平面解析几何初步一轮复习

平面分析几何初步一轮复习平面分析几何初步一轮复习35/35平面分析几何初步一轮复习第四章平面剖析几何初步考纲导读1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够依照直线的方程判断两条直线的地址关系．2．会用二元一次不等式表示平面地域．3．认识简单的线性规划问题，认识线性规划的意义，并会简单的应用．4．认识剖析几何的基本思想，认识用坐标法研究几何问题的方法．5．掌握圆的标准方程和一般方程，认识参数方程的看法，理解圆的参数方程的看法．知识网络简单的线性规划直线的倾斜角和斜率直线直线方程的四种形式两条直线的地址关系曲直线线和和方圆圆的标准方程程圆的方程圆的一般方程圆的参数方程高考导航在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的地址关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的地址关系是观察的热门.但由于知识的互相浸透，综合观察直线与圆锥曲线的关系素来是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近来几年来，在高考中经常观察，但基本上以中易题出现．观察的数学思想方法，主若是数形结合、分类谈论、方程的思想和待定系数法等．第1课时直线的方程基础过关1．倾斜角:关于一条与x轴订交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．斜率:当直线的倾斜角α≠90时°，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y≠x＝x，则直2)(x12)的直线的斜率公式．若x12线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．3．直线方程的五种形式名称方程适用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式典型例题例1.已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．①当m＝时，直线的倾斜角为45°．②当m＝时，直线在x轴上的截距为1．③当m＝时，直线在y轴上的截距为－3．④2当m＝时，直线与x轴平行．⑤当m＝解：(1)－1⑵2或－1⑶1或－2⑷－23

时，直线过原点．⑸124变式训练1.（1）直线3y＋3x＋2=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是（）A．－3，4B．2，－3C．4，－3D．4，3（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－7，则l2的斜率是（）A．7B．－77D．－77C．7（4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．解：（1）D．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－3．3（2）C．提示：用斜率计算公式y1y2．x1x23）A．提示：两直线的斜率互为相反数．4）2y＋3x＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式例2.已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求证：A、B、C三点在同一条直线上.证明方法一∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴kAB=31=2,kBC=53=2，∴kAB=kBC，3143∴A、B、C三点共线.方法二∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35，|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线.方法三∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），AB=（2，4），BC=（1，2），∴AB=2BC.又∵AB与BC有公共点B，∴A、B、C三点共线.变式训练2.设a，b，c是互不相等的三个实数，若是A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同素来线上，求证：a+b+c=0.证明∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC，∴a3b3a3c32222，aba，化简得a+ab+b=a+ac+ccb2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.例3.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).试求：y3的最大值与最小值.x2解：由y3的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的x2直线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），∴4≤k≤8，3故y3的最大值为8，最小值为4.x23变式训练3.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么y的最大值为xA.1B.3C.3232答案D例4.已知定点P(6,4)与直线l1:y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的半轴交于点M．求使△OQM面积最小的直线l的方程．y4x6解：Q点在l1:y＝4x上，可设Q(x0，4x0)，则PQ的方程为：4x064x0令y＝0，得：x＝5x0(x0>1)，∴M(5x0，0)x01x01∴S△OQM＝15xx22·0·4x0＝10·0x01x01＝10·[(x0－1)＋1＋2]≥40x01当且仅当x0－1＝1即x0＝2取等号，∴Q(2，8)x01PQ的方程为：y4x6，∴x＋y－10＝08426

（）3Q点，与x轴正变式训练4.直线l过点M(2，1)，且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点．(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当MAMB取最小值时，求直线l的方程．解：设l：y－1＝k(x－2)(k＜0)则A(2－1，0)，B(0，1－2k)k①由S＝1(1－2k)(2－1)＝1(4－4k－1)2k2k≥142(4k)(1)＝42k当且仅当－4k＝－1，即k＝－1时等号建立k2∴△AOB的面积最小值为4此时l的方程是x＋2y－4＝0②∵|MA|·|MB|＝1144k2k2＝2(1k2)＝2(1)(k)≥4|k|k当且仅当－k＝－1k

