《管理运筹学》第四版课后习题

《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容《管理运筹学》第四版课后习题答案第2章 线性规划的图解法解：。

12 15 6912-1Bx=1

，x ；最优目标函数值 。2 7 7图2-1解：

x0.22-2所示，由图解法可知有唯一解

，函数值为3.6。x 0.62图2-2无可行解。《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容无界解。无可行解。无穷多解。x20有唯一解

3，函数值为92。8 3x2 3解：标准形式maxf3x1

2x2

0s1

0s2

0s39x2x1 23x2x1 22x2x1 2

s301s 132s93x,x,s,s,s≥01 2 1 2 3标准形式minf4x1

6x2

0s1

0s23xx1 2

s61x2xs1 2 2

107x6x 41 2x,x,s,s≥01 2 1 2标准形式minfx2x2x0s0s1 2 2 1 23x5x5xs701 2 2 12x5x5x501 2 23x2x2xs 301 2 2 2x,x,x,s,s≥01 2 2 1 2解：maxz10x1

5x2

0s1

0s23x4x1 5x2x1

s91s 82x,x,s,s≥01 2 1 2松弛变量（0，0）最优解为x

=1，x=3/2。1 2解：minf11x1

8x2

0s1

0s2

0s310x1

2x2

s2013x3xs1 2 2

184x9xs1 2 3

36x,x,s,s,s≥01 2 1 2 31 剩余变量（0,0,13）最优解为x=1，x=51 解：1 （1）最优解为x=3，x=71 （2）1c1

3。（3）2c6。2（4）

x6。1x 。21 最优解为x=8，x1 c 111，最优解不变，变化后斜率c 32解：设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，目标函数z=200x＋240y，线性约束条件：《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容6x12y1208x4y64x0 域．y0域．

x2y2xy16x0y0

作 出 可 行x2y解2xy16

得Q(4,8)z 200424082720最大48元．解：xyz=x＋2y，线性约束条件：xy122xy15x3y27x0y0 x3y 作出可行域，并做一组一组平行直线x＋2y=t．解 得(9//2)xy12．但E不是可行域内的整点，在可行域的整点中，点(4,8)使z取得最小值。．答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．解：设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函x2y2数z=3x＋2y，线性约束条件2xy3 作出可行域．作一组平等直线3x＋x0y0x2y22y=t．解2xy3得C(4//C不是整点，C不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z取得最小值．z=3×1＋2×1=5，11解：设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．目标函数为z=960x＋360y．0x10线性约束条件是0y20 作出可行域，并作直线960x＋360y=0．即8x5y1008x＋3y=0，向上平移由x10 得最佳点为由8x2.5y100作直线960x＋360y=0．即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．z=960×10＋360×8=12480答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x＋10y．0.18x0.09y72 2xy8000.08x0.28y

2x7y1400即 6x＋10y=0，如图即x0 x0y0 y02xy800 x350 2x7y1400得y100．当直线6x＋10y=03x＋ 到经过点C(350，100)时，z=6x＋10y最大解：模型maxz500x1

400x22x≤30013x≤54022x2x1 1

≤4401.2x1x,x

1.5x2≥0

≤3001 2（1）x1

150，x2

70，即目标函数最优值是103000。（2）2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量。（3）50，0，200，0。（4）在0,500变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变。c（5）因为cc2

4501，所以原来的最优产品组合不变。 13．解：模型minf8xA3xB《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容50xA

100xB

≤12000005x 4xA B

≥60000100x≥300000B,x≥0A B基金A，B分别为4000元，10000元，回报额为62000元。模型变为maxz5x 4xA B50x 100x ≤1200000A B100x≥300000Bx,x≥0A B推导出x1

18000，x2

3000，故基金A投资90万元，基金B投资30万元。3章线性规划问题的计算机求解解：⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高13.333元⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不1001004016013.333120480之间。解：⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解⑵最优解为(4，8)3．解：⑴农用车有12辆剩余⑵大于300⑶每增加一辆大卡车，总运费降低192元解：计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为(10，8)解：3501003100元0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。C120-6=14；C210-3=7，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和〈100%，所以最优解不变。解：1（）x11

150，x2

70103000。（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时。（3）50，0，200，0。含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。（4）3车间，因为增加的利润最大。400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。不变，因为在0,500的范围内。所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件1值在200,44050（同理解释其他约束条件。100×50=5000，最优产品组合不变。不能，因为对偶价格发生变化。2550≤100%100 1005060≤100%140 140最大利润为103000+50×50−60×200=93500元。解：（1）4000，10000，62000。11213：基金B1个单位，风险系数不变。1012000002的剩余变量是0600003700B基金的370。当c2

c1

在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变；当cc1 2

在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。（5）1的右边值在000,1500000其他同理。（6）不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和分之一百法则。解：（1）18000，3000，102000，153000。

4 24.253.6100%，理由见百01200B的投资额的剩余变量0，表示投资B300000；10.1；基金B的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。c1

不变时，c2

在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变；cc2 1

在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。1300000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1；201200000-0.06。（6）600000 30000 故对偶价格不变。（6）900000 900000解：x1

8.5，x2

1.5，

0，x4

0，最优目标函数18.5。3约束条件23，对偶价格为23.5，约束条件2323.5。3322。5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。解：21个单位，目标函数值将增加3.622。2 xx2 ）根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和1 2≤100%，所以最优解不变。14.583 ∞15 65（4）因为30是否有变化。

100%，根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶价格9.189 111.25154章线性规划在工商管理中的应用解：为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。14种方案下料时得到的原材料根数分别为

