74角动量的耦合课件

角动量的耦合

考虑电子自旋后，那么一个电子就涉及两个角动量：轨道角动量与自旋角动量。两个角动量如何相加，就是所谓的两个角动量的耦合问题。角动量耦合是一个很重要但又非常复杂的理论，本讲主要讨论两个角动量耦合（轨道与自旋角动量、自旋与自旋角动量等）的一般理论。

首先,来看轨道与自旋角动量的耦合角动量的耦合考虑电子自旋后，那么一个电子就涉及1§7.4两个角动量的耦合一、基本对易关系以表示体系的两个角动量算符，它们满足角动量的一般对易关系：和是相互独立的，因而的分量和的分量都是可对易的：§7.4两个角动量的耦合一、基本对易关系以2以表示与之和：称为体系的总角动量，它满足角动量的一般对易关系：即以表示与之和：称为体系的总角动量3证明:则有关系：所以证明:则有关系：所以4此外，还有一些其他的对易关系：此外，还有一些其他的对易关系：5二、无耦合与耦合表象以表示和的工同本征矢：以表示和的共同本征矢：因为相互对易，所以它们的共同本征矢：组成正交归一的完全系。以这些本征矢作为基矢的表象称为无耦合表象，在这个表象中，都是对角矩阵。二、无耦合与耦合表象以表示6另一方面算符也是相互对易的，所以它们有共同本征矢,j和m表明和的对应本征值依次为和:组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象。概括起来讲如下：另一方面算符71、无耦合表象基底：

只对作用，

只对作用。1、无耦合表象基底：只对作用，82、耦合表象基底：

不能区分角动量1和2了！

2、耦合表象基底：93、无偶合表象基底与偶合表象基底的变换

对于确定的j1和j2,在维子空间，上式中称为矢量耦合系数或克来布希—高登（Clebsch—Gordon）系数①无耦合表象→耦合表象3、无偶合表象基底与偶合表象基底的变换对于确定的j1和j210三、的本征值对于确定的和，总角量子数的取值系列为

例如，电子的轨道和自旋的总角动量

当当三、的本征值11称为角量子数条件。可证明m=m1+m2的取值系列为：称为角量子数条件。可证明12例1有自旋轨道相互作用情况考虑自旋轨道作用的氢原子,体系Hamilton量为(1)证明L,S与H不再对易。(2)证明J=L+S与H对易。例1有自旋轨道相互作用情况考虑自旋轨道作用的氢原子,13解:(1)可以证明则L,S与H不再对易。所以与不对易.解:(1)可以证明则L,S与H不再对易。所以14解:(2)由可有容易证明则J与H对易。解:(2)由可有容易证明则J与H对易。15对其中对其中16对对17对可得出对可得出18对同理对同理19又则又则20求在下列状态下,的可能测值解:对状态j的可能值只有两个,3/2与此1/2又因则由此可推断求在下列状态下,的可能测值解:对状21所以,的可能取值同理,对状态j的可能值只有两个,3/2与此1/2又因则由此可推断的可能取值所以,的可能取值的可能取值所以,的可能取值同理,对状态j的可22角动量的耦合

考虑电子自旋后，那么一个电子就涉及两个角动量：轨道角动量与自旋角动量。两个角动量如何相加，就是所谓的两个角动量的耦合问题。角动量耦合是一个很重要但又非常复杂的理论，本讲主要讨论两个角动量耦合（轨道与自旋角动量、自旋与自旋角动量等）的一般理论。

首先,来看轨道与自旋角动量的耦合角动量的耦合考虑电子自旋后，那么一个电子就涉及23§7.4两个角动量的耦合一、基本对易关系以表示体系的两个角动量算符，它们满足角动量的一般对易关系：和是相互独立的，因而的分量和的分量都是可对易的：§7.4两个角动量的耦合一、基本对易关系以24以表示与之和：称为体系的总角动量，它满足角动量的一般对易关系：即以表示与之和：称为体系的总角动量25证明:则有关系：所以证明:则有关系：所以26此外，还有一些其他的对易关系：此外，还有一些其他的对易关系：27二、无耦合与耦合表象以表示和的工同本征矢：以表示和的共同本征矢：因为相互对易，所以它们的共同本征矢：组成正交归一的完全系。以这些本征矢作为基矢的表象称为无耦合表象，在这个表象中，都是对角矩阵。二、无耦合与耦合表象以表示28另一方面算符也是相互对易的，所以它们有共同本征矢,j和m表明和的对应本征值依次为和:组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象。概括起来讲如下：另一方面算符291、无耦合表象基底：

只对作用，

只对作用。1、无耦合表象基底：只对作用，302、耦合表象基底：

不能区分角动量1和2了！

2、耦合表象基底：313、无偶合表象基底与偶合表象基底的变换

对于确定的j1和j2,在维子空间，上式中称为矢量耦合系数或克来布希—高登（Clebsch—Gordon）系数①无耦合表象→耦合表象3、无偶合表象基底与偶合表象基底的变换对于确定的j1和j232三、的本征值对于确定的和，总角量子数的取值系列为

例如，电子的轨道和自旋的总角动量

当当三、的本征值33称为角量子数条件。可证明m=m1+m2的取值系列为：称为角量子数条件。可证明34例1有自旋轨道相互作用情况考虑自旋轨道作用的氢原子,体系Hamilton量为(1)证明L,S与H不再对易。(2)证明J=L+S与H对易。例1有自旋轨道相互作用情况考虑自旋轨道作用的氢原子,35解:(1)可以证明则L,S与H不再对易。所以与不对易.解:(1)可以证明则L,S与H不再对易。所以36解:(2)由可有容易证明则J与H对易。解:(2)由可有容易证明则J与H对易。37对其中对其中38对对39对可得出对可得出40对同理对同理41又则又则42求在下列状态下,