圆轴的扭转变形课件

第五章圆轴的扭转11/22/20221第五章圆轴的扭转11/21/20221受力特点：等值、反向力偶的作用变形特点：纵向线AB倾斜了一个角度同时B、A端面发生了相对转动，其转角称为扭转角11/22/20222受力特点：等值、反向力偶的作用11/21/20222§5-1扭转时所受外力的分析与计算一、搅拌轴的三项功能1、传递旋转运动：转速n(r/min)2、传递扭转力偶矩：扭转力偶矩m(N·m)3、传递功率：功率PK(KW)二、n、P、m之间的关系11/22/20223§5-1扭转时所受外力的分析与计算一、搅拌轴的三项功能二、§5-2纯剪切、角应变、剪切虎克定律一、纯剪切:只有剪应力的应力状态薄壁圆筒的变形特点：1、圆筒壁纵向纤维没有变化，在其横截面内不会产生正应力；2、各相邻横截面之间发生了以圆筒轴线为回转中心的相对转动，转过角度从左到右增大。11/22/20224§5-2纯剪切、角应变、剪切虎克定律一、纯剪切:只有剪应剪应力互等定理：过一个点的两个相互垂直的截面内，作用着大小相等、转向相反的剪应力。（共同指向交线或背离交线）11/22/20225剪应力互等定理：11/21/20225根据静力平衡条件证明：于是得：二、角应变

表示剪切变形程度的是一个角γ，称为角应变，它和线应变ε是对应的量。11/22/20226根据静力平衡条件证明：于是得：二、角应变

表示剪切变形程度的三、剪切虎克定律在纯剪切应力状态下，当剪应力不超过材料的剪切比例极限τP时，有以下关系式：G材料的剪切弹性模量，单位与弹性模量E相同。11/22/20227三、剪切虎克定律在纯剪切应力状态下，当剪应力不超过材料的剪切§5-3圆轴在外力偶作用下的变形与内力一、变形分析实心圆轴的整体扭转变形与薄壁圆筒的扭转变形类似。要准确反映轴的变形程度必须考虑轴自身的长度。如果用dΦ来表示n-n和m-m两个相邻截面所发生