，x，x，x

，x，x，x

，x，x，x ，x ，x x x 4-1，，x x x 4-112 13 14

1 2 3

5 6

8 9 10 11表4-1 各种下料方式下料方式 12345678910111213142640mm 211100000000001770mm 010032211100001650mm 001001021032101440mm 00010010120123minf=x x x x x x x x x x x x x minf=x x x x x x x x x x x x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141 2 3 s.t. 2x＋x＋x＋x≥1 2 3 x＋3x＋2x＋2x＋x＋x＋x ≥3502 5 6 7 8 9 103 6 8 9 11 12 x＋x＋2x＋x＋3x ＋2x ＋x ≥3 6 8 9 11 12 4 7 9 10 12 13 x＋x＋x＋2x ＋x ＋2x ＋3x ≥4 7 9 10 12 13 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：x=40，x=0，x=0，x=0，x=116.667，x

=0，1 2 3 4

6 7 8

10

12 13x14=3.333最优值为300。解：i将上午11时至下午10时分成11个班次，设x表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。iminf=16(x

＋x

＋x＋x＋x＋x

＋x＋x ＋x )1 2 3

4 5 6

8 9 10 11x1＋1≥91 x＋x＋1≥1 1 2 x＋x＋x＋2≥1 2 x＋x＋x＋x＋2≥31 2 3 4x＋x＋x＋x＋1≥32 3 4 5x＋x＋x＋x＋2≥33 4 5 6x＋x＋x＋x＋1≥64 5 6 7x＋x＋x＋x＋2≥125 6 7 8x＋x＋x＋x＋2≥126 7 8 97 8 9 x＋x＋x＋x ＋1≥7 8 9 x x x x 1 x x x x 1 8 9 10 11x，x，x，x，x，x

，x，x，x，x

，x ≥01 2 3

4 5 6 7 8

10 11通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：x=8，x=0，x=1，x=1，x=0，x

=4，x=0，x=6，x=0，x

=0，x =0320。1 2 3 4

6 7 8

10 11在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14时新1个临时工，164个临时工，186个临时工可使临时工的总成本最小。这时付给临时工的工资总额为320，一共需要安排20个临时工的班次约束 松/剩余变量 对偶价格102003204905065070080090410001100118313小时，可使得总成本更小。i xi4j3i 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 minf=16(x＋x＋x＋x＋x＋x＋x＋x)＋12(y＋y＋y＋y＋y＋y＋y＋y＋y1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 x＋y＋1≥1 1 2 1 x＋x＋y＋y＋1≥1 2 1 1 2 3 1 2 x＋x＋x＋y＋y＋y＋2≥1 2 3 1 2 x＋x＋x＋x＋y＋y＋y＋2≥31 2 3 4 2 3 4x＋x＋x＋x＋y＋y＋y＋1≥32 3 4 5 3 4 5x＋x＋x＋x＋y＋y＋y＋2≥33 4 5 6 4 5 6x＋x＋x＋x＋y＋y＋y＋1≥64 5 6 7 5 6 7x＋x＋x＋x＋y＋y＋y＋2≥125 6 7 8 6 7 86 7 8 7 8 x＋x＋x＋y＋y＋y＋2≥6 7 8 7 8 7 8 8 x＋x＋y＋y＋1≥7 8 8 8 x＋y＋1≥8 x，x，x，x，x，x

，x，x，y，y

，y，y，y，y，y

，y，y≥01 2 3

4 5 6 7 8

2 3 4 5

7 8 9用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：1 2 3 4 5 6 7 x=0，x=0，x=0，x=0，x=0，x=0，x=0，x=61 2 3 4 5 6 7 y=8，y=0，y=1，y=0，y=1，y=0，y=4，y=0，y=0。1 2 3 4 5 6 7 8 9最优值为264。具体安排如下。8313小时的班，在15：00－16：001317：00－18：004318：00－19：00安排6个4小时的班。总成本最小为264元，能比第一问节省320264=56元。解：i种产品的第ji种产品在第j为第i种产品第jmaxz5

[S

C

C'x']56Hwi ij

iij

i

i iji1ji1j5ax r(j1, ,6) i1

iij j 5

ax'i

r'j

(j1, ,6) s.t. y d(i1, ,5;j1, ,6) ij ij w w x x' y1, ,5;j1, ,6,其中k) ij

i,j

ij ij

i0 i6 ix 0,x' 0,y 0(i1, ,5;j1, ,6) ij ij ij w 0(i1, ,5;j1, ,6)ij解：设生产A、C

，x

，则可建立下面的数学模型。1 2 maxz＝10x＋12x＋141 2 11 2 1 2 s.t.x＋1.5x＋4x≤20002x＋1.2x＋x≤1000x11 2 1 2 2x≤25023x≤10031 2 x，x，x≥1 2

1 2 36。1 2 3即在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A200250100件，可使生产获利最多。ABC10元，12元，14元。材料、台时的对偶价格0A10元，B的市场容量增加一件就可12的市场容量增加一件就可使总利润增加14C0价位上增加材料数量和机器台时数。解：设白天调查的有孩子的家庭的户数x

