高职应用数学估计课件

第二节参数估计一.点估计设为总体X的待估计的参数，为总体X的一个样本，以具体数值去估计未知参数的方法叫点估计法.点估计的基本思想是：（1）用一定的方法构造出一个估计量（2）依据样本值计算出估计量的观察值（3）以此值作为总体参数的数值.定义9.2.1第二节参数估计一.点估计设为总体X的待估计的参数1以样本数字特征作为总体数字特征的估计量的方法称为数字特征估计法,简称数字特征法.数字特征法是点估计中最简单的方法.和样本方差的均值和方差的估计量,即,.常用的三种点估计法:1.数字特征法分别作为总体我们常选择样本均值以样本数字特征作为总体数字特征的估计量的方法称为数字特征估计2从某一正态总体中,随机抽取一个容量为5的样本,其样本值为12.6,12.0,12.2,12.8,12.5,试估计总体的均值和方差值.,样本方差为可取12.4和0.0975分为总体的均值和方差的估计值.解样本均值为例9.2.1=0.0975.从某一正态总体中,随机抽取一个容量为5的样3例9.2.2设总体～试求的估计量.解由设则例9.2.2设总体～试求的估计量.解由设则42.矩估计法设X1,X2,…,Xn是取自总体的一个样本总体X的k阶:样本的k阶矩:

样本的

k阶中心矩:总体Xk阶中心矩:

矩估计法就是用样本各阶矩估计总体相应的各阶矩,从而求得未知参数的估计量.数字特征法即为特例.2.矩估计法设X1,X2,…,Xn是取自总体的一个样本总5设总体X的分布中含有未知参数

假定总体X的m阶原点矩

存在.令

，即

解此方程组，可求得分别用解

作为未知参数

的估计量.这样求出的估计量称为矩估计量.

设总体X的分布中含有未知参数假定总体X的m阶原6例9.2.3(1)设

是取自正态总体X~N的一个样本，试求参数

的估计量.

解令

解方程组，

得

的矩估计量为

例9.2.3(1)设是取自正态总体X~N的一个样本，7例9.2.3(2)

设总体X服从均匀分布

它的概率

密度为求(1)未知参数的矩估计量；(2)当样本值为1.2，1.5，1.6，1.3，1.7，1.8时，求的矩估计值.例9.2.3(2)设总体X服从均匀分布它的概率密度为求8解

(1)因为

令

,即

所以

(2)由所给的样本值得所以

解(1)因为令,即所以(2)由所给的样本值得所以93.最大似然估计法

最大似然估计法是对分布密度函数的参数进行点估计.设为随机变量X的概率密度函数，计的参数.

为待估为取自总体X的一个样本，

相应

的样本值为

，令

称

为的似

然函数.

在对参数的估计时，应使似然函数

达到最大，

这种方法称为最大似然估计法.

所得到的估计量

最大似然估计量。

称为3.最大似然估计法最大似然估计法是对分布密度10如果把xi看作常数，

于是求最大似然估计量

的问题，就转化为寻求的值，使最大.如下：

具体步骤(1)构造似然函数

(2)取对数

(3)解方程

求出使取得极大值的，即是的最大似然估计量.如果把xi看作常数，于是求最大似然估计量的问题，就转11设似然函数为对上式求偏导数，令这组方程的解

就是未知参数

的最大似然估计量.

设似然函数为对上式求偏导数，令这组方程的解就是未知参数的12例9.2.4设总体X的概率密度为其中为未知参数，且.试求的矩估计量和最大似然估计量.解（1）因为令

解得

所以

例9.2.4设总体X的概率密度为其中为未知参数13（2）设是总体X的样本值，

似然函数为则的取对数

对求导，得方程解得

所以

（2）设是总体X的样14例9.2.5设总体～为取自总体的一个样本,试求的最大似然估计.解设是样本的一个样本值,因为的分布律为所以最大似然函数为,例9.2.5设总体～为取自总体的一个样本,试求的最大似然15取对数得

求导数并令其等于0,得

解得,所以的最大似然估计量为.取对数得求导数并令其等于016三.估计量的评价标准

对于同一个未知参数

可以采用不同的方法去估计，求出的估计量一般与真值不相等.

