九年级数学下例说用二次函数求图形面积的最值知识点分析人教版

例说用二次函数求图形面积的最值二次函数常用来解决最优化问题这类问题。而图形面积最优化问题已经走进各省市的中考试卷。下面分类予以说明。围成图形面积的最值只围二边的矩形的面积最值问题如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18-x）（米），根据题意，得：；又∵（2）∵中，a=-1＜0，∴y有最大值，即当时，故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。只围三边的矩形的面积最值如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米），根据题意，得：；又∵∵中，a=＜0，∴y有最大值，即当时，故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。围成正方形的面积最值例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm由题意得：解得：当时，20-x=4；当时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。（2）不能理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为cm，围成两个正方形的面积为ycm2，根据题意，得：，∵中，a=2＞0，∴y有最小值，即当时，=12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm2.围成扇形的面积最值例4用长为30米的铁丝围成一个扇形,问如何围扇形的面积最大?解:如图3，设围成扇形的半径为R米,则围成扇形的弧长为(30-2R)米,扇形的面积为y（平方米）,根据题意，得：∵中，a=-1＜0，∴y有最大值，即当时，故当围成的扇形的半径R是米时，扇形的面积最大，最大面积为平方米。截出图形面积的最值问题例5如图4,△ABC是一块锐角三角形的余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成长方形零件PQMN,使长方形PQMN的边QM在BC上,其余两点P、N在AB、AC上。问如何截才能使长方形PQMN的面积S最大？在这个长方形零件PQMN面积最大时，能否将余下的材料△APN、△BPQ△NMC剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件PQMN大小一样的长方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。分析：解题的关键是利用几何知识求得函数关系式，再利用函数的性质加以解决问题。解：（1）设长方形零件PQMN的边PN=amm，PQ=xmm，则AE=AD-ED=AD-PQ=（80-x）mm，∵PN∥BC∴△APN∽△ABC，∴（相似三角形的对应高的比等于相似比）∴，∵，∴0＜x＜80∴S=（0＜x＜80）∵S=（0＜x＜80）中，a=＜0，∴S有最大值，即当时，故当截得的长方形零件PQMN的长为60mm，宽为40mm时，长方形零件PQMN的面积最大，最大面积为2400mm2。点评：长方形零件PQMN的面积最大时，PN恰好是三角形的中位线。（2）能。理由是：拼法：作△ABC的中位线PN，分别过P、N两点作BC的垂线，垂足分别为Q、M，过A作BC的平行线，分别交QP、MN的延长线于G、H两点因此，四边形PNGH即为和长方形PQMN大小一样的长方形。例6如图6，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4。求：（1）四边形CGEF的面积S与x之间的函数关系式；（2）四边形CGEF的面积S是否存在着最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。解：（1）梯形ABCD的面积为==18，S△AEF=AE×AF=x（6-x）=3x-x2；S△DGE=DE×DG=x（4-x）=2x-x2；S△BCF=BF×DA=x×4=2x；所以，S=18-（3x-x2）-（2x-x2）-2x=x2-7x+18；因为：GC＞0、DE＞0、AF＞0，所以6-x＞0、3-x＞0、4-x＞0、x＞0所以0＜x＜3因此自变量x的取值范围是：0＜x＜3。（2）因为S=x2-7x+18=（x-）2+，故当x=时，面积有最小值，而自变量x的取值范围是：0＜x＜3，所以x=根本不在这个范围内，因此面积不存在最小值。采光面积的最值例7用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。求窗框的透光面积S（平方米）与窗框的宽x（米）之间的函数关系式；求自变量x的取值范围；问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？分析：关键是用含x的代数式表示出BC的长。解：(1)由图示的信息，可得：3BC+2×0.5+3x=19,所以,BC=6–x,所以AC=AB+BC=(6–x+0.5)米,所以,S=(6–x+0.5)x=-x2+x;(2)由题意,得:x＞0,6-x＞0,所以0＜x＜6,因此自变量x的取值范围是：0＜x＜6,（3）∵S=(6–x+0.5)x=-x2+x中，a=-1＜0，∴S有最大值，即当时，故当x=米时，窗框的面积最大，最大面积为平方米。动态图形面积的最值例8如图8，如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.①求S关于t的函数关系式；②求S的最大值.解：(1)当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=.∴SΔAPE=.(2)①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.当8≤t≤10时，点P和点Q都在B