，晚上调11 12xx，则可建立下面的数学21 22模型。11 12 21 minf=25x ＋20x ＋30x ＋2411 12 21 11 12 21 x ＋x ＋x ＋x ≥211 12 21 x x =x x =x 11 12 21 2211 x ＋x ≥11 12 x ＋x ≥12 x ,x ,x ,x ,x 11 12 21 22用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。11 12 21 x ＝700，x ＝300，x ＝0，x ＝10004711 12 21 白天调查的有孩子的家庭的户数为7003000，晚上调查的无孩子的家庭的户数为1000费用最小。白天调查的有孩子的家庭的费用在20～2619～2529元之间，总调查方案不会变化。发调查的总户数在1400到正无穷之间，对偶价格不会变化；有孩子家庭的最少调查010001300之间，对偶价格不会变化。管理运筹学软件求解结果如下：《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x,y台，总利润是P，则P=6x+8y，可建立约束条件如下：30x+20y≤300;5x+10y≤110;x≥0y≥0x,y均为整数。使用管理运筹学软件可求得，x=4,y=9,最大利润值为9600；解：1、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：0.5x1+0.2x2+0.25x3决策的限制条件：8x1+4x2+6x3≤500 铣床限制条件《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容4x1+3x2 ≤350 车床限制条件3x1 + x3≤150 即总绩效测试（目标函数）为：maxz= 0.5x1+0.2x2+0.25x32、本问题的线性规划数学模型maxz= 0.5x1+0.2x2+0.25x3S．T． 8x1+4x2+6x3≤5004x1+3x2 ≤3503x1 + x3≤150x1≥0、、最优解00元。3、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：maxz= 0.5x1+0.2x2+0.25x3S．T． 8x1+4x2+6x3≤5004x1+3x2 ≤3503x1 + x3≥18x1≥0、x2≥0、x3≥0这是一个混合型的线性规划问题。代入求解模板得结果如下：最优解，5元。解：设第i个月签订的合同打算租用j个月的面积为xij，则需要建立下面的数学模型：minf=2800x11＋4500x12＋6000x13＋7300x14＋2800x21＋4500x22＋6000x23＋2800x31＋4500x32＋2800x41s.t．x11≥15x x x x 12 21x x x ＋＋x x x 13 22 31x x x x ＋＋＋x x x x 14 23 32 41x≥0，i，j=1，2，3，4用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。11 12 13 14 21 22 23 31 32 x =15，x =0，x =0，x =0，x =10，x =0，x =0，x =20，x =0，x =1211 12 13 14 21 22 23 31 32 最优值方米一个月，20001200解：x x i iMaxZ=3.1y1+3.25y2+2.95y3-2.85x1-3.05x2-2.9x31s.t. y≤100012 1 y≤2 1 1 3 1 1 2 y≤1000-y+x-y+x1000-y+x1 3 1 1 2 1 1 2 1000-y+x-y+x≤1 1 2 1 x≤（20000+3.1y）1 x≤（20000+3.1y-2.85x+3.25y）/3.052 1 1 2x≤（20000+3.1y-2.85x+3.25y-3.05x+2.95y）/2.93 1 1 2 2 31000-y1+x1-y2+x2-y3+x3=2000i x≥0 y≥0i 解：设xij表示第i种类型的鸡饲料需要第j种原料的量，可建立下面的数学模型。maxz=9(x11＋x12＋x13)＋7(x21＋x22＋x23)+8(x31＋x32＋x33)−5.5(x11＋x21＋x31)−4(x12＋x22＋x32)−5(x13＋x23＋x33)11 11 12 12 11 12 21 21 22 23 21 22 33 31 32 x≥0.5(x＋x＋x)x≤0.2(x＋x＋x)x≥0.3(x＋x＋x)x≤0.3(x＋x＋x)x≥0.5(x＋11 11 12 12 11 12 21 21 22 23 21 22 33 31 32 x x x +x x x +x x x x x x +x x x +x x x 11 21 31 12 22 32 13 23 33x x x ＋＋x x x 11 12 13x x x ＋＋x x x 21 22 23x x x ＋＋x x x 31 32 33x≥0，i，j=1，2，3用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。11 12 13 21 22 23 31 32 x =2.5，x =1，x =1.5，x =4.5，x =10.5，x =0，x =0，x =5，x =511 12 13 21 22 23 31 32 解：Xii，Wii i i i个月末产品Ⅰ、Ⅱ库存数分别为用于第个月库存的自有及租借的仓库容积2i（立方米，则可以建立如下模型。nz=5

(5x8y)12(4.5x7y)12(S S )i i i i 2ii1 i6 i1t X01X+0X+0X+0X+0X+0X+0X+09 8 X+Z−30000=9 8 10 9 11 10 12 11 X+Z000=ZX+Z000=ZX+Z10 9 11 10 12 11 1 Y000=WY2+W1−50000=W1 Y3+W2−15000=W3Y4+W3−15000=W4Y5+W4−15000=W5Y6+W5−15000=W6Y7+W6−15000=W7Y8+W7−15000=W89 8 Y+W−15000=9 8 10 9 11 10 12 11 Y+W000=WY+WY+W10 9 11 10 12 11 1iS≤150001≤i≤1ii X+Y≤1200001≤i≤i 0.2Z+0.4WS S 1≤i≤12i i 2iX≥0,Yi i

≥0,Zi

≥0,Wi

≥0,S1i

≥0,S ≥02i用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。最优值为4910500。X1=10000,X2=10000,X3=10000,X4=10000,X5=30000,X6=30000,X7=30000,X8=45000,X9=105000,X10=70000,X11=70000,X12=70000;Y1=50000,Y2=50000,Y3=15000,Y4=15000,Y5=15000Y6=15000,Y7=15000,Y8=15000,Y9=15000,Y10=50000,Y11=50000,Y12=50000;Z8=15000,Z9=90000,Z10=60000,Z11=30000;S18=3000,S19=15000,S110=12000,S111=6000,S29=3000;其余变量都等于0。解：为了以最低的成本生产足以满足市场需求的两种汽油解，令，1234x=生产标准汽油所需的X100原油的桶数x=生产经济汽油所需的X100原油的桶数x=生产标准汽油所需的X220原油的桶数x=生产经济汽油所需的X220原油的桶数1234则，minZ=30x+30x+34.8x+34.8x1 2 3 43s.t.x1+x≥2500032 x+x≥2 0.35x