那么，

哪一个更好呢？

需要一定的标准来评价，

效性这两个标准评价估计量的好坏.

通常用无偏性和有1.无偏性设是总体X的未知参数的估计量，若

称为参数的无偏估计量.三.估计量的评价标准对于同一个未知参数可以采用不同的方法17例9.2.6设总体,是总体试判别以下估计量中哪些是无偏的？.解因为,,的一个样本,得

有例9.2.6设总体,是总体试判别以下估计量中哪些是无偏的？.18所以,是的无偏估计量,不是的无偏估计量.所以,是的无偏估计量,不是的无偏估计量.19附例

设

是取自正态总体

X~N的一个样本，试说明：

(1)样本均值

是总体均值

的无偏估计；

(2)统计量

是总体方差

的无偏估计；而统计量不是

的无偏估计.

附例设是取自正态总体X~N的一个样本，试说明：(120解（1）因为

所以

（2）

即

是

的无偏估计。

解（1）因为所以（2）即是的无偏估计。21由于

，即

由于，即22得

所以统计量是总体X的方差的无编估计.而

所以统计量不是总体X的方差的无偏估计.得所以统计量是总体X的方差的无编估计.23(2)有效性对一个参数而言，仅根据无偏性来确定估计量的好坏是不够的，

还要求它具有最小的方差，

即

的偏离程度越小越好，

这就是有效性的要求.都是总体X的未知参数

的无偏估计量,

如果

称

有效.

(2)有效性对一个参数而言，仅根据无偏性来确定估24例9.2.7

设

是取自正态总体X~N的一个样本.试说明：

有效.

例9.2.7设是取自正态总体X~N的一个样本.试说明25解由于

相互独立且都与X同分布，所以于是

即

都是的无偏估计.而解由于相互独立且都与X同分布，所以于是即都是26所以

所以27附例

设总体X~NX1,X2是总体X的一个样本，设问(1)中哪些是无偏估计量？(2)哪一个无偏估计量有效？

附例设总体X~NX1,X2是总体X的一个样本，设问(28解因为X~N有

得

解因为X~N有得29高职应用数学第二节-估计课件30所以，

的无偏估计量，

的无偏估

计量，

且有效.所以，的无偏估计量，的无偏估计量，且31三.

区间估计区间估计，

就是构造两个统计量

及

用随机区间

来估计总体分布所含未知参数的可能取值范围的一种估计.

设总体X的未知参数为，对于给定的常数

，若由样本

构造的统计量

值满足

称

为置信度（或称置信水平），

区间

是

的置信度为

的置信

区间，

简称置信区间，

分别称为置信下限和置信

上限.

定义9.2.2

三.区间估计区间估计，就是构造两个统计量及用随机区间32区间

是随机的，

不同的样本取到的区间不同.

若选取置信度越大，

即未知参数

区间的概率越大，

的真值在置信那么估计值的可靠性就高；

区间的长度越大，

此时置信

即估计值误差也越大，

则估计的精确

性就低，反之，则相反.

因此，在实际问题中，

选取置信度的值，

兼顾估计值的可靠性与精确性.应适当区间是随机的，不同的样本取到的区间不同.若选取置信度331.已知方差

对期望的区间估计

设

是取自正态总体X~N个样本，

的一由样本均值的分布知，

统计量：

，对于给定的置信度

由标准

正态分布表，

存在双侧临界值

，使得

1.已知方差对期望的区间估计设是取自正态总体34即所以的置信区间为：即所以的置信区间为：35例9.2.8

设总体X~N现从中抽取容量为7的样本值：

1410，1505，1360，1530，1470，1525，1455．

试求在置信度为95%下的置信区间.解

已知，

由

，所以

查标准正态分布表，，故

例9.2.8设总体X~N现从中抽取容量为7的样本值：136且

×1.96=1539.1

即的置信度为0.95的置信区间是(1390.9，1539.1).且×1.96=1539.1即的置信度为0.95的37则（3085.50,3165.17）.的置信水平为99%的置信区间为注:

