中考二次函数分类讨论存在性问题-平行四边形

22221面直角坐标系中y﹣

x+2别交于点C的坐标ax

+﹣2过A点且交y轴于点x上一点，过点轴的垂线交直线点，交抛物线于点Q连结DQ，设点P的横坐标为m≠0求点的坐标．求抛物线的表达式．当以BD、，顶点的四边形是平行四边形时，求值．【分析令＝﹣

x＝，解得：x4即可求解；把点A坐标代入二次函数表达式，即可求解；以BD、QM为顶点的四边形是平行四边形时，利用MQ＝BD即可求解．【解答】解令＝﹣

x＝0解得：x，＝0则x2即：点坐标为点坐标为（2把点、C坐代入二次函数表达式，解得：b﹣，＝﹣2故：二次函数表达式为：y﹣

x﹣

x；222222（3设点（，﹣

mQm﹣

m

m2以BD、QM顶点的四边形是平行四边形时，则：MQ＝±（﹣

m﹣

m2＝BD，解得：m8m（舍去∴m1

，故：m8或1

或1．【点评查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2如图，已知抛物线＝+bx（a0的顶点坐标为Q2﹣1轴交于点C03轴交于A两点（点在点B的侧P抛物线上的一动点点C抛物线向点运点与不重合P作PDy，交AC点D．求该抛物线的函数关系式及A两点的坐标；求点在运动的过程中，线段的最大值；若点点Q重合，点x轴上，点F抛物线上，问是否存在以A，EF为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点F的标；若不存在，请说明理由．2222222222222222222222【分析由抛物线的顶点坐标，可得出抛物线的顶点式，代入点的坐标可求出a的值，进而可得出抛物线的函数关系式，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标；由A的坐标，利用待定系数法可求出直AC的函数关系式，设P的坐标为xx﹣4x+3x3D坐标为x﹣x+3得出PD﹣x，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；分为边及为对角线两种情况考虑：①以AP边构造平行四边形，平移直线交x于点抛物线于点F点的坐标可设点F的坐标为x1函数图象上点的坐标特征可求值，进而可得出点F的坐标为对角线进行构造平行四边形A的纵坐标为0可得出点F的纵坐标为﹣重合得出不存在这种情况，舍去．综上，此题得解．【解答】解∵抛物线的顶点为Q2﹣∴抛物线的函数关系式为ya﹣21将C03代入ya﹣21得：3a﹣），解得：a1∴抛物线的函数关系式为y（﹣2

2

﹣1即＝

﹣4x．当y0，有﹣x0即（﹣1）＝，解得：x＝1x＝312又∵抛物线与x交于AB点（点在点B右侧∴点的坐标为（3的坐标为（1（2设直线AC的函数关系式为＝n≠将A3003代入＝n得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y﹣x+3设点的坐标为（x﹣x+3x3的坐标为（x﹣x∴PD﹣x﹣（﹣x+3＝﹣+3x﹣（x）

，222222∵﹣10∴当x

时，PD取得最大值，最大值为．（3分两种情况考虑：①以AP边构造平行四边形，平移直线交x于点E交抛物线于点F∵点的坐标为（2﹣∴设点F的坐标为（x∴x﹣4x+31解得：＝21

，x＝2+2

，∴点F的坐标为（

，1和（2+

，②以AP对角线进行构造平行四边形，∵点AE纵坐标为，∴点F的纵坐标为﹣，此时点，F重合，∴不存在这种情况，舍去．综上所述，符合条件的F点有两个，即（﹣，）和（2+

，1【点评题考查了二次函数的三种形式定系数法求二次函数解析式次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的性质，解题的关键是根据点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数关系式由点PD的坐标，找出PD﹣x+3；（3分为边及为对角线两种情况找出点F的坐标．3如图，抛物线＝+（a0的对称轴是直线x1与x相交于A两点，与交于点C点A坐标为（﹣，222222求抛物线的解析式；若点F是第四象限内抛物线上一点，过点作FDx轴于点D，交直线于点，当OD4FE时，求四边形面积；在（2的条件下，若点在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点BF，M，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析根据待定系数法求得即可；（2求得、C点的坐标，即可求得直线的解析式，设点的坐标为（x﹣

x

+2E，﹣

x+2xOD4FE列出关于x的方程，解方程即可求得DF的坐标，然后根据S

四边形

＝SFOBE

△

﹣S△

BDE

求得即可；（3设点的坐标为（1n况讨论求得即可．【解答】解∵点的坐标为（﹣，是直线x1∴，解得，∴抛物线的解析式为：y﹣

x

x；（2令＝0得﹣

x＝022222222解得，x＝﹣2x＝412∴点的坐标为（4令x0则＝2∴C点坐标为（02可求得直线BC的解析式为y﹣

x，设点F的坐标为（x﹣∵OD4，

x+2（x﹣

x+2x0∴x4[

+2（﹣

x）]解得x＝5x＝0舍去12∴D（50﹣，﹣∴S

四边形

＝SFOBE

﹣△

eq\o\ac(△,S)

