一元二次方程与动点及答案

、如图，在ABC中，∠B°，＝12cmAB＝，从A开沿AB向点1cm/s速度移动，点Q从B开始沿向点以2cm/s的速度移动，如果P、Q分从A、B同出发，几秒的面积等于8cm？CQ↑B

P

←

A2.△ABC中，∠B=90，AB=5cmBC=6cm，点从点开始沿边AB终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终C以2cm/s的速度移动．果P、Q别从、同时出发，当点Q运动到点时，两点停止运动．设运动时间为t秒．填空：BQ=，PB=（用含t的代数式表示）；当t为何值时，PQ的长度等于5cm？是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．22223.如图，△ABC中，∠°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，与此同时点从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设、Q分别从、同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列题：经过几秒，△的面积等于8cm？是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理．如图所，ABC中点A开始沿AB边B以1cm/s的度移动，点Q从B开始沿BC边点以的度动．如果，Q分别从AB同出发，经几秒，PBQ的积等于？如果，Q分别从AB同出发，并且P到B后继续在BC边前进，Q到后又继续在CA边前进，经过几秒，使PCQ的积等于12.6cm？5.如图，A、、CD为矩形的个顶点，，BC=6cm，动点、Q分别从A、同时出发，点以3厘米每秒的速度向点B移动，一直到达点B为止．点以厘米每秒的速度向点D移动，经过多长时间P、Q两点之间距离是10厘米？如图，A、BC、为形的顶点，，BC6cm动点、Q分别从点A、C时出发，点以的度向点B移，一直到达点B为；点以2cm/s的速度向点移，经过多长间P、Q两点之间的距离是10cm?CDQB

A如图有一边长为的正方形ABCD和eq\o\ac(△,)PQ=PR=5cm点B、Q在一条直线l上当C、Q两重合时，等eq\o\ac(△,)PQR以1cm/秒的速沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动t后正方形ABCD与等eq\o\ac(△,)PQR重部分的面积为．答下列问题：当t=3秒，求S的；当t=5秒，求S的；当5秒t时，求与t的数关系式．重模拟图知正方形ABCD边长与eq\o\ac(△,)PQR的角边的均为，与同一条直线l上开时点与B重，eq\o\ac(△,)PQR以1cm/s度在直线l上动，直至点R与A重为止，运动时间为（＞．点与重时，令与BC于M点求的度；eq\o\ac(△,)PQR与方形重部分的面积为，接写出与t之的函数关系式和相应的自变量的值范围；在运动的过程中，令线段PR与段AD的点为N（若无交点则不考虑是否存在的，eq\o\ac(△,)为腰角形？若存在，求出相应的t的值；若存在，请说明理由．9.（市区模拟如图，已知正方形ABCD的边长与eq\o\ac(△,)PQR的直角边的均为4cm，AB与QR在一直线l，开始时点Q与A重合，eq\o\ac(△,)PQR以的速度在直线l上动，同时点从点出以沿QP运，直至点Q与B重时，都停止运动，设运动的时间为t（边形PMBN的积为（当t=1s时，求的；求S与之的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点（3是否存在某一时刻，使得四边形PMBN的面积