即k＝－1时等号建立此时l的方程为x＋y－3＝0（本题也能够先设截距式方程求解）小结归纳1．直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又互相联系，解题时详尽采用哪一种形式，要依照直线的特点而定．2．待定系数法是剖析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中第一要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能够相同样（变形后除处）．3．在剖析几何中,设点而不求,经常是简化计算量的一个重要方法.4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要拯救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.第2课时直线与直线的地址关系基础过关（一）平面内两条直线的地址关系有三种________．1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的地址关系可依照下表判断直线l1：y＝k1x＋b1l1：A1x＋B1y＋C1＝0条件l2：y＝k2x＋b2l2：A2x＋B2y＋C2＝0关系平行重合订交(垂直)2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判断其地址关系．（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1．P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为______________．2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为．（三）两条直线的交角公式若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则1．直线l1到l2的角θ满足．2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．（五）五种常用的直线系方程.①过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).②与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b).③过定点(x0,y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.④与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0(m≠C).⑤与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0(AB≠0).典型例题例1.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断l1与l2可否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值.解（1）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1:y=-ax-3,l2:y=1x-(a+1),21al1∥l2a1，解得a=-1,21a3(a1)综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.方法二由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-1×6≠0,∴l1∥l2a(a1)120a(a21)160a2a20a=-1,a(a21)6故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.（2）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不行立.当a≠1时，l1:y=-ax-3,2l2:y=1x-(a+1),由1aa·1=-1a=2.21a3方法二由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=2.3变式训练1.若直线l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，当a、b满足什么条件时，直线l1与l2分别订交？平行？垂直？重合？解：当a=0时，直线l1斜率为0，l2斜率不存在，两直线显然垂直。当a≠0时，分别将两直线均化为斜截式方程为：l1：y=a1b。－x+5，l2：y=－x+4aa（1）当－a1，即a≠±2时，两直线订交。4≠－aa1b（2）当－4=－a且5≠a时，即a=2且b≠10或a=－2且b≠－10时，两直线平行。（3）由于方程(－a1－1无解，故仅当a=0时，两直线垂直。4)(－a)=a1b（4）当－4=－a且5=a时，即a=2且b=10或a=－2且b=－10时，两直线重合例2.已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为，求直线l的方程．4解：由x2y0解得l1和l2的交点坐标为(2，－1)，由于直线l3的斜率为k3＝5，l与l33x4y1002的夹角为，因此直线l的斜率存在.设所求直线l的方程为y＋1＝k(x－2)．4kk3k5则tan2＝1＝＝41kk315k2k＝3或k＝－7，故所求直线l的方程为y＋1＝－7(x－2)或y＋1＝3(x－2)即7x＋3y＋733711＝0或3x－7y－13＝0变式训练2.某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，以下列图，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平川面的夹角为,tan=1.试问，此人距水平川面多高时，观看塔的视角∠BPC最2大（不计此人的身高）？解以下列图，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=x200.2设点P的坐标为（x,y），则P（x,x200）(x＞200).2由经过两点的直线的斜率公式x200300x800kPC=2,x2xx200220x640.kPB=2x2x由直线PC到直线PB的角的公式得kPBkPC1602xtan∠BPC=kPBPCx800x6401·k1·2x2x=64x64(x＞200).640160640x288x160x288x要使tan∠BPC达到最大，只要x+160640-288达到最小，由均值不等式x160640160640-288,x当且仅当x=160x640时上式获取等号.故当x=320时，tan∠BPC最大.这时，点P的纵坐标y为y=320200=60.2由此实责问题知0＜∠BPC＜2,因此tan∠BPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水平川面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.例3.直线y＝2x是△ABC中∠C的均分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．解：由于直线y＝2x是△ABC中∠C的均分线，因此CA、CB所在直线关于y＝2x对称，而A(－4,2)关于直线y＝2x对称点A1必在CB边所在直线上设A1(x1，y1)则y121x12x14(4)y12x14得y1222即A1(4,－2)由A1(4,－2)，B(3,1)求得CB边所在直线的方程为：3x＋y－10＝0又由y2x0解得C(2,4)3xy10又可求得：kBC＝－3，kAC＝13∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形变式训练3.三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能组成三角形，求实数a的取值范围。解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三条直线能组成三角形，故三条直线两两订交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。1）若l1、l2、l3订交于同一点，则l1与l2的交点（-a-1，1）在直线l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a=-2。2）若l1∥l2，则-1=-1a，a=1。3）若l1∥l3，则-1=-a，a=1。1（4）若l2∥l3，则-a=-a，a=±1。）例4.设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使PAPB为最小，并求出这个最小值．解：设点A关于直线l的对称点A'的坐标为(a，b)，则由AA′⊥l和AA′被l均分，b531a34解之得a＝3，b＝－3，∴A′＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝513则a3b5344022∵kA′B＝153＝－183A′B的方程为y＋3＝－18(x－3)解方程组3x4y40得P(8，3)y318(x3)3变式训练4：已知过点A（1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2x＋y＝0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值．解：设l的方程为y－1＝－m(x－1)，则P（1＋1，0），Q（0，1＋m）m从则直线PR：x－2y－m1＝0；m直线QS：x－2y＋2(m＋1)＝0又PR∥QS∴|RS|＝|2m211|32m1m＝m552又|PR|＝2m，|QS|＝m155而四边形PRSQ为直角梯形，231∴SPRSQ＝1×(22mmm1)×m2555＝1(m＋1＋9)2－1≥1(2＋9)2－15m4805480∴四边形PRSQ的面积的最小值为．小结归纳1．办理两直线地址关系的相关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直．2．注意数形结合，依照条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题获取简捷的解法．4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，要点是运用中点公式，而关于轴对称问题，一般是转变成求对称点，其要点抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4第3课时