的相对转角，那么就可以用dΦ/dx来表达轴在

n-n截面处的扭转变形程度。11/22/20228§5-3圆轴在外力偶作用下的变形与内力一、变形分析如果用d11/22/2022911/21/20229由于相邻的两个截面发生了绕形心的相对转动，所以在截面上各对对应点间就会发生沿圆周弧线的相对错动，其错动量大小与所讨论的点到形心的距离有关。就圆周上的点B、C而言，其错动量为RdΦ于是B点角应变就是：11/22/202210由于相邻的两个截面发生了绕形心的相对转动，所以在截面上各对对以截面上距圆心为ρ处的E点为研究对象，其角应变为：二、扭转剪应力及其分布规律当剪应力不超过材料的剪切比例极限τP时，剪应力沿横截面分布规律为：11/22/202211以截面上距圆心为ρ处的E点为研究对象，其角应变为：二、扭转剪由此可知τρ与ρ也成正比，而在同一半径ρ的圆周上各点处的剪应力τρ均相同。τρ的方向应垂直于半径。11/22/202212由此可知τρ与ρ也成正比，而在同一半径ρ的圆周上各点处的剪应三、横截面的内力矩——扭矩圆轴受扭时，其横截面内每个微小面积上都作用有微小剪力，每一个剪力对轴心均有力矩，且转向一致，这些力矩之和为：11/22/202213三、横截面的内力矩——扭矩圆轴受扭时，其横截面内每个习惯上称这个内力矩为扭矩。它是伴随着扭转变形产生的，是用来抵抗外力矩对该截面的破坏的。扭矩的计算法则：受扭圆轴任一横截面上的扭矩等于该截面一侧所有外力（偶）矩的代数和。用右手螺旋法则来取正负，即右手的四指沿着外力偶矩的旋转方向弯曲，如果大姆指的指向是背离所讨论的截面，则该外力偶矩取正值，反之取负值。11/22/202214习惯上称这个内力矩为扭矩。它是伴随着扭转变形产生的，是用来抵右手螺旋法则11/22/202215右手螺旋法则11/21/202215例5-1主动轮PA=120kW，从动轮PB=30kW，PC=40kW，PD=50kW，转速n=300r/min，画出扭矩图。11/22/202216例5-1主动轮PA=120kW，从动轮PB=30kW，PC11/22/20221711/21/202217及式中的积分称为横截面的极惯性矩，用IP表示，它也是一个只与截面尺寸有关的量。四、扭矩与扭转变形dΦ/dx之间的关系可得由或这样上式便可写成：11/22/202218及式中的积分称为横截面的极惯性矩，用IP表示，它也是一个只与代入由于R和截面的极惯性矩IP都只与截面几何尺寸有关，通常令：五、扭矩剪应力的计算公式可得将于是得：且11/22/202219代入由于R和截面的极惯性矩IP都只与截面几何尺寸有关，通常令六、极惯性矩IP和抗扭截面模量WP1、实心圆轴11/22/202220六、极惯性矩IP和抗扭截面模量WP1、实心圆轴11/21/22、空心圆轴令：d/D=a11/22/2022212、空心圆轴令：d/D=a11/21/202221得Φ的单位为弧度。GIP称为圆轴的抗扭刚度，它与抗拉刚度EA、抗弯刚度EIZ相对应。反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。七、扭转角的计算若在长度为l的一段轴内，各横截面上的扭矩相同，则这段轴两端横截面间的相对扭转角应为：由11/22/202222得Φ的单位为弧度。GIP称为圆轴的抗扭刚度，它与抗拉刚度EA11/22/20222311/21/202223θ：轴的单位长度扭转角11/22/202224θ：轴的单位长度扭转角11/21/202224§5-4扭转的强度条件与刚度条件一、圆轴扭转时的强度条件11/22/202225§5-4扭转的强度条件与刚度条件一、圆轴扭转时的强度条件例5-2汽车主传动轴内径d=85mm、外径D=90mm，45号钢，[τ]=60MPa，轴受到的最大扭矩m=1.5kN﹒m①校核此空心轴的强度；②等强度实心轴直径；③求实心轴与空心轴的质量比。11/22/202226例5-2汽车主传动轴内径d=85mm、外径D=90mm，二、圆轴扭转时的刚度条件精密机械的轴：[θ]=0.15°～0.50°/m一般传动轴：[θ]=0.5°～1.0°/m较低精密度轴：[θ]=2°～4°/m11/22/202227二、圆轴扭转时的刚度条件精密机械的轴：[θ]=0.15°例5-3一平直桨叶搅拌器，已知电动机的额定功率是17KW，搅拌轴的转速是60r/min，机械传动的效率是90%，上下层桨叶所受到的阻力是不同的，它们各自消耗的功率分别占电机实际消耗的总功率的35%和65%，轴是用Φ117mm×6mm碳钢管制成，材料的许用剪应力[τ]=30×106Pa，试校核该轴在电动机满负荷运转的强度。11/22/202228例5-3一平直桨叶搅拌器，已知电动机的额定功率是17KW，解：首先需计算减速机轴在电动机满负荷运转时作用给搅拌轴的外力偶矩mA。在搅拌轴的上端作用的驱动力偶矩mA应为上、下层桨叶所允许遇到的最大阻力偶矩mB、

mC分别是：11/22/202229解：首先需计算减速机轴在电动机满负荷运转时作用给搅拌轴的外力在AB段轴的横截面内的扭矩MT2应等于mAMT2=mA=2435N•m在BC段轴的横截面内的扭矩MT1应为MT1=mA-mB=2435-852=1583N•m所以最大扭矩MTmax=MT2=2435N•m若去掉1mm的腐蚀量，则轴的尺寸变为Φ115×5即D=115mm，d=105mm，α=d/D=0.913，于是横截面的抗扭截面模量Wp为Wp=0.2D3（1-α4）=0.2×0.1153（1-0.9134）=92.8×10-6m311/22/202230在AB段轴的横截面内的扭矩MT2应等于mA11/21/202于是在电机满负荷工作时轴内最大的剪应力为而[τ]=30×106N/m2，τmax<[τ]，所以轴在强度上是安全的。此题中所给的已知条件是电机额定功率而不是实测电机功率，所算出的τmax接近且小于[τ]。这说明该搅拌轴的尺寸与所用电机是配套的。11/22/202231于是在电机满负荷工作时轴内最大的剪应力为而[τ]=30×10例5-4图示为直径等于75mm的等截面圆轴，上面作用有驱动力偶矩m1=1KN•m；阻力偶矩共三个：m2=0.6KN•m，m3=0.2KN•m，m4=0.2KN•m，试问：

