信号与系统-各章课件sas第八章

在已知系统构成的条件下，研究系统在不同信号激励（输入）下所产生的响应（输出）。与信号分析相对应，系统分析基本上分为时域分析与频域分析，通过分析，从中找出反映系统特征的物理量，为系统综合设计与实现，提供理论依据和实际应用的技术基础。第八章连续系统分析第八章连续系统分析系统及其分类分析连续系斯变换个有力的数学工具——拉连续系统的时域分析连续系统的频域分析综述连续系统的分析与应用8.1

系统及其分类系统：对信号执行某些规定操作实现特定目标的设备或算法的总称。图8.1

电视广播通信系统框图开环系统：信号流从左至右依次通过相互级联的部件，从前级一直传到最后一级，没有从后级返回前级的信号。图8.2

工业过程温度控制系统闭环系统：信号r从开始逐级向前传递到输出端，然后又逐级向后，返回到起始端。总结：系统的运行与操作离不开信号，它的输入是信号，输出也是信号。系统的作用是对输入信号进行加工处理，运算变换和传输。完成这些功能的整体是个大系统。每一方块（局部）是个小系统.系统分类：根据处理对象的不同:连续系统：输入是连续信号，输出也是连续信号，系统的状态是以不间断的方式发生变化。离散系统：输入是离散信号，输出也是离散信号。混合系统：输入是连续（离散）信号而输出是离散（连续）信号。系统分类：根据系统本身的特性：线性与非线性时变与非时变因果与非因果稳定与非稳定系统表示：x(t)

T

y(t)x(n)

Ty(n)；y(t)

T[x(t)]y(n)

T[x(n)]1：2：8.1.1

线性系统可加性若则有为常数（实数或复数）若a1

,a2比例性（倍增性）；则有

1

111y

(t)Tx

(t)

22x

(t)

Ty

(t)x

(t)

x

(t)

T1 212y(t)y

(t)1

1a

x(t)

T

a

y

(t)2

22

2a

x

(t)

Ta

y

(t)或写成a

x

(t)

a

x

(t)

T

a

y

(t)

a

y

(t)1

1

2

2

1

1

2

2T[a1x1

(t)

a2

x2

(t)]

a1T[x1

(t)]

a2T[x2

(t)]Ma

x

(n)Mk

1k

ka

y

(n)T

k

1

k

k上式是初始不储能线性系统的条件一个线性系统当输入为零，其输出也一定为零。如果不为零，则该系统可能在信号输入前初始有储能，不是处在零状态，如电系统中的电容器早先存贮有电荷，线圈内有磁能等，否则就是非线性系统。11y

(n)

x

(n2

)22y

(n)

x

(n2

)试判断下列输入、输出方程所表示的系统是线性系统还是非线性系统。y(n)

x(n2

)解：T[a

x

(n)

a

x

(n)]

a

x

(n2

)

a

x

(n2

)1

1

2

2

1

1

2

2

a1

y1

(n)

a2

y2

(n)该系统是线性系统。y(n)

3x解：y1

(n)

31y2

(n)

3x2

(n)

5T[a1x1

(n)

a2

x2

(n)]

3[a1x1

(n)

a2

x2

(n)]

5a1

y1

(n)

a2

y2

(n)

3a1x1

(n)

5a1

3a2

x2

(n)

5a2T[a1x1

(n)

a2

x2

(n)]

a1

y1

(n)

a2

y2

(n)而故当x(n)

0

无输入，而

y(n)

5

有输出这表明该系统初始有储能，所以系统的输出响应分别由输入信号产生的响应与系统初始储能产生的响应叠加起来。若储能为零且满足叠加性原理，即具有零状态线性，因而该系统应划归线性系统。根据线性运算，从频域还可推导出一个线性系统输入信号是什么频率分量，输出只含有什么频率分量，不可能出现新的频率成份。同理，若两个输入之间存在微分与积分的关系，则输出之间也一定存在同样的关系。y(t)

则有Tx(t)