＝×﹣×＝；BDE（3设点的坐标为（1n①当NB为对角线时，点M坐标为（0+

代入y﹣

x+2，+

＝2解得＝，此时点M坐标为（0②当NF为对角线时，点M的坐标为（，n代入y﹣

x+2，﹣＝﹣1+1+2解得n，此时点M坐标为（2③当BF为对角线时，点M的坐标为（0﹣﹣2222222222222222代入y﹣

x+2，﹣﹣＝﹣，解得＝，此时点M坐标为（8﹣10【点评了二次函数的综合题二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、会利用待定系数法求函数解析式，会解一元二次方程；会利用分类讨论的思想解决数学问题．4抛物线＝++5的顶点坐标为（，9轴交于点（，5x轴交于点E（点E点B左侧为拋物线上一点．求该抛物线的解析式；过作AC行于x轴，交抛物线于C当PAC上方时，平行于y轴交于点D求使四边形APCD的面积最大时点的坐标；（3N上一点，当E为顶点AE一边的四边形是平行四边形时，求点P坐标．【分析根据顶点式设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2先求出直线AB析式，设出点P标，﹣x+5关系式S

＝﹣2+10x根据二次函数求出极值；四边（3分三种情况：当在x上方时，AE边时，如2根P纵坐标为5方程可得的坐标；当在x轴的下方时，以为边，如图，同理可得P的纵坐标为﹣，列方程可得的坐标；以为对角线时，如图，同理可知：P45【解答】解设抛物线解析式为ya2，∵抛物线与y交于点A05∴4a+95∴a﹣1y﹣（x2＝﹣xx+5（2如图1当y0，﹣x+4x+50∴x＝﹣1x＝512222222222222∴E﹣1050设直线AB解析式为ymxn∵A05，0∴m﹣1n5∴直线AB解析式为y﹣x；设P，﹣+4x+5∵点在AC上方，∴0x4∴D（，﹣+5∴PD﹣x+4+5+﹣5﹣+5，∵AC，∴S

四边形

＝S

△

APD

+

△

＝

PDAH+

＝

PDAC×﹣+5x＝﹣2

+10x﹣2﹣

）

2

，∵﹣20∴当x

时，即：使四边形APCD的面积最大时点的坐标为（（3分三种情况：当在x上方时，以AE为边时，如图2∵N在x上，四边形AENP平行四边形，∴AP∥，∵A05∴的纵坐标为5当y5，﹣x5解得：x＝0x＝412∴P45

，②当P的下方时，以AE为边，如图，同理可得的纵坐标为﹣5当y﹣5，﹣x+5﹣5解得：x2，∴P2+

，﹣5或（2，﹣5③以AE对角线时，如图4同理可知：（4综上所述，点P坐标（，）或（2+

，﹣5或（2，﹣5【点评题是二次函数综合题要考查了待定系数法求函数关系式数极值确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值和建立方程求坐标．5如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax+2+c与x轴交（﹣1两点，与y轴交于点C03顶点为点．求抛物线的解析式；经过B两点的直线交抛物线的对称轴于点D点为直线BC方抛物线上的一个动点，当点P动到点时，求△PCD面积；点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点与点N使以CB顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M的坐标（不写求解过程在，请说明理由．2222222222【分析由点，C的标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，利用配方法可求出顶点的坐标B坐标系数法可求出直线解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D坐标，再利用三角形的面积公式即可求出当点P动到点时△PCD面积；（3设点的坐标为（m坐标为（1n平行四边形形为平行四边形及四边形CMBN为平行四边形三种情况四边形的性质找出关于一元一次方程得出结论．【解答】解将（﹣1003代入y+2x+，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y﹣+2+3（2当＝0，有﹣x+2x＝，解得：x＝﹣1x＝312∴点的坐标为（3∵y﹣x+2+3﹣（x1，∴点的坐标为（1设过B两点的直线解析式为ykxbk0将B3003代入＝kx+b得：，解得：，∴直线BC的解析式为＝﹣x+3∵点D是直线与抛物线对称轴的交点，∴点D的坐标为（12∴DE，∴当点运动到点E时，△的面积＝×211（3设点M坐标为（，0N坐标为（1分三种情况考虑：①当四边形CBMN为平行四边形时，有1＝m，解得：m4∴此时点M坐标为（4②当四边形CMNB为平行四边形时，有﹣＝﹣，解得：m﹣2，∴此时点M坐标为（﹣2③当四边形CMBN为平行四边形时，有0＝m，解得：m2∴此时点M坐标为（2综上所述：存在这样的点与点，使以M，C为点的四边形是平行四边形，点M坐标为（40或（﹣2）或（20【点评题考查了待定系数法求二次函数解析式次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是）根据点的坐标，利用待222222定系数法求出二次函数解析式利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法D的坐标为平行四边形CMNB为平行四边形及四边形为平行四边形三种情况求出点M的坐标．6如图，抛物线＝++cx交于A﹣，5）两点，直线y﹣