+0.6x≥0.45（x+x）1 3 1 32 4 2 0.55x+0.25x≤0.5（x+x2 4 2 1 2 3 通过管理运筹学软件，可得x=15000，x=26666.67，x=10000，1 2 3 总成本为1783600美元。解：（1）ijx,max

z=25(x11+x21max25(x x21

x x31

x)20(x51

x x32

x )17(x52

x x23

x )+11(x x53 14

x )44s.t x x11 21

x x31

x ≤140051x x x12 32

x ≥30052x x12 32

x x42

≤800x x x13 23

x ≤800053x x14 24

x ≥700445x 7x11 12

6x13

5x14

≤180006x 3x 3x ≤1500021 23 244x 3x31 32

≤140003x 2x 4x 2x ≤1200041 42 43 442x 4x51 52

5x53

≤10000x≥0,i1,2,3,4,5 j=1,2,3,4ij用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。**********************最优解如下*************************目标函数最优值为：279400变量 最优解 相差值011026.414000016.505.28015.48000011010.56100005000008.820000x011026.414000016.505.28015.48000011010.56100005000008.8200002400002.260000x2400002.26000031 32 13 23 53= 14 即x=1400，x=800，x=1000，x=5000，x2000，x=2400，x=6000，其余均为0，得到最优值为27940031 32 13 23 53= 14 (2)对四种产品利润和5个车间的可用生产时间做灵敏度分析;约束 松弛剩余变量 对偶价1025250003020403.8577000602.2704.4860000905.51002.64目标函数系数范围变量:下限当前值上限无下限2536无下限2551.419.7225无上限无下限2536无下限2551.419.7225无上限无下限2541.5无下限2530.28无下限2035.49.4420无上限无下限2031无下限2030.5613.21719.214.817无上限无下限1725.83.8无下限2530.28无下限2035.49.4420无上限无下限2031无下限2030.5613.21719.214.817无上限无下限1725.83.817无上限9.1671114.167无下限1113.26.611无上限常数项数范围：约束 下限 当前值 上限10140029002无下限30080033008002800470008000100005无下限70084006600018000无上限7900015000180008800014000无上限9012000无上限1001000015000可以按照以上管理运筹学软件的计算结果自行进行。1 2 3 xxxx1 2 3 x x x x x ，库存；第三个月正常生产，加班生产，库存x x x x x 5 6 7 8 9 10x产 ，可以建立下面的数学模型。x11minf=200(x1+x4+x7+x10)+300(x2+x5+x8+x11)+60(x3+x6+x9)147369258s.tx≤4000x≤4000x≤4000x ≤4x≤1000x≤1000x≤1000x≤1000x≤1000x≤1000147369258x ≤1000xxx1 2 3

4500xx3 xx6

xx5 xx8

30005500xx x9 10 11

4500x,x,x,x

,x,x,x,x,x,x ,x ≥01 2 3

4 5 6 7 8

10 11用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。最优值为f=3710000元。x=4000吨，x=500吨，x=0吨，x=4000吨，x=0吨，1 2 3 4 56 7 8 9 10 x=1000吨，x=4000吨=500吨，x=0吨，x =3500吨，x =10006 7 8 9 10 管理运筹学软件求解结果如下：《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容5章单纯形法解：表中a、c、e、f是可行解，f是基本解，f是基本可行解。解：该线性规划的标准型如下。1 2 1 2 max 5x＋9x＋0s+0s+01 2 1 2 1 2 s.t. 0.5x＋x＋s＝1 2 1 2 x＋x－s＝1 2 0.25x＋0.5x－s＝61 2 31 2 1 2 x，x，s，s，s≥1 2 1 2 至少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量取零。346002T40，01T不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。略解：xxxfz改为求maxf；将约束条件中的第一个方程左右两边3 3 3同时乘以xx5 6线性规划问题化为如下标准型：maxf4x1

3x2

2x3

7x4约束条件： 4xx3x3xx 11 2 3 3 4x3xxx6x

181 2 3 3 4 53x2x4x4xx21x,x

2 3 3 6,x,xx,x,x01 2 3 3 4 5 6x、x不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表里面x、x相应的列向j j j j量是相同的，只有符号想法而已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列会使选取的基矩阵各列线性相关，不满足条件。4．解：（1）表5-1x1x2x3s1s2s3迭代次数基变量CB63025000bs1031010040s20021010500s302[1]−100120zj0000000cj zj63025000线性规划模型如下。1 2 max 6x＋30x＋251 2 1 2 2 3 s.t. 3x＋x＋s2x＋x＋s1 2 2 3 1 2 3 2x＋x-x＋s＝1 2 3 1 2 3 1 2 x，x，x，s，s，s ≥1 2 3 1 2 初始解的基为（ss，sT，初始解为（0，0，0，0，00T，对应的目标函数1 2 3值为0。xs。2 3迭代基变c迭代基变cx1x2x3xx45x6x7b次数量Bnx40660000010810100010《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容043901004027600-112017/308101/3-1/3017/604015/6-5/67/367/61100-1/61/61/3x5x5x7c zjj0660000-x4xni5x2c zjj7000011-0时，该线性规划问题才有唯一最优解，即k1