00ttT,

x(

)ddx(t)

T

dy(t)dt

dt

)d

y(u(t)

Tg(t)

则有

(t)

du(t)

T

dg(t)

h(t)dt

dt若8.1.2

非时变系统（移不变系统）x(t

t1)2t12t1t非时变系统3一个系统如果它的参数与时间无关而为一个常数，或它的输入与输出的特性不随时间（独立变量）的起点而变化，则称为非时变（移不变）系统。x(t)

y(t)2

3t

t3tt13t1y(t

t1)x(t)

Ty(t)则有x(t

t0

)

y(t t

)T0x(n)

T

y(n)则有

x(n

n

)

T

y(n

n

)0

0【例8-2】试判断下列系统是时变系统还是非时变系统。y(t)

y(t)

y(t

t0

)

T[x(t

t0

)]

x(t

t0

)

y(t

t0

)所以该系统是时变系统。y(n)

x(n)

sin

0ny(n)

x(n)

sin

0n

y(n

n0

)

x(n

n0

)

sin

0

(n

n0

)解：T[x(n

n0

)]

x(n

n0

)

sin

0n

y(n

n0

)所以该系统是时变系统。8.1.3

因果系统如果一个系统在某时刻的输出只决定于某时刻的输入和过去的输入，而与未来的输入无关，则该系统称为因果系统。换句话说，因果系统的输出不能领先于输入。y(t)

f

[x(t),

x(t

t1

),

x(t

t2

),y(n)

F[x(n),

x(n

1),

x(n

2),,

x(t

tk

)],

x(n

k)]x(t)

0

t

t0

y(t)

0

t

t0则有【例8-3】试判断下列系统是否因果系统ny(t)

x(t)

x(t

2)y(t

1)

x(t)

x(t

1)y(n)

x(k

)k

y(n)

x(n)

3x(n

2)y(n)

x(n2

)y(n)

x(n)（a）（b）（c）（d）（e）（f）【解】（a），（c）为因果系统。其他均为非因果系统8.1.4

稳定系统一个实际系 定是稳定系统。对任意一个初始不储能系统，如果有界输入，产生有界输出（BIBO），则该系统称为稳定系统，即x(n)

y(n)

，若系统输入有界而输出（无限），则称为不稳定系统。8.2

分析连续系

个有力的数学工具——拉

斯变换为什么要引入拉

斯？傅里叶变换要求函数在

,

上有定义，而且绝对可积。对于某些信号，如随时间增长而增长的

eat

和

等信号，以及功率信Atn号，还难以用傅里叶分析的方法对它们进行分析。本节将定义一种新的变换对，将时间函数变换为复变量

s

（复频率）的函数，进一步扩大傅里叶分析领域，使之适用于更为广泛的一类信号，同时具有使线性系统的分析更为简便等优点。8.2.1

从傅里叶变换到拉斯变换1．拉

斯变换定义式已知一信号x(t)

eatu(t)a

0tlim

x(t)e

t

0令x(t)e

e

dt

tF[x(t)e

]

t

jtx(t)e(

j

)tdt则令复变量

s

则

tF[x(t)e

]

stx(t)e dt

X

(s)

0x(t)

eatu(t)00

tF[x(t)e

]

ate

e

e当(

a)

0则上式收敛，所以x(t)存在拉斯变换，即00X

(s)

e

dt(

sa

)teate

stdt

e(

sa

)t011s

as

ae[s]

aL[x(t)]

X

(s)

x(t)e

dt

st拉斯反变换

1

2F[x(t)e

tx(t)e

tjt]e

d

1

2x(t)

X

(s)ed(

j

)tL1[

X

(s)]

x(t)

1

2

j

jstX

(s)e

ds

j已知s

为任意实常数，故ds

将上式积分变量改为s则得拉斯反变换为双边拉斯变换斯变换和单边拉斯变换

stx(t)e

dt双边拉斯变换单边拉X

(s)

BX

(s)

0

stx(t)e

dt斯变换下限取

0

主要考虑到信号（函数）x(t)