x与交于点C与轴于点D点直线CD方的抛物线上一动点，过点P⊥x轴于点F交直线CD点，设点P横坐标为m求抛物线的解析式；求的长最大时m值．是平面直角坐标系内一点，在（）的情况下，以PQ、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在点的坐标，请说明理由．【分析由点，B坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点CD的坐标，进而可得出0＜m，由点的横坐标为m得出点，的坐标，进而可得出＝﹣m+m+2再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3分PE为对角线、PC对角线、为对角线三种情况考虑，由平行四边形的性质（对角线互相平分）结合C坐标可求出点的坐标，此题得解．【解答】解将（﹣10，）代入＝﹣+bx，得：2222222222，解得：，∴抛物线的解析式为y﹣

+4x+5（2∵直线＝﹣

x交于点C与轴于点D，∴点C的标为（03D坐标为（4∴0m＜4∵点的横坐标为，∴点的坐标为（，﹣m

+4+5的坐标为（m﹣

+3∴PE＝﹣m+4m+5（﹣∵﹣10＜＜，

m+3＝﹣m+m+2＝﹣（m）+

．∴当m

时，最长．（3由（2可知，点的坐标为（，以P、CD为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示①以PD为对角线，∵点的坐标为（点C的标为（03

，D坐标为（40∴点的坐标为（

+40

+03，②以为对角线，∵点的坐标为（点C的标为（03

，D的坐标为（40∴点的坐标为（

+04

+30，以CD对角线，∵点的坐标为（点C的标为（03

，的坐标为（40∴点的坐标为（，3+0，﹣综上所述：在）的情况下，存在QCD为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为（，，）或（，﹣【点评题考查了待定系数法求二次函数解析式次函数的性质次函数图象上点的坐标特征次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是标用待定系数法求出抛物线的解析式利用二次函数的性质解决最值问题为对角线PC为对角线CD为对角线三种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标．7如图，在矩形OABC中，＝5AB，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线叠，使点好落在边OA的点，分别以OC，OA在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1求OE和AD长；求过O、D三点的抛物线的解析式；若点N在（2中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M点NE顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析据翻折的性质，可与关系与关系，根据勾股定理的长，根据线段的和差，可得答案；根据勾股定理，可得m的值，可得D点坐标；根据待定系数法，可得答案；①以为对角线，根据对角线互相平分，可得的中点与的中点重合，根据中点坐标公式，可得的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；当EM对角线，根据对角线互相平分，可得的中点与EM中点重合，根据中点坐标公式，可得的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；当CE为对角线，根据对角线互相平分，可得的中点与MN的点重合，根据中点坐标公式，可得的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解∵CE＝，COAB4∴在RtCOE中，＝∵＝3

＝3222222222222∴AE＝532在Rt，设＝m则＝＝4m由勾股定理，得AD

+

＝DE

，即+2＝（4m，解得m，∴D（﹣，﹣∴AD．综上所述，＝3AD；（3∵C﹣，0﹣，﹣0∴设过OD、C三点的抛物线为＝（x+4∴﹣5﹣

a﹣

+4解得a，∴抛物线解析式为y

xx+4＝

x；（3∵抛物线的对称为直线＝﹣2∴设N﹣2n又由题意可知C﹣4，0，﹣3M（，y当为对角线，即四边形ECNM平行四边形时，如图，，则线段EN的中点横坐标为＝﹣1线段中点横坐标为，∵ENCM互相平分，∴＝﹣1解得m，又M在抛物线上，∴y×+

×216∴（216当EM对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，如图，，则线段EM中点，横坐标为，线段中横坐标为＝﹣322∵ENCM互相平分，∴＝﹣3解得＝﹣6又∵M在抛物线上，∴y×（﹣）

2

×（﹣）＝16∴（﹣616当为对角线，即四边形EMCN平行四边形时，如图，，m0﹣4（﹣2解得m﹣3当m﹣2时＝×（﹣2

2

×（﹣）＝﹣，即（﹣2﹣综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（216或（﹣616或（﹣，﹣【点评了二次函数综合题的性质得CE长是解题关键；利用勾股定理得出D点坐标是解题关键；利用平行四边形的对角线互相平分得出m值是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．8图物线＝+bx﹣3与交于A两A在B左侧10l抛物线交于C两点，其的横坐标．（1求抛物线的函数解析式；2222是线段上的一个动点，过点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段长度的最大值；点是抛物线上的动点，在上是否存在点F，使A，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．【分析利用待定系数法，直接求出抛物线的解析式即可；（2根据点在抛物线上，求出点C的标；根据待定系数法求出直线AC的解析式；设P的横坐标为（﹣1x2E坐标分别为（x﹣x1x值；

﹣2x3x的式子表示出的长度，求PE最大（3根据点G的不同