线性规划基础过关1．二元一次不等式表示的平面地域．⑴一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面地域(半平面)不含界线限，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面地域(半平面)包括界线限．⑵关于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x、y)使得Ax＋By＋C的值符号相同．因此，如果直线Ax＋By＋C＝0一侧的点使Ax＋By＋C>0，另一侧的点就使Ax＋By＋C<0，因此判断不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面地域时，只要在直线Ax＋By＋C＝0的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，若是该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面地域；若是不满足不等式，就表示这个点所在地域的另一侧平面地域．⑶由几个不等式组成的不等式组表示的平面地域是各个不等式所表示的平面地域的公共部分．2．线性规划⑴基本看法名称意义线性拘束条件由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x、y的约束条件目标函数关于x、y的剖析式如：z＝2x＋y，z＝x2＋y2等线性目标函数关于x、y的一次剖析式可行解满足线性拘束条件x、y的解（x，y）叫做可行解可行域所有可行解组成的会集叫做可行域最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题⑵用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①设出所求的未知数；②列出拘束条件(即不等式组)；③建立目标函数；④作出可行域和目标函数的等值线；⑤运用图解法即平行搬动目标函数等值线，求出最优解．（有些实责问题应注意其整解性）典型例题例1.若△ABC的三个极点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC地域（含界线）表示的二元一次不等式组．解：由两点式得AB、BC、CA直线的方程并化简得AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，CA：2x＋y－5＝0x2y10结合地域图易得不等式组为xy202xy50变式训练1：△ABC的三个极点为A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，则△ABC的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为．2x3y804xy40xy107x5y230例2.已知x、y满足拘束条件x7y110分别求：4xy100yz＝2x＋y⑵z＝4x－3yCA22的最大值、最小值？x⑶z＝x+y解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共地域如图阴影部分．其中A(4，1)，BB(－1，－6)，C(－3，2)(1)作与直线2x＋y＝0平行的直线l1：2x＋y＝t，则当l1经过点A时，t取最大，l1经过点B时，t取最小．∴zmax＝9zmin＝－13(2)作与直线4x－3y＝0平行的直线l2：4x－3y＝t，则当l2过点C时，t最小，l2过点B时，t最大．∴zmax＝14zmin＝－18(3)由z＝x2＋y2，则z表示点(x，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的地域．知点B到原点的距离最大，当(x，y)为原点时距离为0．∴zmax＝37zmin＝0变式训练2：给出平面地域以以下列图所示，目标函数t＝ax－y，(1)若在地域上有无量多个点(x，y)可使目标函数t获取最小值，求此时a的值．(2)若当且仅当x＝2，y＝4时，目标函数t获取最小值，求实数a的取值范围？35解：(1)由t＝ax－y得y＝ax－t要使t获取最小时的(x，y)有无量多个，yB(0,1)则y＝ax－t与AC重合．C(2,4)4350x∴a＝kAC＝5120A(1,0)＝－2153(2)由KAC<a<KBC得－12<a<－3.510例3.某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木材，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要用两种木材，生产一张圆桌需用第一种木材0.18立方米，第二种木材0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木材0.09立方米，第二种0.28立方米，可盈利10元，木器厂在现有木材条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则：0.18x0.09y722xy8000.08x0.28y562x7y1400x0即0yxy0y0(0,80则z＝6x＋10y作出可行域如图．由2xy800(0,200)M2x7y1400(350,100得x350Ox100即M(350，100)由图可知，当直线l：6x＋10y＝0平移到经过点M(350，100)时，z＝6x＋10y最大，即当x＝350，y＝100时，，z＝6x＋10y最大．变式训练3：某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，可用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2和3m2，用A种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B种可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料(面积)最小．解：设A种取x块，B种取y块，总用料为zm2，则3x6y45y5x6y55lAz＝2x＋3y(x、y∈N)xO515可行域如图：最优解为A(5，5)，x＝5，y＝5时，zmin＝25，即A、B两种各取5块时可保证完成任务，且总的用料(面积)最省为25m2．例4.估量用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但解：椅子的总数不能够少于桌子的总数，但不多于桌子数的设桌椅分别买x、y张，由题意得：