包含有冲激

(t)出现不连续和跳变情况定义单边拉以及在t

01【例】求信号x

(t)

eatu(t),a

02x

(t)

eatu(t),

a

0的拉斯变换。解：B1eatestdt

01s

aX

(s)

eatu(t)estdt

a0B

2X

(s)

eate

stdteatu(t)e

stdt

0e(

sa

)t11s

as

a

a2.拉斯变换的收敛域B

stX

(s)

x(t)e

dt0X

(s)

stx(t)e

dtx(t)e

tdt

满足下列绝对可积条件

R的取值范围，称为拉 斯变换收敛域并以ROC表示为了直观，拉斯变换的收敛域还可以在s

复平面上用图形来说明几种信号的收敛情况e2tu(t)

L1s

2

2e2tu(t)

L1s

2

21su(t)

L

0以及右边信号x(t)u(t

t0

)的ROC，通常在右半s

平面因果信号x(t)u(t)e[s]

01.0-222.左边信号x(t)u(t)e[s]

0以及的ROC，通常在左半s

平面x(t)u(t

t0)如：

e2tu(t)

L12

s

2的ROC，通常在s

平面有限域内1

e[s]

2

，如3.双边信号x(t)或eat1

1etu(t)

e2tu(t)

Ls

1 2

s1

22-1，求所有可能与它相对应的时间函数【例8-6】已知XB

(s)

(s

1)(s

2)1X

(s)

1

1

1B

(s

1)(s

2)

s

1

s

21

1

1L11

etu(t)X

(s)

s

1etu(t)e2tu(t)2

2

21X

(s)

s

2L1e2tu(t)设解：bx

(t)

etu(t)

e2tu(t)（a）

1

为右边信号

2

为左边信号（b）（c）2

1

为双边信号ax

(t)

etu(t)

e2tu(t)bx

(t)

etu(t)

e2tu(t)cx

(t)

etu(t)

e2tu(t)斯变换与傅里叶变换之间的关系3．拉拉斯变换作为傅里叶变换的推广是一种斯变换广义的傅里叶变换，但如何从拉求得相应的傅里叶变换.收敛域包含

j轴收敛域不包含j

轴收敛域的收敛边界位于

j

轴上(1)

0

0f

(t)teatu(t)

aj

a1s

aF

(s)

1j

aF

(

j)

s

收敛域包含j

轴e

u(t)at

af

(t)(2)

0

0s

aF

(s)

1

aj氏变换存在j收敛域不包含

j

轴at

a1a傅氏变换不存在，拉a2

2a0(3)

0存在傅氏变换，但

以虚轴为收敛边界，不能简单用

，要s包含奇异函数项。

u(t)

F

(s)

1sjF

(

j)

1

()

kn

(

n

)

n

F

(

j)

F

(s)

s

jK1=1从sin

0t.u(t)的单边拉氏变换求它的傅氏变换x(t)

sin

0t.u(t)LT2020s

X

(s)

X

(

j)

X

(s)

s

j

kn

(

n

)n20

0

02220jjs

j

s

js

X

(s)

0

0002

2

2

j

(

)

(

)X

(

j)

2020(

j)

X

(

j)

K2K1零、极图20002s2

2

(s

j

2)(s

j

2)X

(s)

0

0

0

s(s2

)2s(s

j

)(s

j

)z1

j0

2

,

z2

j0

22个零点:3个极点p1

0,

p2

j0

,

p3

j0斯变换与双边拉4．单边拉斯变换B

stX

(s)

x(t)e

dt0

st单边拉 斯变换

X

(s)

x(t)e

dt双边拉斯变换at例：，x1(t)

e

u(t)2x

(t)

eat3x

(t)

e

ata

0单边：，，t

0X1

(s)

X

2

(s)

X3

(s)

1s

a

aB1

1X

(s)

X

(s)

1

s

a

aB

2X

(s)

不存在2x

(t)

eatu(t)

eatu(t)没有共同的收敛域XB3

(s)

