排列组合公式

排列组合公式1分类计数原理（加法原理）N=m+m2+|||+mn2•分步计数原理（乘法原理）N=mAxmbA|xmn3.排列数公式n!An=n（n1）（n-m=（n-m）!（n,m€n*，且m兰n）注:规定0!".•排列恒等式⑴川珂n-m1）Am」；Am^A：」n-mAm⑷nAi*—；(5)愕A?m篇1!22!33!川nn!=(n1)M•组合数公式Ann(n•组合数公式Ann(n-1)”"(n-m+1)cn\Am=1正2必..汇m•组合数的两个性质CmngC(1)n—nm;mCCm注:规定Cn=1•组合恒等式m-4(1)n!m!(n_m)!(nn*,mAN,且m兰n)n-mCm(4)『-n1⑹C：+cn+C；+_=2n.Cm(4)『-⑺cn+C；十C；+…=C；+C；+C：+...2：1—^x2c—3—n八n_1（8）Cn+2Cn+3Cn+…十nCn=n2r0r-110rrr（9）CmQCmCnCmQ=Cm韦（10）（C0）2+（C1）2+（C2）2k+（C；）2=C；n.&排列数与组合数的关系A>mCnm・9.单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列•（1）在位”与不在位”_Am」某（特）兀必在某位有A1」种；A”m41Aml某（特）元不在某位有A1A14（补集思想）一AnjAlJ（着眼位置）二阳」儿J人叮（着眼元素）种（2）紧贴与插（即相邻与不相邻）空①定位紧贴：八k（k-m_n）个元在固定位的排列有akA*种.浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有心人种.主：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h个（k兰h+1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhAh1种・（3）两组元素各相同的插空m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法?An当nm1An（4）两组相同元素的排两组兀素有m个和n个，各组兀素分别相问的排列数为列：CmnAm1时，有AnN=CmnCmn_nCmn_2n10.分配问题（1）（平均分组有归属问题）将相异的m、法数共有二Cm1种排法•nn(mn)!（4）两组相同元素的排两组兀素有m个和n个，各组兀素分别相问的排列数为列：CmC2nCn一n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方（2）（平均分组无归属问题）将相异的m•分配方法数共有n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其Cmnmnn.C「…・「伽)！mn-2nm!(n!)m（3）（非平均分组有归属问题）将相异的P（P=ni+门2+川+nm）个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到属，°2，…，nm件，且\n2,…，Hm这m个数彼此不相N乂；1n』・打仙四等，则其分配方法数共有pnm川『"…心（4）（非完全平均分组有归属问题）将相异的P（P=ni+口2+2mnm）个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1,n2，..・，诵件，且g…个相等，则其分配方法数有n2,…，nm这m个数中分别n1…Cm!a!b!c!…mp!m!n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）（非平均分组无归属问题）将相异的P（P=ni+n#1+n）个物体分为任意的n1,服，，nm件无记号的m堆，且口，n2,nm这m个数彼此不相等，则其分p!N=配方法数有n!n"..n.||!（6）（非完全平均分组无归属问题）将相异的P（P=口+川n1+口2+nm）个物体分为任意的、nm件无记号的m堆，且n1,压,入这m个数中分别有a、b、c、P!个相等，则其分配方法数有njn2!...nm!（a!b!c!…）等m个人（7）（限定分组有归属问题）将相异的P（P=n1+门2+川+nm）个物体分给甲、乙丙，…物体必须被分完，如果指定甲得m件，乙得n2件，丙得件，…时,p!nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有nmno—.G=njn2mmi11等m个人p!贝努利装错笺问题：信n封信与n个信封全部错位的组合数为1111推广：n个元素与n个位置，其中至少有m个元素错位的不同组合总数为3¥3¥4器-AnAn(-1)学川(-1加八］AnAn⑴方程为+*2+川+人5（n,mN）的正整数解有（2）方程x1+x2+川I+X⑴方程为+*2+川+人5（n,mN）的正整数解有（2）方程x1+x2+川I+Xn二m⑶方程X1+X2+川+%=mC（n，mEN\满足条件为*（〃『，2勺兰n-1）的非负Cn42）个.整数解有2）个.m1n,mWN'满足条件从％⑷方程*+专+川飞=m(-C1Cn4C2Cn2mn_k.2n2“『，22兰n-1）的正整数解有-川（1）2nn-4n2m13