1.5倍，问桌椅各买多少才合适？00xy由xy50x20y2000y50x20y2000x200解得：7∴点A(200，2002007)7y7yx25由解得7550x20y2000y2∴点B(25，75)2满足以上不等式组表示的地域是以A、B、O为极点的△AOB及内部设x＋y＝z，即y＝－x＋z；当直线过点B时，即x＝25，y＝75，z最大．∵y∈z，∴y＝372∴买桌子25张，椅子37张是最优选择．变式训练4：A1、A2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需经过外运能力分别为20万吨和16万吨的B1、B2两车站外运，用汽车将煤运到车站，A1的煤运到B1、B2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A2的煤运到B1、B2的运费分别为7元/吨和8元/吨，问如何设计调运方案可使总运费最少？解：设A1运到B1x万吨，A2运到B1y万吨，总运费为z万元，则A1运到B2(8－x)万吨，A2运到B2(18－y)万吨，z＝3x＋5(8－x)＋7y＋8(18－y)＝184－2x－y，x、y满足xy20y(8x)(18y)16180x8A(8,12)0y18l1可行域如图阴影部分．O1020x当x＝8时，y＝12时，zmin＝156即A1的8万吨煤全运到B1，A2运到12万吨运到B1，节余6万吨运到B2，这时总运费最少为万元．小结归纳1．二元一次不等式或不等式组表示的平面地域：①直线确定界线；②特别点确定地域．2．线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的表现，是一种求最值的方法．3．把实责问题抽象转变成数学问题是本节的重难点，求解要点是依照实责问题中的已知条件，找出拘束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．而在考虑拘束条件时，除数学看法的条件拘束外，还要深入其境、考虑实质意义的拘束．4．解线性规划问题的要点步骤是在图上完成的，因此作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。但最优点不易鉴识时，要逐一检查第4课时曲线与方程、基础过关1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．典型例题例1.以下列图，过点P（2，4）作互相垂直的直线线段AB中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标为（x,y）,∵M是线段AB的中点，

l1、l2.若

l1交

x轴于

A，l2交

y轴于

B，求A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.PA=（2x-2，-4），PB=（-2，2y-4）.由已知PA·PB=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.变式训练1：已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|MN||MP|+MN·NP=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.解由题意：MN=（4，0），MP=（x+2,y）,NP=（x-2,y）,|MN||MP|+MN·NP=0，∴4202·(x2)2y2+（x-2）·4+y·0=0，两边平方，化简得y2=-8x.例2.在△ABC中，A为动点，B、C为定点，Ba,0,Ca,0且满足条件sinC-sinB=1sinA,222则动点A的轨迹方程是（）16x216y216y216x2A.a215a2=1(y≠0)B.a23a2=1(x≠0)16x216y216x216y2C.a215a2=1（y≠0）的左支D.a23a2=1（y≠0)的右支答案D变式训练2：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解以下列图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，依照两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.由于|MA|=|MB|，因此|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表示动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.依照双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），2设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为2y2这里a=1,c=3,则b=8,x-=1(x≤-1).8例3.以下列图，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的极点Q的轨迹方程.解设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又由于R是弦AB的中点，依垂径定理有Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x12y12）.又|AR|=|PR|=(x14)2y12，因此有（x1-4）2+y12=36-（x12y12）.即x12y12-4x1-10=0.由于R为PQ的中点，因此x1=x24，y1=y0.2代入方程x12y121-4x-10=0，得2y2x4x4422·-10=0.2整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.变式训练3：设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且MN=2MP，PM⊥PF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.解设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由MN=2MP得（x-x0，y）=2（-x0，y0），∴xx0xx02x0,即.y2y0y01y2PM⊥PF,PM=(x0,-y0),PF=(1,-y0),(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+y02=0.∴-x+y22故所求的点N的轨迹方程是24=0,即y=4x.y=4x.小结归纳1．直接法求轨迹方程要点在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转变后才能用．2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效路子．3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．第5课时圆的方程基础过关1．圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程为_________________．2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径r＝．3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是．4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________．5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．典型例题例1.依照以下条件，求圆的方程．(1)经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．(2)经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．解：(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0由3x2y150解得x73x10y90y3∴圆心为C(7，－3)，半径r＝65故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0将P、Q两点坐标代入得2D4EF20①3DEF10②令y＝0得x2＋Dx＋F＝0由弦长|x1－x2|＝6得D2－4F＝36③解①②③可得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．由A（2，－3），B（－2，－5），得直线AB的斜率为kAB=－5－(－3)=1,－2－22线段AB的中点为（0，－4），线段AB的中垂线方程为y＋4=－2x,即y＋2x＋4=0,解方程组2xy40得x1x2y30y2∴圆心为（－1，－2），依照两点间的距离公式，得半径r=(2+1)2＋(－3＋2)2=10所求圆的方程为（x＋1)2＋(y＋2)2=10例2.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解方法一将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：12my1+y2=4,y1y2=.OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此时＞0,圆心坐标为1，3,半径r=5.22方法二以下列图，设弦PQ中点为M，∵O1M⊥PQ，∴kOM2.1∴O1M的方程为:y-3=2x1,2即：y=2x+4.由方程组y2x4x2y.30解得M的坐标为（-1，2）.222则以PQ为直径的圆可设为（x+1）+（y-2）=r.∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.2∴11(3-2)2+5=1(6)24m24∴m=3.∴半径为5,圆心为1,3.22方法三设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.m-3=0，即m=3.∴圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=022即x+(1+)x+y+2(-3)y=0.∴圆心M12(3)，又圆在PQ上.2，2∴-1（3-）-3=0，2+2=1，∴m=3.∴圆心为1,3，半径为5.22变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).（1）证明：无论m取什么实数，直线l与圆C恒订交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.1）证明直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即无论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部，∴无论m为何实数，直线l与圆恒订交.（2）解从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得22=225（[322|AB|=2rCM1）（12）]45.此时，kt=-1,进而kt=-1=2.kCM213l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3.知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求y2的最大值和最小值.1解（1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为3(2)40126.d=42325∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=6+1=11，最小值为d-r=6-1=1.55552）设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.∴2t5-25，1222∴tmax=5-2，tmin=-2-5.3）设k=y2，1则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，3k23333∴1≤1∴.≤k≤,k244∴kmax=33，kmin=33.44变式训练3：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.1）求y-x的最大值和最小值；2）求x2+y2的最大值和最小值.解（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b获取20b±6.最大值或最小值，此时3,，解得b=-22因此y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-6.2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处获取最大值和最小值.又圆心到原点的距离为（20）（00）=2，22因此x2+y2的最大值是（2+3）2=7+43，x2+y2的最小值是（2-3）2=7-43.例4.设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程。解法一设圆的圆心为P（a,b),半径为r，则点P到x轴y轴的距离分别为∣b∣、∣a∣。由题设条件知圆P截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90°，圆P截x轴所得的弦长为2r，故r2=2b2．2，因此有r2=a2＋1,进而得2b2=a2＋1．又圆P截y轴所得的弦长为a2b点P到直线x－2y=0的距离为d=5,5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab=2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋1≥1当且仅当a=b时取等号，此时，5d2=1,d获取最小值．由a=b及2b2=a2＋1得a1或a1，进而得r2=2b1b1所求圆的方程为（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2a2bd解法二同解法一，得d=5，因此a－2b=±522222－1代入整理得22（※）a=4b±45bd＋5d,将a=2b2b±45bd＋5d＋1=0把（※）看作关于b的二次方程，由于方程有实数根，故△≥0即222有最小值1，进而d有最小值528（5d－1)≥0,5d≥1可见5d，将其代入（※）式得2b±4b5＋2=0,b=±1,r2=2b2=2,a2=2b2－1=1,a=±1由∣a－2b∣=1知a、b同号故所求圆的方程为（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2变式训练4：如图，图O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝2PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．PMN