0，k3

0，k5

0；0时，该线性规划问题有多重最优解。所以若满足现行解为最优解，并且有多重最优解即满足：或者k1

0，k3

0，k5

0；3或者k0，k 0，k 0；或者k10，k31 3 5

0，k50k1

0可以保证该线性规划问题有可行解。若此时该线性规划问题目标函数无界，也就是说一定存在某个检验数为正时，对应的列的系数向量元素全部非正，即k 0且k 0；5 4由表中变量均为非人工变量，则k1

0且k2

0，由于变量的非负性条件，第一个约束方程变为矛盾方程，从而该问题无可行解；解：（1）a7,b0,cd0,e0,f 0,gh7；（2）表中给出的解是最优解。解：最优解为0，最优值为。图5-1单纯形法如表5-2所示。表5-2x1x2s1s2迭代次数 基变量CB4100bs1013107s20[4]20190zj0000cjzj4100s1002.51−0.254.75x1410.500.252.251zj4201cjzj0−10−19．解：最优解为254，最优值为。最优解为004。解：解：无可行解。《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容最优解为44，最优值为。有无界解。最优解为400，最优值为8。解：该线性规划问题的最优解为(5,0,1)T,最优值为-12。6章单纯形法的灵敏度分析与对偶解：1（1）c≤2412（2）c≥62s2（3）c≤s2解：1（1）c≥−0.513（2）−2≤c≤03s2（3）c≤s2解：1（1）b≥25012（2）0≤b≤5023（3）0≤b≤1503解：1（1）b≥−412（2）0≤b≤1023（3）b≥43解：

10 1 0最优基矩阵和其逆矩阵分别为：B41，B1

41； 11

x 2

13最优解没有变化；11

0，x2

14，x3

2-96；《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容解：1 cc=21 1判断，此做法有利。2（3）0≤b≤45。2最优解不变，故不需要修改生产计划。−3有影响。解：x,x,x1 2 3

为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为maxz2.5x1

2x2

3x3约束条件：8x1

16x2

10x3

35010x1

5x2

5x3

4502x13x1 2

5x3

400x,x,x01 2 3x1

43.75,x2

x0，这时厂家获利最大为109.375万3元。10.31310工时可3.1310万元，所以厂家这样做不合算。《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容（3）B食品的加工工序改良之后，仍不投产B，最大利润不变；若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519 万元，其中x 14.167,x x x 31.667；1 2 3 4（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1 万元，其中x 11,x x 7.2，x 38；1 2 3 4所以建议生产乙产品。解：解：1 minf=10y+201 1 s.t. y+y≥1 1 1 1 y+5yy+y≥1y,y1 1 1 1 （2）maxz=100y+200y1 1 1 s.t. +4y2y+6y1 1 1 2y+3y≤1 1 y,y≥1 解：（1）minf=−10y+50y+20y.1 2 3s.t.−2y1+3y2+y3≥11 −3y+y ≥1 −y1+y2+y3 =51 2 y，y≥0，y1 2 1 2 maxz=6y−3y+2y1 2 1 2 s.t. y−y−y≤1 2 2y1+y2+y3=31 2 −3y+2y−y≤1 2 1 2 y，y≥0，y1 2 解：

maxz6y1

7y2

8y3

9y4

10y5约束条件： yy11 5yy 11 2yy12 3yy 13 4yy14 5y,y1 2

,y,y,y03 4 5原问题求解结果显示：原问题求解结果显示：对偶问题结果显示：《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容用对偶问题求解极大值更简单，因为利用单纯形法计算时省去了人工变量。:该问题的对偶问题为maxf4y1

12y2约束条件：3yy 21 22y3y 31 2yy 51 2y,y 01 2求解得maxf=12，如下所示：该问题的对偶问题为minz2y1

3y2

5y3约束条件： 2y1

3yy2

33yy1 2

4y3

85y7y1 2

6y3

10y,y,y01 2 3求得求解得minz=24，如下所示：思考：在求解《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容minfCXAXbX0其中：C为非负行向量，列向量b中元素的符号没有要求maxzCXAXbX0其中：C为非正行向量，列向量b中元素的符号没有要求以上两种线性规划时一般可以选取对偶单纯形法。解：解；正确；可能有可行解，甚至为无界解；正确；解：maxzx1

2x2

3x3xxxs

4 1 2 3 1 xx2x s 81 2 xx2 3

2s23x≥0,i1, ,3;si

≥0,j1, ,3B用对偶单纯形法解如表6-1所示。B表6-1迭代次数基变量Cx1x2x3s1s2s3b−1−2−3000s10[−1]1−1100−40s20112010811迭代次数B2迭代次数B2s300−11001−2zj000000cjzj−1−2−3000x1−11−11−1004s200211104s300[−1]1001zj−11−1100cjzj0−3−2−100基变量Cx1x2x3s1s2s3b−1−2−3000x1−1100−10−16s200031120x2−201−100−12zj−1−22103cjzj00−5−10−31 2 最优解为x=6，x=2，x=0，目标函数最优值为101 2 AXbta，其中a和b令t0，将问题化为标准型之后求解，过程如下：《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容其中最优基矩阵的逆矩阵为100 B1111， 则1005 5 B1*b 11 001 3 001 3 100t 1 t B1*ta 11 t 001 t 1 001 t 1 5t B1（bta2t 3 从而，1)当0t