（1）该轴的最大扭矩及最大扭转剪应力？

（2）若将驱动力偶矩m1与阻力偶矩m2的位置互换，仅从强度考虑，轴径可以作怎样的改变。11/22/202232例5-4图示为直径等于75mm的等截面圆轴，上面作用有驱动解：（1）根据扭矩计算法则，算出各段轴所传递的扭矩，并作扭矩图。由已知轴径得出于是11/22/202233解：（1）根据扭矩计算法则，算出各段轴所传递的扭矩，并作扭矩（2）若将m1与m2的位置互换，根据扭矩计算法则算出各段轴所传递的扭矩，并做扭矩图。如果保持轴的最大扭转剪应力不变，则由得即轴径可以减小，节约材料。说明合理安排驱动力偶矩及各阻力偶矩的位置均会影响轴的最大扭矩。11/22/202234（2）若将m1与m2的位置互换，根据扭矩计算法则算出各段轴所例5-5m=4.5kN﹒m,d1=70mm,d2=55mm,L1=1m,L2=1.5m,G=80GPa,[τ]=60MPa,[θ]=1.5°/m,进行强度校核和刚度校核。11/22/202235例5-5m=4.5kN﹒m,d1=70mm,d2=511/22/20223611/21/202236第五章圆轴的扭转11/22/202237第五章圆轴的扭转11/21/20221受力特点：等值、反向力偶的作用变形特点：纵向线AB倾斜了一个角度同时B、A端面发生了相对转动，其转角称为扭转角11/22/202238受力特点：等值、反向力偶的作用11/21/20222§5-1扭转时所受外力的分析与计算一、搅拌轴的三项功能1、传递旋转运动：转速n(r/min)2、传递扭转力偶矩：扭转力偶矩m(N·m)3、传递功率：功率PK(KW)二、n、P、m之间的关系11/22/202239§5-1扭转时所受外力的分析与计算一、搅拌轴的三项功能二、§5-2纯剪切、角应变、剪切虎克定律一、纯剪切:只有剪应力的应力状态薄壁圆筒的变形特点：1、圆筒壁纵向纤维没有变化，在其横截面内不会产生正应力；2、各相邻横截面之间发生了以圆筒轴线为回转中心的相对转动，转过角度从左到右增大。11/22/202240§5-2纯剪切、角应变、剪切虎克定律一、纯剪切:只有剪应剪应力互等定理：过一个点的两个相互垂直的截面内，作用着大小相等、转向相反的剪应力。（共同指向交线或背离交线）11/22/202241剪应力互等定理：11/21/20225根据静力平衡条件证明：于是得：二、角应变

表示剪切变形程度的是一个角γ，称为角应变，它和线应变ε是对应的量。11/22/202242根据静力平衡条件证明：于是得：二、角应变

表示剪切变形程度的三、剪切虎克定律在纯剪切应力状态下，当剪应力不超过材料的剪切比例极限τP时，有以下关系式：G材料的剪切弹性模量，单位与弹性模量E相同。11/22/202243三、剪切虎克定律在纯剪切应力状态下，当剪应力不超过材料的剪切§5-3圆轴在外力偶作用下的变形与内力一、变形分析实心圆轴的整体扭转变形与薄壁圆筒的扭转变形类似。要准确反映轴的变形程度必须考虑轴自身的长度。如果用dΦ来表示n-n和m-m两个相邻截面所发生