？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4是否存在某一时刻，使得四边形PMBN为平行边形？若存在，求出此时的；若不存在，说明理由．如图，在长为44宽为12的形PQRS中，将一张直角三角形纸片ABC一张正方形纸片DEFG如图放置，其中边ABDEPQ上，边EF在QR上边BCDG在一直线上，且eq\o\ac(△,)ABC两角边，AB=8正方形的长为4．从初始时刻开始，三角形纸片ABC方以每秒1个位长度的速度向左平移正形纸片DEFG沿方向以每秒2个位度的速度向上平移，当边落SR上，纸片立沿RS方以原速度向左平移至G点点重合时两张纸片同时停止移动平移时间为x秒．请填空当x=2时CD=DQ=4此CD+DQCQ请填＜、“=、＞如图当纸片DEFG向平移时连CDDQ和求平移过程eq\o\ac(△,)的面积与x的数关系式，并写出自变量的取值范围（这里规定线段的面积为零（3如图，当纸片DEFG方平移时，是否存在这样的刻，使以A、C、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x的；若不存在，请说明理由．（2013长如①，中，AB=13，BC=50边高为12．P点B发，沿B﹣A运，B﹣A运动速度为每秒个单度，沿A﹣A动时的速度为每秒个单长．Q从出沿BC方动，速度为每秒5个单位长度P、Q两时出发当点点C时P、Q两点停止运动．设点P运动时间为PQ当点PA运动求AP的用含t数式表示连结AQ，点P沿B﹣D运程中，当点P与A重合时，APQ的面积为．与t之间的函关系式．过点Q作QR∥AB，AD于R连结BR如②．在点P沿B动过程中，当线段PQ扫过的图形阴影部分）被线段分面等的两部分时值．（4）点C、D关线PQ的称点分别为Ct的值22222222（2006青）如①，有两个形状完全相同的角三角形ABC和放在一（点A与重合知AC=8cm，，EG=4cm∠°，Oeq\o\ac(△,)斜边上的中点．如图整eq\o\ac(△,)从图的位置出发的度沿射线AB方向平移，eq\o\ac(△,)平移的同时，点从的顶点出，以1cm/s的度在直角边GF上点运，当点到点时点P停运动eq\o\ac(△,)EFG也随之停止平移．设运动间为（FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的积为（cm考虑点P与GF重的情况当x为何值时，∥AC；求y与x之的函数关系式，并确定自变量x取值范围；是否存在某一时刻，使四边形OAHP面eq\o\ac(△,)ABC面的比为13：？若存，求出x的；若不存在，说明理由考数据114，=13225，或4.4=19.36，4.5，4.6=21.16）1.解：设x秒钟后，△PBQ的积等于2，由题意可得：（6-x）÷解得x=2，x经检验均是原方程的解．答：2或秒钟后，△的面积等于2.解：（1）由题意，得BQ=2t，PB=5-t．故答案为：2t5-t．（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t（5-t=25，解得：t，t=2（3）由题意，得2t(5t)2=4，解得：t，t=4不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ面积等于4cm．3.解：（1）设经过秒，△PBQ的面积等于8cm则：BP=6-x，BQ=2x，所以S1

=2×（6-x）×2x=8，即x-6x+8=0，可得：x=2或4（舍去），即经过2，△PBQ的面积等于8cm2．（2）经y秒，线段PQ恰好平分△ABC的面积，△PBQ的面积等于12cm，S1

=2×（6-y）×2y=12即y2-6y+12=0，因为△=b-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ的面积不会等于12cm，则线段PQ不能平分△的面积．相似三形的判定与性质；一元二次方程的应用．几何动点问题．121221222121222121221222121222设x秒．由三角形的面积公式列出关于x的方程，（﹣x•，通过解方求得x=2x=4过Q作⊥CB垂足为D，构建相似三角CQD∽△，由该相似三角形的对应边成比例得到，QD=

；然后由三角形的面积公式列出关于x方程（﹣x）

=12.6，之得x，x．由实际情况出，来对方程的解进行取舍．解）x秒，点在AB上点Q在BC上，且面为8cm，由题意得（﹣x）2x=8，解之，得x=2x，经过2秒，点P到离B点处点Q距离B点处；或经4秒点P到离B点2cm处点到离B点8cm处eq\o\ac(△,，)PBQ的面积为，综上所述，经过2秒秒，△的积为8cm；（2当在AB时，经x秒，PCQ的积为：×××（6﹣x﹣），解得：x=

（不合题意舍去=

，经x秒点P移到BC上且有CP=﹣xcm，点Q移到CA上且使CQ=2x﹣8cm过Q作QD⊥CB垂足为D，由△CQD∽△CAB得

，即QD=

，由题意得（14x）

，解之得x，x．经7秒点P在BC上离C点7cm处点Q在CA上离C点处使△PCQ面积等于12.6cm．经秒，P在上离C处点Q在CA上离C点＞10点Q已超出CA的围，此解不在．综上所述，经过7秒

