《量子力学》期末考试试卷及答案05

PAGE2009学年第二学期《量子力学》（B）卷参考解答及评分标准（5）答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。

0,

0x2a一质量为 的粒子在一维无限深方势阱V(x)

xx2a中运动，写出其状态波函数和能级表达式（5）解：

1a(x)1an

sin

2a

0x2a, 0,

x0,x2aE 22n2n 8a2

n1,2,3, Sss1 2

，写出（S2,Sz

）的归一化本征态（即自旋单态与三重态（5）（

2,S ）的归一化本征态记为 ，则z 2自旋单态为 200

1(1)(2)(1)(2) 11 1 自旋三重态为

(1)(2)(1)(2)10 211

(1)(2)对于阶梯形方势场1V(x),1V2

xaxa ，如果（V2

V）(x(x）1解：(x(x也连续。,d中被测到的几率为Pd0

r,,2

r2dr。（5）iy,Liy,Lixzx,py

0

z,pz

,2 y x

L,pipxipx 量子力学中，体系的任意(x)可用一组力学量完全集的共同本征 (x)展开：n(x) an n

(x)，则展开式系数an

n

n(x),(x)*(x)(x)dx。（5）n

,2一个电子运动的旋量波函数为

r,s

r ，则电子自旋向上z ,2 r （s 2

,/22；、位置在r处的几率密度表达式为 rz电子自旋向下（s 2）的几率的表达式为d3r , /22（5分）z已知厄米算符A、B互相反对易：A,BABBA0；b 是算符B的本征态：Bbb，本征值b0。证明在态b中，算符A的平均值等于零（10分）证： BABBA0， 0bb bABbbBAb bAb但b0，从而有AbAb0，即在态b 中，算符A的平均值为零。1/2(x1/2

e2x2/2it证明其势能Vm2x2的平均2值与动能

Tp22m

1的平均值相等，皆为4

x2dx ]（10分）证： x

*(x,t)x(x,t)dx

xexdx 3

1

2m，1 V m2x2 2 41 p2

2 d2T 2m2

e2x2/

2mdx2

e2x2/2dx2m 4x22)e2x22m 2 22 12m 2 2m

4m

。4 在直角坐标系中，证明：[Lp20Lp为动量算符。（10分）证： [Lx

,p2][Lx

,px

py

p2][Lz

,p2][Ly

,p2]zp[Ly x

,p][Ly

,p]p

p[Lz

,p][Lz

,p]pzippy z

ppz

ippz y

ppy

0；同理，

[L ,p2]0， [Ly

,p2]0所以 [L,p2]0在时间t0时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：(x,0) 1u5 0

(x)

1u(x)cu2 2 3

(x)，式中un

是振子的第n个本征函数。试求c的数值；3写出在t时刻的波函数；在t0时振子能量的平均值是多少？t1秒时呢？（15）（）

2 15 15

231012 c21, 得c31012 （2）(x,t)

1u(x)ei1t50

1u(x)ei5t22

3u10

(x)ei7t222 （3）在t0时振子能量的平均值是222 15121 2 5 2 1512

2 12310E2 2 2 310

。 t1秒时振子能量的平均值也是12。5质量为的粒子受微扰后，在一维势场AcosxV(x) a,

0xax0,xa中运动。题中应当把什么看作微扰势？写出未受微扰时的能级和波函数；用微扰论计算基态能量到二级近似，其中A

2210a2。0

sinnxsinmxdx

（15）（）应在一维无限深势阱V(x)

0xax0,xa的基础上，把

Acosx,H a,

0xax0,xa看作微扰势。未受微扰时的波函数和能级分别为2an2a

n222(0)(x) sin

E(0)

n1,2,3,n a

2a2未受微扰时的基态波函数和能量分别为(0)(x)1

sinx2aa2a

E(0)1

22，2a2基态能量的一级修正：

a2 x x 2Aa x xE

Hsin2

Acos dx

sin

dsin1 2A

a a a a a0 0xa

sin

0。0基态能量的二级修正：HHn12E(2)1

'E(0)n 1

E(0)，2a2a2aH a 2a

nxAcosx sinxdxn10Aaa0

a a anx2cosxsinxdxa a aAa

nxsin

x xd a a a0Asinnysin2ydy0AA22A22

A2 n2所以 E(2)

A2 1

a2A2。1 E(0)E(0)

4