届高考数学二轮复习课时训练指数函数对数函数及幂函数 省赛获奖

第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3)1.已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(2)<f(3)，则实数a的取值范围是________．答案：a>12.函数f(x)＝eq\r(log\s\do9(\f(1,2))（x－1）)的定义域为________．答案：(1，2]3.函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过一定点是________．答案：(2，2)4.幂函数y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,8)))，则满足f(x)＝27的x的值是________．答案：eq\f(1,3)解析：设f(x)＝xα，则(－2)α＝－eq\f(1,8)，∴α＝－3，∴f(x)＝x－3.由f(x)＝x－3＝27，得x＝eq\f(1,3).5.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a、b、c的大小关系为________．答案：a>b>c解析：a＝1＋eq\f(1,log23)，b＝1＋eq\f(1,log25)，c＝1＋eq\f(1,log27)，考查函数y＝log2x，有0<log23<log25<log27，所以a>b>c.6.如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y＝logeq\s\do9(\f(\r(2),2))x，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))解析：由条件得，2＝logeq\s\do9(\f(\r(2),2))x，2＝xeq\s\up6(\f(1,2))，所以xA＝eq\f(1,2)，xB＝4，于是xC＝4，所以yC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,4)，所以点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).7.已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是________．答案：[0，1]解析：由题意，a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4－4a≥0，))所以0≤a≤1.8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________．答案：(10，12)解析：不妨设a<b<c，则由f(a)＝f(b)ab＝1，再根据图象易得10<c<12.9.已知函数f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,－n2＋2n＋3))(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上是递增的，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．解：由条件知，eq\f(1,－n2＋2n＋3)>0，解得－1<n<3.由于n＝2k，k∈Z，所以n＝0，2.当n＝0，2时，f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,3))，所以f(x)在R上为单调递增函数，由f(x2－x)>f(x＋3)，得x2－x>x＋3，解得x<－1或x>3，所以不等式的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10.已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(x,27)))(log33x)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,27)，\f(1,9)))，求函数f(x)的最大值和最小值．解：f(x)＝(log3x－3)(log3x＋1)＝(log3x)2－2log3x－3.令log3x＝t，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,27)，\f(1,9)))，∴t∈[－3，－2]，∴g(t)＝t2－2t－3＝(t－1)2－4在t∈[－3，－2]上是减函数，∴fmax(x)＝g(－3)＝12，fmin(x)＝g(－2)＝5.11.函数y＝logax(x＞1，a＞1)图象上有A、B、C三点，横坐标分别为m、m＋2、m＋4.(1)求△ABC的面积S＝f(m)；(2)判断S＝f(m)的单调性和值域．解：(1)S△ABC＝S梯形AA1B1B＋S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C＝eq\f(1,2)[logam＋loga(m＋2)]×2＋eq\f(1,2)[loga(m＋2)＋loga(m＋4)]×2－eq\f(1,2)[logam＋loga(m＋4)]×4＝2loga(m＋2)－logam－loga(m＋4)＝logaeq\f(（m＋2）2,m（m＋4）).又logam＞0，∴m＞1.故S＝f(m)＝logaeq\f(（m＋2）2,m（m＋4）)(m＞1)．(2)由f(m)＝logaeq\f(（m＋2）2,m（m＋4）)＝loga[1＋eq\f(4,m（m＋4）)]，∵1＋eq\f(4,m（m＋4）)在(1，＋∞)上为减函数，又a＞1，故f(m)在(1，＋∞)上为减函数．下面求值域：∵m＞1，∴m(m＋4)＝m2＋4m＝(m＋2)2－4＞5，则0＜eq\f(4,m（m＋4）)＜eq\f(4,5)，从而有1＜1＋eq\f(4,m（m＋4）)＜eq\f(9,5).又a＞1，∴0＜logaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al