秒时△的积等于12.6cm．5.解：设，Q两点从出发经过t秒时，点，Q间的距离是，作PH⊥CD，垂足为，则PH=AD=6，，HQ=CD-AP-CQ=16-5t

，∵PH+HQ=PQ可得16-5t），解得，．答：P，Q两点从出经过或秒时，点，Q间的距离是10cm．222222答案略分析7.（）当t=3时，过作⊥QR于E，易求得的eq\o\ac(△,)QPE的积，设交CD于，于CG∥PE，可证eq\o\ac(△,)CQG△EQP，据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到S的值．（2当t=5QB重段PR与CD相设与CD相交于可（1）的方法求eq\o\ac(△,)的积，从而eq\o\ac(△,)RPQ、的积差求得阴影部分的面积．（3当≤t，AB与交，与CD相，仿照1）的方法，可求得正方形外部的两个小三角形的面积，进而可参照2）的方法求得阴影部分的面积表式，由此可得到关于、的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的大值．解答解）⊥，为垂足．∵，∴QR=4，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)PEQ中∴PE=分）当t=3时，QC=3设与交点G∵PE∥DC，∴△∽QEP分∴，∵eq\o\ac(△,)QEP=4，∴

×6=

（分（2当t=5时CR=3．设PR与DC于，eq\o\ac(△,)RCG∽REP可求出，所以，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)=×3×

（cm）﹣

=

（分）（3当≤t，QB=t5RC=8﹣t设交AB于点H，由QBH∽△，，∴BQ：（﹣，2eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)BQHeq\o\ac(△,)PEQeq\o\ac(△,S)2eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)BQHeq\o\ac(△,)PEQeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)2eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)2eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)22∴：（t5：4，，∴=（t﹣5（）由∽△REP同理得（8t）（8分∴S=12﹣（﹣5）﹣（8﹣t．﹣

（）当﹣

=

时，最，的大值==

（分）考8.相似形综合题．点分析（1）由正方形的性质可以得出∥AB，就有∠CDR=ARD在eq\o\ac(△,)PQR中由，∠ARD=，可以得出MC，再根据勾股定理就可以求出PM的值；分情况求出当当0＜≤，当＜≤时12t18时根据三角函数和梯形的面积公式三角形的面积公式就可以表示出S的解析式；根据等腰三角形的条件分三种情况进行计算，先运用勾股定理将三角形的三边表示出来，由等腰三角形的边的平方相等建立的等量关系求出其解就可以了．解答解）四边形ABCD是方形，2222222222222∴CD=BC，∥AB，C=90∴∠∠，∵PQ=6cm，QR=12cm∴tan∠ARD=，∴tan∠CDR=，∵，∴，在eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理，得PM=．（2如图，当0≤6时∵，，∴BR=12t，∴﹣0.5t，∴

，∴﹣t+6t，如图，当6＜≤12时，∵﹣﹣，BR=12﹣t，∴SA=9﹣，MB=6﹣∴

，，如图，＜t时（t﹣12=18t，AS=90.5t∴

，=t﹣；（3当＜≤12时由图象得：QN=（t﹣6）（﹣0.5t）t﹣+AR=90.5t）+﹣t）=t﹣RQ=144①如4当QR=NR时，t﹣，1222122212221222解得：

t＞（舍去=18

；②如5当QN时，t﹣21t+117=144，解得：=﹣1.2（舍去=18（舍去③如6当QN时，t﹣21t+117=t﹣45t+405，解得：，＜t与＜t时致，而eq\o\ac(△,时)不存在，∴t=12或t=18．PMBNPMBNPMBNPMBN（1）当t=1时，，∴MP=QB=4﹣1=3∵，∴﹣．∵在eq\o\ac(△,Rt)中PQ=4，∴∠PRQ=

=．∴∴

，，∴BN=2.5．==四边形

（≤t（2由题意，得AQ=MQ=tPM=BQ=4t，BR=8（﹣）=4+t，∴BN=2+t∴四边形

，2212eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)CDQeq\o\ac(△,)CBQeq\o\ac(△,)CHDeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)CBQ2212eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)CDQeq\o\ac(△,)CBQeq\o\ac(△,)CHDeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)CBQeq\o\ac(△,)CHD梯形HBQD=t﹣（0≤t4（3由题意，得t﹣××，解得：（舍去=8﹣