yPMN－22O1OxO2O1O2解：以O1、O2的中点为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)、O2(2,0)．如图：由PM＝2PN得PM2＝2PN2PO12－1＝2(PO22－1)，设P(x，y)(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]即(x－6)2＋y2＝33为所求点P的轨迹方程．小结归纳1．本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必定具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程．2．求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径相关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；若条件涉及过几点，经常可考虑用一般方程；若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程．3．求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等经常能简化计算．4．运用圆的参数方程求距离的最值经常较方便．5．点与圆的地址关系可经过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.第6课时直线与圆、圆与圆的地址关系基础过关1．直线与圆的地址关系将直线方程代入圆的方程获取一元二次方程，设它的鉴识式为△，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的地址关系满足以下关系：相切d＝r△＝0订交相离2．圆与圆的地址关系设两圆的半径分别为R和r(R≥r)，圆心距为d，则两圆的地址关系满足以下条件：外离d>R＋r外切订交内切内含圆的切线方程①圆x2＋y2＝r2上一点p(x0,y0)处的切线方程为l:.②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点p(x0,y0)处的切线方程为l:.③圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点p(x0,y0)处的切线方程为.典型例题例1.过⊙：x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．yP(4，2)P1⑴求过点P的圆的切线方程．⑵若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程．Ox解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y－2＝k(x－4)P2即kx－y+2－4k＝0①则d＝24k1k2∴24k＝2解得k＝1或k＝11k27∴切线方程为：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0(2)设切点Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两切线的方程可写成l1:x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２由于点(4，2)在l1和l2上．则有4x1＋2y1＝24x2＋2y2＝2这表示两点都在直线4x＋2y＝2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2x＋y－1＝0即为所求变式训练1：（1）已知点P(1，2)和圆C：x2y2kx2yk20，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是()A.k∈RＢ.k＜23Ｃ.23k0D.23k233333（2）设会集A={（x,y)|x22≤4},B={(x,y)|(x－1)222当A∩B=B时，r的取值＋y＋(y－1)≤r(r＞0)},范围是（）A．（0，2－1）B．（0，1]C．（0，2－2]D．（0，2]（3）若实数x、y满足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么y的最大值为()x1Ｂ.3Ｃ.3Ｄ.3A.322（4）过点M(3,3)且被圆x2y225截得弦长为8的直线的方程为．2（5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2y24x30和x2y24y30的交点的圆的方程是.解：（1）D．提示：P在圆外．（2）C．提示：两圆内切或内含．（3）D．提示：从纯代数角度看，设t=y≥0，可解,则y=tx，代入已知的二元二次方程，用△x得t的范围。从数形结合角度看，y是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是界线．x（4）3x4y150或x30．提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率．（5）x2y26x2y30.提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依照圆心在已知直线上求得．例2.求经过点A(4，－1)，且与圆：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程．解：圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝5∴圆心C(－1，3)，直线BC的方程为：x＋2y－5＝0①又线段AB的中点D(5，1)，kAB＝－12