3时，最优单纯形表为迭代次数迭代次数基变量cxxx123xx45bx12x4x2B120001101005t00011122010013tc c zjj00102此时5t00t0(xx1 2

)(5t,3t)，目标函数最大值为113t；2）当3t7时，由23t0可知，(x,x

)(5t,3t)并非最优解，利用对偶2 2 1 2迭代次数迭代次数基变量cx1xxxx2345b2x1x4x2xc zj jx133x2c zjjB120001101005t000（1）1122010013t00102110011700011123t2010013t00011此时70203t0，从而线性规划问题的最优解为(x,x1 2

(72t,3t13；3）当72

t107t0(x,x1 2

(72t,3t并非最优解，利用迭代次数迭代次数基变量cx1xxxx2345b2x1x4x2c zj jx13x3x2c zj4xj5B120001101005t000（1）1122010013t0010211001（1）700011123t2010013t0001101001172t0101005t21101010t-100-20x3x2c zjj此时705tx3x2c zjj(x,x1 2

t，目标函数的最大值为20；解：先写出原问题的对偶问题minf20y1

20y2约束条件：y1

4y2

2 2y3y1 3y2y1

2 (2)1 (3)4yy1 2

1 (4)y,y 01 2将y1

1,y10

3代入对偶问题的约束条件，得有且只有2（4）50（（30，从而由互补松弛定理有xx1 3

0y1y2

0束应该取等式，把xx1 3

0代入其中，得到2x 4x2 4

20解方程组得到x x 22 4

3x x2

20经验证x1

0,x2

6,x3

0,x4

2满足原问题约束条件，从而其为原问题的最优解，对应的目标函数最大值为14；《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容第7章运输问题解：7-377-386个数字；7-3922无检验数。2．解：配送量如下所示：分公司1分公司2分公司34供应商13000000供应商2002000供应商30300003.解：由最小元素法求得初始解如下123产量11010011023011014035050销量90100110求得检验数如下所示：44415所以，初始解即为最优解。解：此问题为产销平衡问题。表7-1甲乙丙丁产量1分厂211723253002分厂101530194003分厂23212022500销量4002503502001200最优解如下********************************************起 至销点发点 1 2 3 4102500502400000300350150此运输问题的成本或收益为：19800。此问题的另外的解如下。起 至销点发点 1 2 3 4102505002400000300300200此运输问题的成本或收益为：19800。2600最优解如下********************************************起 至销点发点 1 2 3 410250002400002003003500此运输问题的成本或收益为050。注释：总供应量多出总需求量 150；3150销地甲的需求提高后，也变为产销不平衡问题。最优解如下********************************************起 至 销点发点 1 2 3 4150250002400000300350150此运输问题的成本或收益为：19600。注释：总需求量多出总供应量150；第1个销地未被满足，缺少100；第4个销地未被满足，缺少50；解：140101140最有运输方案如下：仓库1仓库23加工点110040加工点22000加工点310300加工点40600解：甲乙丙A10甲乙丙A10300B2228解：首先，计算本题的利润模型，如表7-2所示。表7-2ⅠⅠ′ⅡⅡ′ⅢⅣⅤⅥ甲0.10.9乙0.1−0.40.2−0.20.6丙0.050.050.050.050.150.05−0.050.55丁−0.2−0.1−0.1−0.10.1”则以上利润模型变为以下模型。表7-3ⅠⅠ′ⅡⅡ′ⅢⅣⅤⅥ甲−0.3−0.3−0.4−0.4−0.3−0.4−0.1乙−0.3−0.3−0.1−0.10.4−0.20.2−0.6丙−0.05−0.05−0.05−0.05−0.15−0.050.05丁0.20.2−0.3−0.3−−0.1由于管理运筹学软件中要求所输入的数值必须为非负，则将上表中的所有数值均加上1，因此表7-3就变为以下模型。表7-4ⅠⅠ′ⅡⅡ′ⅢⅣⅤⅥ甲0.90.1乙1.20.4丙0.950.950.950.950.850.951.050.45丁1.10.9加入产销量变为运输模型如下。7-5ⅠⅠ′ⅡⅡ′ⅢⅣⅤⅥ产量甲0.90.1300乙1.20.4500丙0.950.950.950.950.850.951.050.45400丁1.10.9100销量150150150100350200250150由于以上模型销量大于产量所以加入一个虚拟产地戊，产量为200，模型如表7-6所示。表7-6ⅠⅠ′ⅡⅡ′ⅢⅣⅤⅥ产量甲0.90.1300乙1.20.4500丙0.950.950.950.950.850.951.050.45400《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容丁1.10.9100戊M0M000M0200销量1501501501003502002501501500用管理运筹学软件计算得出结果如图7-1所示。图7-1由于计算过程中将表中的所有数值均加上 1，因此应将这部分加上的值去掉，所以93513001365。解：建立的运输模型如表7-7。表7-712306012018021600600+60600+60×231′600+600×10%600+600×10%+60600+600×10%+60×232M700700+6042′M700+700×10%700+700×10%+6023MM65023′MM650+650×10%3556《管理运筹学》案例分析《管理运筹学》案例分析页脚内容页脚内容最优解如下********************************************起至销点发点1231101230031104040500060027003此运输问题的成本或收益为：9665注释：总供应量多出总需求量 3第3个产地剩余 1第5个产地剩余 2此问题的另外的解如下。起 至销点发点 1 2 31200230030204031500060027003此运输问题的成本或收益为：9665注释：总供应量多出总需求量 3第3个产地剩余 1第5个产地剩余 2此问题的另外的解如下。起至销点发点1231200230030114040500060027003此运输问题的成本或收益: 9665注释：总供应量多出总需求量 3第3个产地剩余 1第5个产地剩余 9．解：表7-8甲乙ABCD甲01001502001802401600乙80080210601701700A15080060110801100B200210700140501100C180601101300901100D24017090508501100110011001400130016001200最优解如下********************************************起至销点发点12345611100030020000201100006000300110000040001100005000010001006000001100此运输问题的成本或收益为130000。10．解：建立的运输模型如下。minf=54x11+49x12+52x13+64x14+57x21+73x22+69x23+65x24s.t. x11+x12+x13+x14≤1100,x21+x22+x23+x24≤1000,x11,x12,x13,x14,x21,x22,x23,x24≥0.1234A544952641100B577369611000500300550650最优解如下********************************************起至销点发点123412503005500225000650此运输问题的成本或收益为注释：总供应量多出总需求量 100第2个产地剩余 11．解：123产量874甲1515123产量874甲15150359乙101052515 50000丙10100201020销量100500（2）最优解如下********************************************起至销点发点1231001522050此运输问题的成本或收益: 145注释：总需求量多出总供应量10第2个销地未被满足，缺少5第3个销地未被满足，缺少5该运输问题只有一个最优解，因为其检验数均不为零。（4）最优解如下********************************************起至销点发点1231001522500此运输问题的成本或收益: 135注释：总需求量多出总供应量20第1个销地未被满足，缺少5第2个销地未被满足，缺少10第3个销地未被满足，缺少5第8章整数规划解：1 ①maxz=5x+81 s.t.1 x+x≤61 1 5x+9x≤451 1 x,x≥01 目标函数最优解为x*0,x*5,z*40。1 21 ②maxz=3x+21 s.t.1 2x+3x≤141 1 2x+x≤91 1 2 xx≥0x为整数x*3,1 2