，∴的为﹣4；（4∵四边形PMBN是行四边形，∴PM=BN．∵PM=4t，t，∴4，∴∴时四边形PMBN为行四边形．10.分析（1）当时延长ED交BC于H，延长GD交于K，就有EQ=DK=2xBK=HD=x，，可以求出﹣，再根据勾股定理就可以求出CD、DQ及CQ的值；由图形观察可以得出﹣﹣形HBQD，要根据条件分别表示=、、S的面积即可；根据数学分类讨论思想，从不同的时间进行计算．如图，当CD=AC时作CH⊥GD延长线于点H解直角三角形；如图7当AD=AC时作DH⊥于点，直角三角形；如图，当AD=CD，作⊥BC于延线于点作DH于H解直角三角形DCK和角角形如图当CD=AC时，作⊥于BC延线于点K，解直角三角形DKC；如图，当AD=AC时作DH⊥于，解直角三角形DHA结合各图形运动的不同位置表示出相应线段的长度，根据勾股定理建立方程求出的值即可．解答解）长BC于H延长GD交于K∴EQ=DK=2xBK=HD=x，∵，BC=6，DE=4∴，BK=HD=2，，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)2222221222eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)2222221222∴．在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)CHD、、eq\o\ac(△,)中由勾股定理得：CD=2，DQ=4，．∴，∴CD+DQ=CQ故答案为：2，，=；（2当≤x，如图，∵EQ=DK=2xBK=HD=x，﹣，∴=

，=﹣﹣当＜x3时如图，作⊥DGH，DK⊥BC于，∴EQ=BK=2x，CK=HD=6﹣2x，BQ=4+x，CH=x，∴eq\o\ac(△,)=CK•BQ﹣=（6﹣）x+2x）

﹣﹣

﹣，﹣，=x+4x﹣；当＜x4时如图，作DH⊥BC的长线于H，∴EQ=HB=2x，，﹣6，∴eq\o\ac(△,)=HBQB

﹣

﹣

，（）

﹣

﹣

，x﹣4x﹣﹣3x，=x+4x﹣．∴

，（3∵纸片DEFG方平移，∴4x≤．如图，当，作CHGD的长线于点H，∴GR=2x﹣，BQ=x+4，∴﹣﹣CH=）（2x﹣4=8，∵AB=8，∴AC=在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)中由勾股定理，得（8）=100，解得：x=8+4，x=8＜（舍去如图，当时，作⊥点H，∴GR=2x﹣，BQ=x+4，∴﹣4=8，AH=（）﹣（2x﹣）=16，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)中，由勾股定理，得（16﹣）=100，122122解得：x=22，x；如图，当AD=CD时作DK于BC延长线于点，作DH⊥于，∴GR=2x﹣，BQ=x+4，∴DK=2x﹣4（x+4）﹣，﹣6=2，AH=x+4+8（2x﹣4=16﹣x，﹣．∴（x﹣8（16），∴；综上所述：纸片DEFG沿方平移，当x值为，，，以A、、为点的三角形是等腰三角形．

时，11.分析（1）分情况讨论，当点沿A﹣运时，当点P沿D﹣A运时分别可以表示出的；（2分类讨论，当＜＜1时当＜＜与t的数关系式；

时，根据三角形的面积公式分别求出（3分情况讨论，当0t，当＜＜时当＜＜

时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（4分情况讨论当在A﹣D之或D﹣A之间时，如图，根据轴对称的性质可以知道四边形为菱形据其性质建立方程求出其解在D﹣A之如图⑦，据菱形的性质建立方程求出其解即可．解答解）点沿AD运时AP=8t﹣）=8t﹣8当点P沿D﹣A运动时，（t﹣）﹣分（2当点与A重时，BP=AB，t=1．当点P与D重合时，8t，

．=2eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)BPMeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)四边形BQPR=2eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)BPMeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)四边形BQPR当＜＜1时，如①．过点作⊥AB于．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)∴QE=

===

，．∴﹣．当＜≤

时，如图．=

，∴S=48t48；（3当点与R重合时，，8t8=5t，t=．当＜，如图．∵，∴PM=QM．∵AB，∴∠PBM=，∠MQR在BPM和RQM，∴△BPM△．∴BP=RQ∵RQ=AB，∴∴，解得：t=1当1＜≤时如图．∵BR平阴影部分面积，∴与R合．∴t=．当＜≤

时，如图⑤