排列数、组合数公式常见题型例析

排列数、组合数公式常见题型例析广东省佛山市顺德区沙涪中学528315何健文纵观近10年高考，有关排列数、组合数公式的运用一直都是出题的冷点，试题偶有所见，大都是以选择题或填空题形式出现，属容易题，但2001年全国高考题的第一大题的出现，令众多考生束手无策，也引起了师生们的极大关注。本文拟从以下两方面介绍有关排列数、组合数公式常见题型和解题分析，供二一U上土*广大读者参考。一、排列数、组合数公式及变形公式nn!1、排列数公式Am=n(n-1)(n-2)„(n-m+1)=(】特别地An=n(n-1)(n-2)„3・2・1，规定0！=1；nn(n—1)(n-2)…(n-m+1)

m(m—1)…3-2-1注意：n>m且n,m都是正整数，m可以为0,3、两个重要性质2、组合数公式CmnAm——n—Amm即C0=1.nn!m!(n-m)「__n通常将Cm转化为Cn-m；(1)Cm=Cn-m，为了简化计算，当m＞方通常将Cm转化为Cn-m；(2)Cm+Cm-1=Cm.由这些性质可以得!到几个常用变形公式(组合恒等式):(i)Cm=nnm+1厂,Cm-1=Cm+1mn-1n+1n+1(i)Cm=nC0+C1+C2+„+Cn=2n.(n+1)!=(n+1)•n!=n•n!+n!.nn•n!=(n+1)•n!—n!.Cn+Cn+Cn+•••+Cn=Cn+1等等.二、排列数、"+组合数公式常见题型碾甘1、求值例1求C7-n+C9-n的值.解：由题意可知，原式中的正整数n必须满足下列条件：{0W7-nWn,0W9-nWn+1,解得4WnW9.(neN*)neN*....n=4,5,6,7.将n=4,5,6,7.代入C7-n+C9-n可得到分别为5，25，41，29.评析本题从组合数成立的条件(0WmWn且n,m都是自然数)入手，既找到了解题路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举两得.另一方面，我们从中又得到一个启发：利用组合数的性质解决某些问题，要比纯用组合数公式解决问题方便的多.例2计算C3+C3+C;+•••+q*.解：利用组合数性质：Cm1=Cm+Cm-1.原式=C4+C3+C3+C3+„+C3—C4=C4+C3+C3+„+C3—C:=...=C4—1=329.11评析正确使用组合数的性质及组合数的计算公式是解本题的关键。解题时，要抓住公式的结构特征，应用时可以结合题目的特点，灵活运用公式变形，达到解题的目的。本题还可以利用性质(2)的变形恒等式：Cm-1=Cm一Cm.原式=(C4—C4)+(C4—C4)+..•+(C：—C0)=C：—1=329.

2、解方程或不等式3(尤一3)!=5“-4)!3(尤一3)!=5“-4)!(x-7)!4!(x-6)!解：由排列数和组合数公式，原方程O3(x-3)(x-4)!_5(x-4)!(x-7)!4!(x-6)(x-3(x-3)(x-4)!_5(x-4)!(x-7)!4!(x-6)(x-7)!ox2-9x一22=0°x=11或x=—2.经检验知x=11是原方程的根，X=—2是原方程的增根，所以方程的根为x=11.评析排列数和组合数公式都有两种形式：①乘积形式；②介乘形式，前者多用于具体数字计算，后者多用于含字母的组合数恒等变形，证明等式或不等式。例4解不等式Cn-5>C3+2C2+n-2.n-2n-2n-2n-1n-1nn!n!11—>.20(n-3)(n-4)解：原不等式°Cn-5>n-2n-2n-2n-1n-1nn!n!11—>.20(n-3)(n-4)°n2一7n-8>0.°n>8,或n<-1（舍去）...・原不等式的解集为neN*|n>8〔评析化归为常规方程或不等式是解决这类问题的常用方法。解出方程或不等式后，一定要对所得结果进行检验，看是否满足条件，然后把不符合的解舍去.3、在二次展开式中的应用例5求（2+x）10的展开式中系数最大的项.解：设第r+1项的系数最大，则有|C0•210-r>C打1・211-rCr•210-r>CrCr•210-r>Cr+1•29-r1010!c的、•210-r>(r-1)!(11-r)!r!(10-r)!10!.210-rr!(10-r)!即10!•211-r10!>•29-r(r+1)!(9-r)!1>2(r11-r'2>110-rr+1解得3WrWg.re^,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},r=3.,•.r=3时，T4=C30•27•x3为所求的系数最大的项.评析求解系数最大的项此类问题的关键是运用通项公式，正确列出不等式组，同时还应重视整数解的寻找。解题时要审清题意，搞清所求最大项是指数值最大项，还是系数最大项，还是指二项式系数最大的项。除此之外还应注意公式的两种形式（①乘积形式②介乘形式）的应用，变形时要观察有没有含介乘的公因式，若有，要及时提出公因式。二项式系数最大的项有如下性质（参见《全日制普通高级中学教科书（试验修订本•必修）数学第二册（下B）》第109页）：在（a+b）n的展开式中n-1〜n+1〜八心当n为奇数时，中间两项（第2+1项和第2+1项）的二项式系数最大为匕2和匕2

