验公式：（正方形场域、正方形网格）（矩形场域、正方形网格）

收敛因子（）1.01.71.81.831.851.871.92.0

迭代次数（N）>1000269174143122133171发散最佳收敛因子0的取值随问题而异。对第一类边值问题，正方形场域，网格按正方形划分，每边结点数p＋1，则11/20/202223迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关；迭代收敛的速度与工程精度要求有关：借助计算机进行计算时，其程序框图如下：11/20/202224启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求

所有内点相邻二次迭代值的最大误差是否小于打印

停机NY

迭代解程序框图11/20/202225例2一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位4＝100。求槽内电位分布。

解：二维场第一类边值问题。将二维场域划分成正方形网格，步距h=a/4。场域内任一点电位应满足二维拉普拉斯方程的差分计算格式。11/20/202226采用超松弛迭代方法。迭代公式按

可算得=1.17所有内点从零值初始值开始迭代求解。本题第一类边值，结点与边界重合，所有网格点迭代前的初值如图。11/20/202227迭代次数N分别为1，2，3，4时各网格内点的数值解如图。11/20/202228若规定各网格内点相邻两次迭代值的绝对误差应小于10－5，得到各内点的电位数值解如图。此时N＝13。从结果看电位分布关于y轴有对称性。实际计算可只一半区域，而将网格划分得更细。以得到更理想到数值解。11/20/202229上机作业要求(有条件的同学选做)：1.试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。已知：给定边值：如图示；给定初值误差范围选取计算：迭代次数N=?

分布。接地金属槽的网格剖分11/20/202230已知：给定边值：如图示；给定初值误差范围计算：1.迭代次数N=?

分布；

2.按电位差画出槽中等位线分布图。2.按对称场差分格式求解电位的分布

接地金属槽内半场域的网格剖分11/20/202231

3.已知：无限长矩形屏蔽空腔中长直矩形导体的横截面如图示，且给定参数为

无限长矩形屏蔽空腔中长直矩形导体的横截面要求:1.用超松弛选代法求解无限长矩形屏蔽空腔中长直矩形导体周围的电位分布;2.画出屏蔽腔中矩形导体周围等位线分布;3.画出屏蔽腔中矩形导体周围电位分布曲面。11/20/202232已知场域边界上各点电位值自然边界条件参考点电位有限值边值问题微分方程边