2.6667,z*14.3334。1 21 2 ③maxz=7x+9x+31 2 s.t.1 2 –x+3x+x≤71 2 1 2 7x+x+3x≤381 2 1 2 3 1 x,x,x≥0x为整数，x0–11 2 3 1 目标函数最优解为x*5,x*3,x*0,z*62。1 2 3解：ixi,2,3,4,imaxz=5x1+10x2+15x3+18x4+25x5s.t.1 2 3 4 20x+5x+10x+12x+25x≤4000001 2 3 4 1 2 3 4 x+2x+3x+4x+5x≤500001 2 3 4 1 x+4x≤101 0.1x+0.2x+0.4x+0.1x+0.2x≤750,1 2 3 4 5ix≥0，且为整数，i=1,2,3,4,5。ix*0,x*0,x*0,x*2500,x*2500,z*107500。1 2 3 4 53．解：设xi为第i项工程，i=1,2,3,4,5，且xi为0–1变量，并规定，1,x

当第i项工程被选定时，i 0,i项工程没被选定时，根据给定条件，使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为maxz=20x1+40x2+20x3+15x4+30x5s.t.1 2 3 4 5x+4x+3x+7x+8x≤251 2 3 4 1 2 3 4 x+7x+9x+4x+6x≤251 2 3 4 8x+10x+2x+x+10x≤25，1 2 3 4 5ix0–1变量，i=1,2,3,4,。i1解：

1,2

1,3

1,4

1,x*0,z*。5这是一个混合整数规划问题。1 2 设x、x、x分别为利用A、B、C1 2 0,y0,i 故其目标函数为minz=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3数。1 2 3 x≤yM，x≤yM，x1 2 3 设M=1000000①该目标函数的数学模型为minz=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3s.t.1 2 x+x+x=20001 2 1 2 0.5x+1.8x+1.0x≤20001 2 1231 2 3 x≤800，x≤1x≤1x≤yM，x≤yM，x≤y1231 2 3 1 2 3 1 2 x,x,x≥0,y,y0–11 2 3 1 2 目标函数最优解为x*=370, x*=231,

=1399,y=1,y=1,y=1,z*=10。1 2 3

1 2 3②该目标函数的数学模型为minz=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3s.t.1 2 x+x+x=20001 2 1 2 0.5x+1.8x+1.0x≤25001 2 1231 2 3 x≤800，x≤1x≤1x≤yM，x≤yM，x≤y1231 2 3 1 2 3 1 2 x,x,x≥0,y,y0–11 2 3 1 2 目标函数最优解为x*=0, x*=625, x*=1375,

=0,y

=1,y

=1, z*=8。1 2 3

1 2 3③该目标函数的数学模型为minz=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3s.t.1 2 x+x+x=20001 2 1 2 0.5x+1.8x+1.0x≤28001 2 1231 2 3 x≤800，x≤1x≤1x≤yM，x≤yM，x≤y1231 2 3 1 2 3 1 2 x,x,x≥0,y,y0–11 2 3 1 2 目标函数最优解为x*=0, x*=1000, x*=1000,

=0,y

=1,y

=1,z*=7500。1 2 3

1 2 3④该目标函数的数学模型为minz=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3s.t.1 2 x+x+x=20001 2 1231 2 3 x≤800，x≤1x≤1x≤yM，x≤yM，x≤y1231 2 3 1 2 3 1 2 x,x,x≥0,y,y0–11 2 3 1 2 目标函数最优解为x*=0, x*=1200, x*=800,