2∴线段

AB

的垂直均分线方程为：y－

1＝x－

5即

x－y－2＝0

②2

2联立①②解得x＝3，y＝1∴所求圆的圆心为E(3，1)，半径|BE|＝5∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5变式训练2：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程．222解：设所求圆的方程为(x-a)+(y-b)=r,a=±b,r=｜a｜又∵圆心(a,b)在直线5x-3y=8上.5a-3b=8,ab由5a3b8raa4a1得b4或b1r4r1∴所求圆的方程为：（x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2＝1．2)(k≠与0)圆O：x2＋y2＝4订交于A、B两点，O为坐标原点．△AOB例3.已知直线l：y＝k(x＋2的面积为S．⑴试将S表示为k的函数S(k)，并求出它的定义域．⑵求S(k)的最大值，并求出此时的k值．解：(1)圆心O到AB的距离d＝22k1k2由d<2－1<k<1|AB|＝1k2S(k)＝4k2(1k2)4k22k2)21(1(2)解法一：据(1)令1＋k2＝tk2＝t－1(1<t<2)S＝42231＝422(13)21t2tt48≤42·1＝222当1＝3即k＝3时，等号建立．∴k＝±3为所求．t433解法二：ABD的面积S＝1|OA||OB|sin∠AOB＝2sin∠AOB2∴当∠AOB＝90°时，S可取最大值2，此时，设AB的中点为C．则OC＝2|OA|＝22由O到直线的距离为|OC|＝22|k|1k2得22|k|＝2，k＝±3231k变式训练3：点P在直线2xy100上，PA、PB与圆x2y24相切于A、B两点，求四边形PAOB面积的最小值．．答案：8。提示：四边形能够分成两个全等的直角三角形，要面积最小，只要切线长最小，亦即P到圆心距离要最小．例4.已知圆C方程为：x2y22x4y200，直线l的方程为：（2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0．（1）证明：无论m取何值，直线l与圆C恒有两个公共点。（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时的m值．提示：（1）用点到直线的距离公式，证明r2－d2＞0恒建立．（2）求（1）中r2－d2的最小值，得直线l被圆C截得的线段的最短长度为45，此时的m值为－3．4变式训练4：已知圆系x2y22ax2a2y20，其中a≠1,且a∈R,则该圆系恒过定点．答案：（1，1）．提示：将a取两个特别值，得两个圆的方程，求其交点，必为所求的定点，故求出交点坐标后，只须再考据即可。另一方面，我们将方程按字母a重新整理，要使得原方程对任意a都建立，只须a的系数及式中不含a的部分同时为零．小结归纳1．办理直线与圆、圆与圆的地址关系的相关问题，有代数法和几何法两种方法，但用几何法经常较简略．2．圆的弦长公式l＝2R2d2(R表示圆的半径，d表示弦心距)利用这一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式l＝(1k2)[(x1x2)24x1x2]要方便．3．为简化运算，办理交点问题时，常采用“设而不求”的方法，一般是设出交点后，再用韦达定理办理，这种方法在办理直线与圆锥曲线的地址关系中也经常用到．剖析几何初步章节测试题一、选择题1．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离为（）A．1B．2C．3D．12222．若是把圆C：x2＋y2＝1沿向量a(1,m)平移到圆C′，且C′与直线3x－4y＝0相切，则m的值为（）A．2或－1B．2或1C．－2或1D．－2或－122223．若是直线沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的地址，那么直线l的斜率是（）A．－1B．－3C．1D．3334．已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x－y＋1＝0B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0x2－4x＋15．若是直线l1、l2的斜率为k1、k2，二直线的夹角为θ，若k1、k2分别为二次方程＝0的两根，那么θ为（）A．B．4C．D．3686．若圆(x－1)2＋(y＋1)2＝R2上有且仅有两个点到直线4x＋3y－11＝0的距离相等，则半径R的取值范围是（）A．R＞1B．0<R<3C．1<R<3D．R≠2且R＞07．已知x，y满足不等式组