(s

a)(s对因果信号，单边拉 斯变换等于双边拉a

斯变换，所以可以不加区别地统称为拉单边与双边拉斯变换斯变换完全不同，因而对双边拉 斯变换对双边信号必须注明其收敛域双边：8.2.2

拉斯变换（单边）的基本性质1．微分性质与积分性质（a）若x(t)

LT

X

(s)则有

sX

(s)

x(0

)dt【证明】L[e

dtdtdx(t)

dx(t)

dtst]

000

x(t)e

st

x(t)(se

stdt)0

x(0

)

s x(t)e

st

dt

sX

(s)

x(0

)0

st

e

dx(t)重复应用微分性质，求得d

2

x(t)L[dt2]

s[sX

(s)

x(0

)]

x

(0

)dtt

0

s2

X

(s)

sx(0

)

x(0

)x(0

)

dx(t)

xn1

(0

)dn

x(t)dtnn2L[ ]

sn

X

(s)

sn1x(0

)

sx

(0 )

d

r

x(t)nn1nr

1

r

r

r

0x

(0

),

x

(0 )

s

X

(s)

sdtrt

0x(t)

0,

t

0若则有xr

(0

)

0,r

0,1,2,dn

x(t)LT

sn

X

(s)dtnLx(t)

X

(s)（b）若则有x1

(0

)X

(s)tLTx(

)d

ss例：L

tu(t)解：设x(t)

u(t)则有00tu(t)

u(

)d

x(

)dtt根据积分性质得0ss2Ltu(t)

L

t

x(

)d

1

X

(s)

10ss2

s3L

t2u(t)

L

2

t

d

2

1

1

2

sn1L

tnu(t)

n!

2．初值定理与终值定律（a）若x(t)

L

X

(s)且dtL

dx(t)

存在则有slim

x(t)

x(0

)

lim

sX

(s)t0【证明】根据微分性质已知dtL

dx(t)

sX

(s)

x(0

)

0

dx(t)0

ste dt

e

dtstdtdt

dx(t)00

x(0

)

x(0

)

dt

dx(t)

e

st

dt0dt

dx(t)

e

st

dtx(0

)

sX

(s)

0e

dtstdt

dx(t)s

s

slim

x(0 )

lim

sX

(s)

lim

sx(0

)

lim

sX

(s)证得初值定理（b）若x(t)

LT

X

(s)且dtL

dx(t)

及lim

x(t)t

都存在则有lim

x(t)

x()

lim

sX

(s)t

s0x(t)

eat

[u(t)

u(t

t

)]的拉0【解】x(t)

eatu(t)

eatu(t

t

)0

eatu(t)

eat0

ea(t

t0

)u(t

t

)0根据时移性质，则得1ate

st0

1

e(sa)t0X

(s)

e0

s

a s

as

a01t

e(

sa)t0sa

salim

X

(s)

lim

0

t事实上，根据Taylor级数展开，有0(s

a)2

t2

0

2!0(sa)te

1

(s

a)t拉斯变换的收敛域是整个s

平面斯变换【例8-11】求例：周期信号的拉氏变换1LTf

(t)

F1

(s)11F

(s)LTsnTnT

)

ef

(t

LTeSnTf

(t

nT

)

F

(s)

F1

(s)1

eSTn01n0第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷递减等比级数求和求全波整流周期信号的拉氏变换例f

(t)

1T20TT20f

(t)10tt2sinTTt[u(t)

u(t

)]2

)

2S

2

(1

e

TLT2

T2S

2)

1S

T

T21

e

2

(1

e信号加窗第一周期2sin(

B)

sin

cos

B

cos

sin

B2s2

2f

(t)

sin

tu(t)

sin(

(t

T

)u(t

T

)2

2L[

f(t)]

L[sin

tu(t)

sin

(t

T

)u(t

T

)]2

2T

s(1

e

)T

2

sin

(t

T

)

sin

t1

(1

2es

e2s

)sf

(t)单对称方波周期对称方波乘衰减指数s1

e2s1

(1

es

)2

1包络函数et1

2u(t)

