建筑工程之结构力学讲义5

渐近法第10章11/20/202211、线性代数方程组的解法:直接法渐近法2、结构力学的渐近法力学建立方程，数学渐近解不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。3、位移法方程的两个特点:(1)每个方程最多是五项式；(2)主系数大于副系数的总和，即kii>kij，适于渐近解法。4、不建立方程组的渐近解法有：(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。(2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。(3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。它们都属于位移法的渐近解法。kiikikkijkirkis§10-1渐近法概述11/20/20222§10-2力矩分配法的基本概念力矩分配法理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。一、转动刚度S：11/20/20223分配系数SAB

=4i1SAB=3i11SAB=i二、分配系数设A点有力矩M，求MAB、MAC和MADCABDiABiACiADM如用位移法求解：MMABMACMAD于是可得11/20/20224三、传递系数MAB=4iAB

AMBA=2iAB

AMAB

=3iABAMAB=iABAMBA=-iAB

A在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。AlAB近端远端ABAAAB11/20/20225——基本运算ABCMABMBAMBCABCMABPMBAPMBCPMBMBMBAMBCMB=MBA+MBCABC-MB0-MB+=最后杆端弯矩：MBA=MBAP+MBC=MBCP+MAB=MABP+然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号§10-3单结点的力矩分配11/20/20226例1.用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1）B点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=MB= MBA+MBC=-150150-90（2）放松结点B，即加-60进行分配60ABC-60设i=EI/l计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数：0.5710.429分配力矩:-34.3-25.7-17.20+(3)最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图(kN·m)ABC=11/20/20227§10-4多结点的力矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了MC’固定放松，平衡了-MC’固定固定放松，平衡了——渐近运算11/20/20228CB例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN0.40.60.6670.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（kN·m）11/20/20229ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kN·m）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力68.256.4B124.611/20/202210上题若列列位移法法方程式式，用逐逐次渐近近解法：：(1)将上式改改写成(2)余数(3)BC第一次近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08结果果B=48.84C=-82.89精确值48.88-82.06MBC=4iBCB+2iBCC-100=11/15/2022111）单结结点力力矩分分配法法得到到精确确解；；多结结点力力矩分分配法法得到到渐近近解。。2）首先先从结结点不不平衡衡力矩矩绝对对值较较大的的结点点开始始。3）结点点不平平衡力力矩要要变号号分配配。4）结点点不平平衡力力矩的的计算算：结点不不平衡衡力矩矩（第一一轮第第一结结点））固端弯弯矩之之和（第一一轮第第二、、三……结点））固端弯弯矩之之和加传递递弯矩矩传递弯弯矩（其它它轮次次各结结点））总等于于附加加刚臂臂上的的约束束力矩矩5）不能能同时时放松松相邻邻结点点（因因定不不出其其转动动刚度度和传传递系系数）），但但可以同时时放松松所有有不相相邻的的结点点，以以加快快收敛敛速度度。力矩分分配法法小结结：11/15/2022120.222111ABCDFEBCmBA=40kN··mmBC=-41.7kN··mmCB=41.7kN··m0.30.40.30.4450.33340-41.741.7-18.5-9.3-13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5-0.7-0.50.150.150.2-4.651.65-0.250.0743.453.45-46.924.4-9.8-14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图例2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE11/15/202213ABC1m5m1mEI=常数D50kN5/61/65025-20.8-4.2-20.8+20.8+50例3.带悬臂臂杆件件的结结构的的力矩矩分配配法。。50kN·mABMM/2ABC1m5m1mEI=常数D50kN11/15/2022144EI4EI2EI2EI用力矩分配配法计算，，作M图。取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(－20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.20MB=31.25－20.83=10.42MC=20.83－20－2.2=－1.370.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.09ABCEF11/15/202215－2.85结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(-20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.200.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.090.060.030.020.03－0.01－0.01－0.01M0－1.4227.80－24.9619.940.560.29计算之前,去掉静定伸伸臂,将其上荷载载向结点作作等效平移移。有结点集中中力偶时,结点不平衡衡力矩=固端弯矩之之和－结点点集中力偶(顺时针为正正)11/15/202216↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i↓↓↓↓↓↓20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4iμAG=0.5μAC=0.5μCA=0.4μCH=0.2μCE=0.4结点杆端ACEAGACCACHCECHmμ0.50.50.40.20.4－1511/15/2022170.50.50.40.20.4－157.57.53.75－1.50－0.75－1.50－0.75－0.750.370.380.19－0.08－0.03－0.08－0.04－0.040.020.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmμM－7.117.112.36－0.78－1.58－0.79↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)11/15/202218例、求矩形形衬砌在上部部土压力作用用下的弯矩图图。l1l2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABDCEI1I2↓↓↓↓↓↓↓qEBF解：取等代结结构如图。设梁柱的线刚刚度为i1，i22i12i222iSBF=21iSBE=212iiiBF+=m211iiiBE+=m12)2(32121qllqmBE==212iii+i211ii+BEBFμ11/15/202219ABDCEFμBEBF212iii+i211ii+mMM图当竖柱比横梁梁的刚度大很很多时(如i2>20i1),梁端弯矩接近近于固端弯矩矩ql2/12。此时竖柱对横横梁起固定支支座的作用。。当横梁比竖柱柱