TOC\o"1-5"\h\znn当n为偶数时，中间一项(第元+1项)的二项式系数最大为C2.2n4、证明恒等式或不等式例6求证：Co+2Ci+3C2+„+nCn=n,2n-1..„n„证法一：利用组合数性质的变形公式Cm=-Cm-1，则有nmn-1左边=nC0+nC1+nC2+„+nCn-1=n(C0+C1+C2+„+Cn-1)=n-2n-i=右边.n-1n-1n-1n-1n-1n-1n-1n-1(其中C0+C1+C2+..•+Cn-1=2n-1，下同)n(n-1)n(n-1)(n-2)/..证法二：边=n+2+3+•••+(n—1),n+n23•2•1=n[1+2竺!)+3(〃-1)(〃-2)+..•+(n-1).+1]23•2•1=n(C0+C1+C2+•••+Cn-1)=n・2n-1=右边.n-1n-1n-1n-1证法三：构造一个组合问题数学模型：“某班有n人，现组织一些人做交通安全宣传队，选一名同学做队长，这样的有队长的宣传队共可组成多少组？”。一种解法是选确定队长，有C1种方法，然后对余T(n-1)人分别选择，每个人有选上和选不上两种可n能，由分步计数原理知共有n・2n-1种组队方法；另一种解法是按宣传队的人数分类计数，在每类中分别选队长，由分类计数原理可知应有Co+2C：+3C+„+nCn种组队方法。所以Co+2Ci+3C2+„+nCn=n・2n-1.一n!评析组合数公式Cm=——-有许多变形式，在证明与二项式系数有关的恒等式时，特别要注nm!(n—m)!-n一m+1一意公式的变形式的应用，此题就用到了最常用的变形式：c=mC二1=井1Cn^。若此题作如下改变：求证：Co+2C：+4C：+„+2nCn=3〃(提示：利用二项展开式，赋字母以适当的值——赋值法);求值：C0-2C1+3C2-4C3„+(n+1)(-1)nCn(答案为0).上述问题如何解决呢，n它的推广形式又是什么？留给读者自己思考。例7(2001全国高考题改编)已知i,m,n是正整数，且1<iWm<n.证明：niAi<miAi；证明：(1+m)n>(1+n)m.⑴证明：对于1<iWm<n,有A/=m(m-1)•••(m-i+1)eAimm一1m一i+1mimmmnnn一i+1••••nAinnn一i+1••••n同理—ni,m一kn一kAiAi由于m<n，对整数k=1,2,3,…，i-1,都有一<~^~，所以了〉浦即niAi<miAi.(1+n)m=C0n0+C1n1+•••+Cmnm。(2)证明：由二项式定理有(1+m)n=C0m0+C1m1+•••+Cn(1+n)m=C0n0+C1n1+•••+Cmnm。而miAi>niAi.Cmmm>Cmnm又Com0=Con0,Cim1=Cin1(1+m)n>(1+n)m.评析本题以排列、组合、二项式定理的基础知识为载体，把它们融于不等式的证明之中，结构简洁、精巧，富有创意，突出了数学的抽象推理，是一道以能力立意命题的范题。本大题有多种解法此就不-赘诉。5、在数列中的应用特别说明：例6的第四种证法就是应用数列求和方法之倒序相加法证明(此略).上题可作推广：设a,a,a，…，a成等差数列，求证：012naC0+aC1+aC2+.••+aCk+•••+aCn=(a+a)•2n-10n1n2nknnn0n例8已知数列“｝满足a,=n-2n-1(neN)，是否存在等差数列bJ，使nn使对一切自然数n成立。n得1=biCi1，所以气=1；得4=bC1+bC2，所以bnn使对一切自然数n成立。n得1=biCi1，所以气=1；得4=bC1+bC2，所以b=2；

12222得12=bC1+bC2+bC3，所以b=3.1323333时，n-2n-1=bC1+bC2+bC3hfbCnn!(n-1)!-nCk-1.n-11n/n3nn」nni解：假设等差数列bJ，当n=1时当n=2时当n=3时猜测b=n,/kCk=kn;:=nk!(n-k)!(k-1)!(n-k)!n-1C1+2C2+3C3+•••+nCn=n(C0+C1+C2•••+Cn-1)=n-2n-1.n-1nnnnn-1n-1n-1'故存在等差数列b=nJ,使已知等式对一切neN成立.6、在实际应用题市的应用种，例9一条铁路原有n个车站，为适应客运的需要，新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62问原有多少车站？现有多少个车站？种，解：..•原有n个车站，原有车票A2种.n又•.•现有n+m个车站，现有车票A2种.n+m依题意有A2-A2=62,整理得2mn+m2-m=62,31Tnn=——(m-1).m2311又neN*，...一>二(m—1)，即m2-m-62<0且m>1.m21^249...1<m<——-——且meN*,/.m=2,3,4,5,6,7,8.当m=2时，n=15；