的相对转角，那么就可以用dΦ/dx来表达轴在

n-n截面处的扭转变形程度。11/22/202244§5-3圆轴在外力偶作用下的变形与内力一、变形分析如果用d11/22/20224511/21/20229由于相邻的两个截面发生了绕形心的相对转动，所以在截面上各对对应点间就会发生沿圆周弧线的相对错动，其错动量大小与所讨论的点到形心的距离有关。就圆周上的点B、C而言，其错动量为RdΦ于是B点角应变就是：11/22/202246由于相邻的两个截面发生了绕形心的相对转动，所以在截面上各对对以截面上距圆心为ρ处的E点为研究对象，其角应变为：二、扭转剪应力及其分布规律当剪应力不超过材料的剪切比例极限τP时，剪应力沿横截面分布规律为：11/22/202247以截面上距圆心为ρ处的E点为研究对象，其角应变为：二、扭转剪由此可知τρ与ρ也成正比，而在同一半径ρ的圆周上各点处的剪应力τρ均相同。τρ的方向应垂直于半径。11/22/202248由此可知τρ与ρ也成正比，而在同一半径ρ的圆周上各点处的剪应三、横截面的内力矩——扭矩圆轴受扭时，其横截面内每个微小面积上都作用有微小剪力，每一个剪力对轴心均有力矩，且转向一致，这些力矩之和为：11/22/202249三、横截面的内力矩——扭矩圆轴受扭时，其横截面内每个习惯上称这个内力矩为扭矩。它是伴随着扭转变形产生的，是用来抵抗外力矩对该截面的破坏的。扭矩的计算法则：受扭圆轴任一横截面上的扭矩等于该截面一侧所有外力（偶）矩的代数和。用右手螺旋法则来取正负，即右手的四指沿着外力偶矩的旋转方向弯曲，如果大姆指的指向是背离所讨论的截面，则该外力偶矩取正值，反之取负值。11/22/202250习惯上称这个内力矩为扭矩。它是伴随着扭转变形产生的，是用来抵右手螺旋法则11/22/202251右手螺旋法则11/21/202215例5-1主动轮PA=120kW，从动轮PB=30kW，PC=40kW，PD=50kW，转速n=300r/min，画出扭矩图。11/22/202252例5-1主动轮PA=120kW，从动轮PB=30kW，PC11/22/20225311/21/202217及式中的积分称为横截面的极惯性矩，用IP表示，它也是一个只与截面尺寸有关的量。四、扭矩与扭转变形dΦ/dx之间的关系可得由或这样上式便可写成：11/22/202254及式中的积分称为横截面的极惯性矩，用IP表示，它也是一个只与代入由于R和截面的极惯性矩IP都只与截面几何尺寸有关，通常令：五、扭矩剪应力的计算公式可得将于是得：且11/22/202255代入由于R和截面的极惯性矩IP都只与截面几何尺寸有关，通常令六、极惯性矩IP和抗扭截面模量WP1、实心圆轴11/22/202256六、极惯性矩IP和抗扭截面模量WP1、实心圆轴11/21/22、空心圆轴令：d/D=a11/22/2022572、空心圆轴令：d/D=a11/21/202221得Φ的单位为弧度。GIP称为圆轴的抗扭刚度，它与抗拉刚度EA、抗弯刚度EIZ相对应。反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。七、扭转角的计算若在长度为l的一段轴内，各横截面上的扭矩相同，则这段轴两端横截面间的相对扭转角应为：由11/22/202258得Φ的单位为弧度。GIP称为圆轴的抗扭刚度，它与抗拉刚度EA11/22/20225911/21/202223θ：轴的单位长度扭转角11/22/202260θ：轴的单位长度扭转角11/21/202224§5-4扭转的强度条件与刚度条件一、圆轴扭转时的强度条件11/22/202261§5-4扭转的强度条件与刚度条件一、圆轴扭转时的强度条件例5-2汽车主传动轴内径d=85mm、外径D=90mm，45号钢，[τ]=60MPa，轴受到的最大扭矩m=1.5kN﹒m①校核此空心轴的强度；②等强度实心轴直径；③求实心轴与空心轴的质量比。11/22/202262例5-2汽车主传动轴内径d=85mm、外径D=90mm，二、圆轴扭转时的刚度条件精密机械的轴：[θ]=0.15°～0.50°/m一般传动轴：[θ]=0.5°～1.0°/m较低精密度轴：[θ]=2°～4°/m11/22/202263二、圆轴扭转时的刚度条件精密机械的轴：[θ]=0.15°例5-3一平直桨叶搅拌器，已知电动机的额定功率是17KW，搅拌轴的转速是60r/min，机械传动的效率是90%，上下层桨叶所受到的阻力是不同的，它们各自消耗的功率分别占电机实际消耗的总功率的35%和65%，轴是用Φ117mm×6mm碳钢管制成，材料的许用剪应力[τ]=30×106Pa，试校核该轴在电动机满负荷运转的强度。11/22/202264例5-3一平直桨叶搅拌器，已知电动机的额定功率是17KW，解：首先需计算减速机轴在电动机满负荷运转时作用给搅拌轴的外力偶矩mA。在搅拌轴的上端作用的驱动力偶矩mA应为上、下层桨叶所允许遇到的最大阻力偶矩mB、

mC分别是：11/22/202265解：首先需计算减速机轴在电动机满负荷运转时作用给搅拌轴的外力在AB段轴的横截面内的扭矩MT2应等于mAMT2=mA=2435N•m在BC段轴的横截面内的扭矩MT1应为MT1=mA-mB=2435-852=1583N•m所以最大扭矩MTmax=MT2=2435N•m若去掉1mm的腐蚀量，则轴的尺寸变为Φ115×5即D=115mm，d=105mm，α=d/D=0.913，于是横截面的抗扭截面模量Wp为Wp=0.2D3（1-α4）=0.2×0.1153（1-0.9