2u(t

1)

u(t

2)1(1

e(

S

1)

)(s

1)

(1

e(

S

1)

)求图示信号的拉氏变换s

1

es1

1

e

s抽样信号的拉氏变换)n0Te

SnT1

e

ST

1

(s)

n0抽样序列的拉氏变换

fs

(t)

f

(t)T

(t)n0SnTsF

(s)

f

(nT

)e抽样序列时域抽样信号抽样信号的拉氏变换T

(t)

(

)n00)e

St

dt11

e

ST)TL[

(t)]

*抽样信号的拉氏变换n0fs

(t)

f

(t)T

(t)

f

(nT

)

(n00SL[

f

(t)]

T

)

(t

nT

)e

St

dtn0

f

(nT

)ensTn0抽样信号的拉氏变换可表示为S域级数x

(t)

x

(t)

LT

X

(s)

X

(s)1

2

1

2*卷积定理1

2

1

2x

(t)

x

(t)

LT

X

(s)

X

(s)s

s

sX1

(s)

Lu(t)

u(t

1)

1

1

e

s

1

(1

e

s

)s

sX

2

(s)

Lu(t)

u(t

2)

1

1

e2s

1

(1

e2s

)s2

s2s3ss(1

es

)(1

e2s

)

1X1

(s)

X

2

(s)

(1

e

e

e

)s2

1

211

2x

(t)

x

(t)

LX

(s)

X

(s)

tu(t)

(t

1)u(t1)

(t

2)u(t

2)

(t

3)u(t

3)故得8.2.3

拉展开法斯反变换——部分分式斯变换对)拉

斯反变换的求取查表法(表8.2

常用的拉部分分式分解法利用拉氏变换的性质求反变换围线积分法---留数法(拉

斯反变换定义)L1[

X

(s)]

x(t)

1

2

j

jstX

(s)e

ds

jn

n1

1

0

n

1

2

nB(s)

b

sm

bsm1

X

(s)

b

s

bb

(s

z

)(s

z

) (s

z

)

m

m1

1 0

m

1

2

m

A(s)

a

sn

asn1

a

s

a a

(s

p

)(s

p

) (s

p

)B(s)

0

的根称为

X

(s)的零点：ziA(s)

0

的根称为X

(s)的极点：pi①当X

(s)为常规（真）有理函数，即B(s)与A(s)没有相同的根且分子多项式的阶次小于分母多项式的阶次，即m时，则可通过部分分式把X

(s)展开为X

(s)

knk1

k2

s

p1

s

p2s

pnki

(s

pi

)

X

(s)is

pi

1,

2, ,

nk为常数或复常数nx(t)

k

ep1t

k

ep2t

1 2

k

epnt故得t

0s3X

(s)

4s

3ss(s

1)k3

k1

k2s s

1

s

3例：1s0s0s

2

23k

sX

(s)

s(s

1)(s

3)2s1s1s

2

12k

(s

1)

X

(s)

s(s

3)3s3s3s

2

16k

(s

3)

X

(s)

s(s

1)通过查表8.2最后求得x(t)

2

u(t)

1

etu(t)

1

e3tu(t)3

2

6若pi是复数极点，则当有理函数为实系数时，必有p

p,

k

k1 2 1 2在x(t)中将出现以下的项k1p1

1

1k

e

p1t

ke

p1

(

A

jB)e(

j

)t

et

[2

A

cos

t

2B

sin

2et

[

A

cos

t

B

sin

t]1t

2

k

e

cos(t

)

由1p

j确定

tg

1

Im[k1

]Re[k1

]s2(s

2)(s2

2s

2)

3s

4X

(s)

【例8-14】求的反变换s2

3s

4X

(s)

(s

2)(s

1

j)(s

1

j)【解】极点位于p1

2,p2

1

j,p3

1

jk3k1

k2X

(s)

s

2

s

1

j s

1

jk1

(s

2)

X

(s)

s