yx，则t＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值为（）y2x2y4A．9B．2C．3D．258．（06湖南卷）若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上最少有三个不相同点到直线l：ax＋by＝0的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．[,]B．[12,5]C．[,]D．[0,]1241263129．已知圆C：(xcos)2(ysin)21，那么直线l：y＝kx与圆的地址关系是（）A．相离或相切B．订交或相切C．必然订交D．不能够确定10．若是直线y＝ax＋2与直线y＝3x－b关于直线y＝x对称，那么（）A．a＝1，b＝6B．a＝1，b＝－6C．a＝3，b＝－2D．a＝3，b＝633二、填空题11．“关于实数k的方程x2＋y2＋4kx－2y－k＝0的图形是圆”的充分且必要条件是．12．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4订交于A、B两点，且AB23，则a＝．13．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则m＋n的值是．14．圆心在y轴上，且与直线x＋y－3＝0及x－y－1＝0都相切的圆的方程为．15．在圆x2＋y2－5x＝0内，过点(5，3)有n条长度成等差数列的弦，最小弦为a1最大弦22为a若公差d∈[1，1]，那么n的取值会集是．n63三、解答题16．直线l被两条平行直线l1：x＋2y－1＝0及l2：x＋2y－3＝0所截线段的中点在直线x－y－1＝0上，且l到直线x＋2y－3＝0的角为45°，求直线l的方程．17．直线l过点（1，1）交x轴、y轴的正半轴分别于点A、B，由A、B作直线2x＋y＋3＝0的垂线，垂足分别为C、D，当|CD|最小时，求l的方程．18．已知圆x2＋y2＝9的内接△ABC中，A点的坐标是(－3，0)，重心G的坐标是(－1，－21)求：直线BC的方程；弦BC的长度．19．要将两种大小不相同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数以下表，每张钢板的面积为：第一种1m2，第二种2m2，今需要A、B、C三种规格的成品分别为12、15、17块，问分别截这两种钢板多少张可得吻合上面要求的三种规格产品，且使所用钢板总面积最小？规格种类A规格B规格C规格钢板种类第一种钢板121第二种钢板11320．已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB＝2，OT＝t（0<t<1）以AB为腰作直角梯形AA'B'B，使AA'垂直且等于AT，使BB'垂直且等于BT，A'B'交半圆于P、Q两点，以下列图的直角坐标系．⑴写出直线A'B'的方程．⑵计算出点P、Q的坐标．⑶证明：由点P发出的光辉入射点为T，经AB反射后，反射光辉经过点Q．B'yPQBA'Ax21．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0可否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程，若不存在说明原由．剖析几何初步章节测试题答案1.B2.A6.C7.B8.B9.B10.A11.k∈R12.0133414.x2＋(y－1)2＝215.{4,5,6,7}516．解：设直线l与x－y－1＝0的交点为P，x－y－1＝0与l1订交于点A，与l2订交于点B，则A(1，0)，B(5，2)33∵l1∥l2∴P点也是线段AB的中点P(4，1)33又设l的斜率为k．1k由已知tan45°＝2∴k＝－311k2∴l的方程为y＝1＝－3(x－4)33即9x＋3y－13＝017．解：过B作CA的垂线交直线CA于点H，则|CD|＝|BH|设A(a，0)，B(0，b)，则a>1，b>1．直线AC的方程为：y＝1(x－a)即x－2y－a＝02∴|BH|＝a2b∵(1,1)在AB上5∴1＋1＝1ab∴|CD|＝a2b＝1(a＋2b)(1＋1)55ab＝1(3＋2b＋b)5aa∴|CD|≥1(3＋22)＝3521055当a2＝2b2且a＋b＝ab即a＝1＋2，b＝22时2|CD|有最小值352105此时直线l的方程为：x2y＝1212218．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)连AG交BC于M，则M为BC的中点．x1x23由三角形重心公式得24y1y2322∴M的坐标为3,342连结OM，则OM⊥BC，又kOM＝－21∴kBC＝∴BC的方程为y＋3＝1(x－3)224即4x－8y－15＝0(2)连结OB，在Rt△OBM中|BC|＝2|BM|＝2|OB|2|OM|2又∵|OM|＝35，∴|BC|＝29453114162x0y019．解：设第一种钢板x张，第二种钢板y张，使用钢板面积为zm2拘束条件为：xy122xy15x3y17目标函数为z＝x＋2y，作出一组平行直线x＋2y＝t中，经过可行域内的点，且与原点距离最近的直线，此直线过x＋y＝12，x＋3y＝17的交点为A(19，5)，此时，z＝x＋2y＝，而22最优解（x，y）为整数，作直线x＋2y＝15，可求得它与x＋y=12，x＋3y＝17的交点为(9，3)(11，2)那么在9≤x≤11之间，把x＝9、10、11分别代入x＋2y＝15得整数的点有(9，3)(11，2)∴(9，3)，(11，2)为最优解故有两种截法，第一种截法是截第一种钢板9张，第二种钢板3张；第二种截法是截第一种钢板11张，第二种钢板2张．20．(1)直线A'B'的方程为y＝－tx＋1(2)由方程组x2y21解得P(0，1)ytx12t2,1t2Q(2)1t1t(3)kPT＝－1kQT＝1tt由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光辉经过点T反射，反射光线经过点Q．21．解：假设存在这样的直线，设为y＝x＋b，它与圆C的交点A(x1，y1)、B(x2，y2)．由x2y2－2x＋4y－4＝0化为：(x－1)2＋(y＋2)2＝9∴圆C的圆心坐标为(1，－2)半径为3．