=0,y

=1,y

=1,z*=6900。1 2 3

1 2 3解：ij i xD地运往R,2,3,,2,ij i 0,y0,i

i地被选设库房，i该目标函数的数学模型为minz=45000y1+50000y2+70000y3+40000y4+200x11+400x12+500x13+300x21+250x22+400x23+600x31+350x32+300x33+350x41+150x42+350x43s.t.11 12 13 x+x+x≤1000y11 12 13 2 21 22 23 31 32 33 41 42 43 x+x+x≤1000yx+x+x≤1000yx+x+x≤1000yy2 21 22 23 31 32 33 41 42 43 1 2 3 y+y+y+y≤1 2 3 3 y+y≤3 ij x≥00−1变量，iij x*=500,x*11 12

=0,x*13

=500,x*21

=0,x*22

=0,x*23

=0,x*31

=0,x*32

=0,x*33

=0,x*=0,x*41 42

=800,x*43

=200,y1

=1,y2

=0,y3

=0,y4

=1,z*=625000。也就是说在北京和武汉建库房，北京向华北和华南各发货500件，武汉向华中发货800件，向华南发货200件就能满足要求，即这就是最优解。解：ij 0−1xxij

1，当指派第i人去完成第j项工作时，0，当不指派第i人去完成第j项工作时。①为使总消耗时间最少的目标函数的数学模型为minz=20x11+19x12+20x13+28x14+18x21+24x22+27x23+20x24+26x31+16x32+15x33+18x34+17x41+20x42+24x43+19x44s.t.x11+x12+x13+x14=1,x21+x22+x23+x24=1,x31+x32+x33+x34=1,x41+x42+x43+x44=1,x11+x21+x31+x41=1,x12+x22+x32+x42=1,x13+x23+x33+x43=1,x14+x24+x34+x44=1,x为0−1变量，i=1,2,3,4,j=1,2,3,4目标函数最优解为x*=0,x*

=1,x*=0,

=0,x*=1,

=0,x*=0,

=0,x*=0,

=0,x*=1,x*=0,x*=0,x*

=0,11 12

13

21

23

31

33 34 41 42x*=0,x*43 44

=1,z*=71。或x*=0,

=1,x*=0,

=0,x*=0,

=0,x*=0,

=1,x*=0,

=0,x*=1,x*=0,x*=1,x*

=0,11 12

13

21

23

31

33 34 41 42x*=0,x*43 44

=0,z*=71。B项工作，乙做A项工作，丙做CD项工作，或者是安排甲B项工作，乙做D项工作，丙做C项工作，丁做A项工作，最少时间为71管理运筹学软件的整数规划中的指派问题子程序直接求得。②为使总收益最大的目标函数的数学模型是将①中的目标函数改为求最大值即可。目标函数最优解为x*=0,x*

=0,x*=0,

=1,x*=0,

=1,x*=0,

=0,x*=1,

=0,x*=0,x*=0,x*=0,x*

=0,11 12

13

21

23

31

33 34 41 42x*=1,x*43 44

=0,z*=102。即安排甲做D项工作，乙做C项工作，丙做A项工作，丁做B项工作，最大收益为102。③由于工作多人少，我们假设有一个工人戊，他做各项工作所需的时间均为0，该问题就变为安排5个人去做5项不同的工作的问题了，其目标函数的数学模型为minz=20x11+19x12+20x13+28x14+17x15+18x21+24x22+27x23+20x24+20x25+26x31+16x32+15x33+18x34+15x35+17x41+20x42+24x43+19x44+16x45s.t.x11+x12+x13+x14+x15=1,x21+x22+x23+x24+x25=1,x31+x32+x33+x34+x35=1,x41+x42+x43+x44+x45=1,x51+x52+x53+x54+x55=1,x11+x21+x31+x41+x51=1,x12+x22+x32+x42+x52=1,x13+x23+x33+x43+x53=1,x14+x24+x34+x44+x54=1,x15+x25+x35+x45+x55=1,x为0−1变量，i=1,2,3,4,5,j=1,2,3,4,5。目标函数最优解为x*=0,x*

=1,x*=0,x*=0,

=0,x*=1,

=0,x*=0,x*=0,x*

=x*=0,

=0,x*=1,

=0,11 12

13 14

21

23 24

31

33 34x*=0,x*35 41

=0,x*42

=0,x*43

=0,x*44

=0,x*45

=1,z*=68。即安排甲做B项工作，乙做A项工作，丙做C项工作，丁做E项工作，最少时间为68分钟。④该问题为人多任务少的问题，其目标函数的数学模型为minz=20x11+19x12+20x13+28x14+18x21+24x22+27x23+20x24+26x31+16x32+15x33+18x34+17x41+20x42+24x43+19x44+16x51+17x52+20x53+21x54s.t.11 12 13 x +x +x +x ≤11 12 13 21 22 23 x +x +x +x ≤21 22 23 31 32 33 x +x +x +x ≤31 32 33 41 42 43 x +x +x +x ≤41 42 43 x +x +x +x

≤1,51 52 53 54x11+x21+x31+x41+x51=1,x12+x22+x32+x42+x52=1,x13+x23+x33+x43+x53=1,x14+x24+x34+x44+x54=1,x为0−1变量，i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,5。目标函数最优解为x*=0,x*

=0,x*=0,

=0,x*=0,

=0,x*=0,

=1,x*=0,

=0,x*=1,x*=0,x*=1,x*

=0,11 12

13

21

23

31

33 34 41 42x*=0,x*43 44

=0,x*51

=0,x*52

=1,x*53

=0,x*54

=0,z*=69。或x*=0,

=0,x*=0,

=0,x*=1,

=0,x*=0,

=0,x*=0,

=0,x*=1,x*=0,x*=0,