第1讲集合的概念与运算课件-高三数学一轮复习

集合与常用逻辑用语第一章第1讲集合的概念与运算考纲要求考情分析命题趋势1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．5．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．6．能用韦恩(Venn)图表达集合间基本关系及集合的基本运算．2017·全国卷Ⅰ，12017·全国卷Ⅱ，22017·全国卷Ⅲ，12016·江苏卷，12016·四川卷，12016·天津卷，11．集合间的运算：交集、并集、补集等．2．常以一些特殊符号⊕，⊗，*等来连接两个集合，赋予集合一种新运算，或者给集合一种新背景．3．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合间的关系、运算，常用分类讨论求解．4．考题形式多为选择、填空题．分值：5分板块一板块二板块三栏目导航1．元素与集合(1)集合元素的特性：__________、__________、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作__________；若b不属于集合A，记作________.(3)集合的表示方法：__________、__________、图示法．(4)常见数集及其符号表示确定性互异性a∈A

b∉A

列举法描述法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号_____

__________

_____

_____

_____N

N*或N＋

Z

Q

R

2．集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素________或________真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A________或________相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是________集合的子集∅⊆A空集是____________集合的真子集∅B且B≠∅A⊆B

B⊇A

任何任何非空{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}(2)三种运算的常见性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝_______，A∩∅＝_______.③A∪A＝_______，A∪∅＝_______.④A∩∁UA＝_______，A∪∁UA＝_______，∁U(∁UA)＝_______.⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.A

∅A

A

∅

U

A

××××2．(2017·浙江卷)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝(

)A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析

根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．A

3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(

)A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅解析

集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选A．A

4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(

)A．3 B．2C．1 D．0B

5．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________________.解析

∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．{x|x≤2或x≥10}集合元素性质的应用警示(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．一集合的基本概念

C

D

二集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．【例2】(1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(

)A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为____________.C

(－∞，3]三集合的基本运算

集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．C

B

B

四集合中的创新题集合定义新情景的解决方法解决集合的新情景问题，应从以下两点入手：(1)正确理解创新定义，这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键，在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．【例4】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(

)A．77 B．49 C．45 D．30解析

A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(－1，0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，A⊕B表示点集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．同理，由y1＝－1，0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．当x1＋x2＝－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点．当x1＋x2＝－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1,0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点．故A⊕B共有2×5＋5×7＝45(个)元素．C

1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(

)A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析

因为A∩B＝{1}，所以1∈B，即1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，故选C．C

2．(2017·北京卷)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝(

)A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析

由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}，故选A．A

3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(

)A．1 B．2C．3 D．4解析

A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个，故选D．D

4．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________________.解析

A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0<x<2}，则A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．{0}∪[2，＋∞)错因分析：对于含字母参数的集合，根据条件求出字母的值后，容易忽略检验是否满足集合元素的互异性及其他条件．易错点1不注意检验集合元素的互异性【跟踪训练1】已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B.解析

由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B(－3，－2,1)，A∩B＝(1，－3)，故a＝0舍去．②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝(－4，－3,2)，满足A∩B＝{－3}，从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．错因分析：空集是个特殊集合．在以下四种条件中不要忽略B是空集的情形：①B⊆A；②BA(A非空)；③B∩A＝B；④B∪A＝A.易错点2忽略空集【例2】设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是______________.②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1．综上所述，所求实数a的取值范围是{a|a≤－1或a＝1}．答案(－∞，－1]∪{1}【跟踪训练2】(2018·江西临川一中月考)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；(2)已知集合C＝{x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．解析

(1)∵3≤32≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}．∵log2x>1，即log2x>log22，∴