由题意可得OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1进而得：x1x2＋y1y2＝0联立x2y22x4y40yxb得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0∴x1x2＝b24b42同理，可求得：y1y2＝b22b42进而b24b4＋b22b4＝022即b2＋3b－4＝0解得：b＝1或－4∴这样的直线存在方程为：y＝x－4或y＝x＋1五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.（辽宁理，4）已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为A.(x1)2(y1)22B.(x1)2(y1)22C.(x1)2(y1)22D.(x1)2(y1)22【剖析】圆心在x＋y＝0上,消除C、D,再结合图象,也许考据A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.【答案】B2.（重庆理，1）直线yx1与圆x2y21的地址关系为（）A．相切B．订交但直线但是圆心C．直线过圆心D．相离【剖析】圆心(0,0)为到直线yx1，即xy10的距离d122，而2201，选B。2【答案】B3.（重庆文，1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2(y2)21B．x2(y2)21C．(x1)2(y3)21D．x2(y3)21解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,b)，则由题意知(o1)2(b2)1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21。解法2（数形结合法）：由作图依照点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2(y2)21解法3（考据法）：将点（1，2）代入四个选择支，消除B，D，又由于圆心在y轴上，消除C。【答案】A4（.上海文，17）点P（4，－2）与圆x2y24上任一点连续的中点轨迹方程是（）A.(x2)2(y1)21B.(x2)2(y1)24C.(x4)2(y2)24D.(x2)2(y1)21x4ss2x42【剖析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则，解得：2t2y，yt22代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：(x2)2(y1)21【答案】A5.（上海文，15）已知直线l1:(k3)x(4k)y10,与l2:2(k3)x2y30,平行，则k得值是（）A.1或3或5或5或2【剖析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：3k＝k4k3，解得：k＝5，应选C。【答案】C6.(上海文，18)过圆C：(x1)2(y1)21的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足SS￥SS,则直线AB有（）|||（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条【剖析】由已知，得：SIVSIISIIISI,，第II，IV部分的面积是定值，因此，SIVSII为定值，即SIIISI,为定值，当直线AB绕着圆心C搬动时，只可能有一个地址吻合题意，即直线AB只有一条，应选B。【答案】B7.（陕西理，4）过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为A.3C.63剖析：x2y24y0x2（2，）y24A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,ON=3弦长23【答案】D二、填空题8.（广东文，13）以点（2，1）为圆心且与直线xy6相切的圆的方程是.【剖析】将直线xy6化为xy|216|560,圆的半径r1,12因此圆的方程为(x2)2(y1)225252【答案】(x2)2(y1)22x1t9.（天津理，13）设直线l1的参数方程为1（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4y3t则l1与l2的距离为_______【剖析】由题直线l的一般方程为3xy20，故它与与l2的距离为|42|310。1105【答案】310510.（天津文，14）若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为23，则a=________.1【剖析】由已知，两个圆的方程作差能够获取订交弦的直线方程为y，a|1|2利用圆心（0，0）到直线的距离da为221，解得a=1.31【答案】111.（全国Ⅰ文16）若直线m被两平行线l1:xy10与l2:xy30所截得的线段的长为22，则m的倾斜角能够是①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）【剖析】解：两平行线间的距离为d|31|2，由图知直线m与l1的夹角为30o，l111的倾斜角为45o，因此直线m的倾斜角等于30o450750或45o300150。【答案】①⑤12.（全国Ⅱ理16）已知AC、BD为圆O:x2y24的两条互相垂直的弦，垂足为M1,2,ABCD的面积的最大值为。则四边形【剖析】设圆心O到AC、BD的距离分别为d、d2,则d2+d2OM23.112四边形ABCD的面积S1|AB||CD|2(4d12)(4-d22)8(d12d22)52【答案】513.（全国Ⅱ文15）已知圆O：x2y25和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于【剖析】由题意可直接求出切线方程为y-2=1(x-1)，即x+2y-5=0,进而求出在两坐标轴上的5和5，因此所求面积为15225截距分别是5。2224【答案】25414.（湖北文14）过原点O作圆x2+y2-－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为。【剖析】可得圆方程是(x3)2(y4)25又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ4.【答案】415.（江西理16）．设直线系M:xcos(y2)