例9.2.9的答案说明,在已知可以99%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在的条件下,3085.50港元至3165.17港元之间.则（3085.50,3165.17）.的置信水平为99%的置38例9.2.9【消费调查】香港某旅行社为调查当地旅游者分布,且标准差港元,求该地旅游者平均消费额的置信度为99%的置信区间.由置信度得查附表求得的平均消费额,随机访问了100名旅游者,得知平均消费额港元.根据经验,已知旅游者消费服从正态解由题设所以例9.2.9【消费调查】香港某旅行社为调查当地旅游者分布,且392.未知方差

，对期望的区间估计设

是取自正态总体X~N的一个

样本，

由t分布知，统计量其中和S分别是样本均值和样本标准差.对给定的置信度，由t分布表，存在双侧临界值2.未知方差，对期望的区间估计设是取自正态总体40使得成立，即如下图所示，所以的置信区间为使得成立，即如下图所示，所以的置信区间41图9.2.1图9.2.142例9.2.10

设取自正态总体X~N的一组样

本值4.6，5.3，5.0，5.8，6.3，5.5，4.9，5.1.

试求总

体均值的置信度为0.90的置信区间.解

未知，

查t分布表，

且

例9.2.10设取自正态总体X~N的一组样本值4.43所以的置信度为0.90的置信区间是(4.9484，5.6766

).所以的置信度为0.90的置信区间是(4.9484，544例9.2.11【保险理赔】一家保险公司想要估计过去一元,样本标准差是元.试以99%置信水平估计去年一年里投保由得查分布表求得年里投保人的平均理赔额,选取了36个投保人作为一个随机样本,得到样本均值是人的平均理赔额.解由题知例9.2.11【保险理赔】一家保险公司想要估计过去一元,样本45即去年一年里投保人平均理赔额的置信水平为99%的置信区间为（598.10,881.95）.所以即去年一年里投保人平均理赔额的置信水平为99%的置信区间为（46

3.方差的区间估计设

是取自正态总体X~N

的一个样本，

由分布知，统计量其中为方差，为样本方差.对于给定的置信度由分布表,存在双侧和,使得,临界值3.方差的区间估计设是取自正态总体X~N的一个47图9.2.2

即所以的置信区间为.如(图9.2.2)所示,图9.2.2即所以的置信区间为.如(图9.2.2)所示,48

例9.2.12

以例9.2.10所给条件，求总体方差的置信度为0.90的置信区间.

解

分布表可得

所以，方差的置信度为0.90的置信区间是例9.2.12以例9.2.10所给条件，49例9.2.13【医学检验】

为考察某地区成年男性的胆样本标准差假定所论胆固醇水平均未知,试分别求置信水平为90%且解由题知由得查

分布表得固醇水平,现抽取了样本容量为25的样本,并测得样本均值和的置信区间.的和所以

例9.2.13【医学检验】为考察某地区成年男性的胆样本标准50故的置信水平为90%的置信区间为（181.89,190.11）.的分布表,求得所以

故置信水平为90%的置信区间为（94.89,249.53）.查自由度为故的置信水平为90%的置信区间为（181.89,190.1151第二节参数估计一.点估计设为总体X的待估计的参数，为总体X的一个样本，以具体数值去估计未知参数的方法叫点估计法.点估计的基本思想是：（1）用一定的方法构造出一个估计量（2）依据样本值计算出估计量的观察值（3）以此值作为总体参数的数值.定义9.2.1第二节参数估计一.点估计设为总体X的待估计的参数52以样本数字特征作为总体数字特征的估计量的方法称为数字特征估计法,简称数字特征法.数字特征法是点估计中最简单的方法.和样本方差的均值和方差的估计量,即,.常用的三种点估计法:1.数字特征法分别作为总体我们常选择样本均值以样本数字特征作为总体数字特征的估计量的方法称为数字特征估计53从某一正态总体中,随机抽取一个容量为5的样本,其样本值为12.6,12.0,12.2,12.8,12.5,试估计总体的均值和方差值.,样本方差为可取12.4和0.0975分为总体的均值和方差的估计值.解样本均值为例9.2.1=0.0975.从某一正态总体中,随机抽取一个容量为5的样54例9.2.2设总体～试求的估计量.解由设则例9.2.2设总体～试求的估计量.解由设则552.矩估计法设X1,X2,…,Xn是取自总体的一个样本总体X的k阶:样本的k阶矩:

样本的

k阶中心矩:总体Xk阶中心矩:

矩估计法就是用样本各阶矩估计总体相应的各阶矩,从而求得未知参数的估计量.数字特征法即为特例.2.矩估计法设X1,X2,…,Xn是取自总体的一个样本总56设总体X的分布中含有未知参数

假定总体X的m阶原点矩

存在.令

，即

解此方程组，可求得分别用解

作为未知参数

的估计量.这样求出的估计量称为矩估计量.

设总体X的分布中含有未知参数假定总体X的m阶原57例9.2.3(1)设

是取自正态总体X~N的一个样本，试求参数

的估计量.

解令

解方程组，

得

的矩估计量为

例9.2.3(1)设是取自正态总体X~N的一个样本，58例9.2.3(2)

设总体X服从均匀分布

它的概率

密度为求(1)未知参数的矩估计量；(2)当样本值为1.2，1.5，1.6，1.3，1.7，1.8时，求的矩估计值.例9.2.3(2)设总体X服从均匀分布它的概率密度为求59解

(1)因为

令

,即

所以

(2)由所给的样本值得所以

解(1)因为令,即所以(2)由所给的样本值得所以603.最大似然估计法

最大似然估计法是对分布密度函数的参数进行点估计.设为随机变量X的概率密度函数，计的参数.

为待估为取自总体X的一个样本，

相应

的样本值为

，令

称

为的似

然函数.

在对参数的估计时，应使似然函数

达到最大，

这种方法称为最大似然估计法.

所得到的估计量

最大似然估计量。

称为3.最大似然估计法最大似然估计法是对分布密度61如果把xi看作常数，

于是求最大似然估计量

的问题，就转化为寻求的值，使最大.如下：

具体步骤(1)构造似然函数

(2)取对数

(3)解方程

求出使取得极大值的，即是的最大似然估计量.如果把xi看作常数，于是求最大似然估计量的问题，就转62设似然函数为对上式求偏导数，令这组方程的解

就是未知参数

的最大似然估计量.

设似然函数为对上式求偏导数，令这组方程的解就是未知参数的63例9.2.4设总体X的概率密度为其中为未知参数，且.试求的矩估计量和最大似然估计量.解（1）因为令

解得

所以

例9.2.4设总体X的概率密度为其中为未知参数64（2）设是总体X的样本值，

似然函数为则的取对数

对求导，得方程解得

所以

（2）设是总体X的样65例9.2.5设总体～为取自总体的一个样本,试求的最大似然估计.解设是样本的一个样本值,因为的分布律为所以最大似然函数为,例9.2.5设总体～为取自总体的一个样本,试求的最大似然66取对数得

求导数并令其等于0,得

解得,所以的最大似然估计量为.取对数得求导数并令其等于067三.估计量的评价标准

对于同一个未知参数

可以采用不同的方法去估计，求出的估计量一般与真值不相等.

那么，

哪一个更好呢？

需要一定的标准来评价，

效性这两个标准评价估计量的好坏.

通常用无偏性和有1.无偏性设是总体X的未知参数的估计量，若

称为参数的无偏估计量.三.估计量的评价标准对于同一个未知参数可以采用不同的方法68例9.2.6设总体,是总体试判别以下估计量中哪些是无偏的？.解因为,,的一个样本,得

有例9.2.6设总体,是总体试判别以下估计量中哪些是无偏的？.69所以,是的无偏估计量,不是的无偏估计量.所以,是的无偏估计量,不是的无偏估计量.70附例

设

是取自正态总体

X~N的一个样本，试说明：

(1)样本均值

是总体均值

的无偏估计；

(2)统计量

是总体方差

的无偏估计；而统计量不是

的无偏估计.

附例设是取自正态总体X~N的一个样本，试说明：(171解（1）因为

所以

（2）

即

是

的无偏估计。

解（1）因为所以（2）即是的无偏估计。72由于

，即

由于，即73得

所以统计量是总体X的方差的无编估计.而

所以统计量不是总体X的方差的无偏估计.得所以统计量是总体X的方差的无编估计.74(2)有效性对一个参数而言，仅根据无偏性来确定估计量的好坏是不够的，

还要求它具有最小的方差，

即

的偏离程度越小越好，

这就是有效性的要求.都是总体X的未知参数

的无偏估计量,

如果

称

有效.

(2)有效性对一个参数而言，仅根据无偏性来确定估75例9.2.7

设

是取自正态总体X~N的一个样本.试说明：

有效.

例9.2.7设是取自正态总体X~N的一个样本.试说明76解由于

相互独立且都与X同分布，所以于是

即

都是的无偏估计.而解由于相互独立且都与X同分布，所以于是即都是77所以

所以78附例

设总体X~NX1,X2是总体X的一个样本，设问(1)中哪些是无偏估计量？(2)哪一个无偏估计量有效？

附例设总体X~NX1,X2是总体X的一个样本，设问(79解因为X~N有

得

解因为X~N有得80高职应用数学第二节-估计课件81所以，

的无偏估计量，

的无偏估

计量，

且有效.所以，的无偏估计量，的无偏估计量，且82三.

区间估计区间估计，

就是构造两个统计量

及

用随机区间

来估计总体分布所含未知参数的可能取值范围的一种估计.

设总体X的未知参数为，对于给定的常数

，若由样本

构造的统计量

值满足

称

为置信度（或称置信水平），

区间

是

的置信度为

的置信

区间，

简称置信区间，

分别称为置信下限和置信

上限.

定义9.2.2

三.区间估计区间估计，就是构造两个统计量及用随机区间83区间

是随机的，

不同的样本取到的区间不同.

若选取置信度越大，

即未知参数

区间的概率越大，

的真值在置信那么估计值的可靠性就高；

区间的长度越大，

此时置信

即估计值误差也越大，

则估计的精确

性就低，反之，则相反.

因此，在实际问题中，

选取置信度的值，

兼顾估计值的可靠性与精确性.应适当区间是随机的，不同的样本取到的区间不同.若选取置信度841.已知方差

对期望的区间估计

设

是取自正态总体X~N个样本，

的一由样本均值的分布知，

统计量：

，对于给定的置信度

由标准

正态分布表，

存在双侧临界值

，使得

1.已知方差对期望的区间估计设是取自正态总体85即所以的置信区间为：即所以的置信区间为：86例9.2.8

设总体X~N现从中抽取容量为7的样本值：

1410，1505，1360，1530，1470，1525，1455．

试求在置信度为95%下的置信区间.解

已知，

由

，所以

查标准正态分布表，，故

例9.2.8设总体X~N现从中抽取容量为7的样本值：187且

×1.96=1539.1

即的置信度为0.95的置信区间是(1390.9，1539.1).且×1.96=1539.1即的置信度为0.95的88则（3085.50,3165.17）.的置信水平为99%的置信区间为注:

例9.2.9的答案说明,在已知可以99%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在的条件下,3085.50港元至3165.17港元之间.则（3085.50,3165.17）.的置信水平为99%的置89例9.2.9【消费调查】香港某旅行社为调查当地旅游者分布,且标准差港元,求该地旅游者平均消费额的置信度为99%的置信区间.由置信度得查附表求得的平均消费额,随机访问了100名旅游者,得知平均消费额港元.根据经验,已知旅游者消费服从正态解由题设所以例9.2.9【消费调查】香港某旅行社为调查当地旅游者分布,且902.未知方差

，对期望的区间估计设

是取自正态总体X~N的一个

样本，

由t分布知，统计量其中和S分别是样本均值和样本标准差.对给定的置信度，由t分布表，存在双侧临界值2.未知方差，对期望的区间估计设是取自正态总体91使得成立，即如下图所示，所以的置信区间为使