数轴与有理数

课程信息年级初一学科数学］版本北京实验版内容标题寒假专题-数轴与有理数编稿老师祁英【本讲教育信息】教学内容:寒假专题一一数轴与有理数（一）了解数轴上的点与有理数的关系；理解相反数、绝对值的几何意义（二）建立数轴上的某些点与有理数的一一对应关系，树立数形结合的思想意识（三）通过数轴上的某些点与有理数的一一对应关系，掌握一些特殊有理数的性质，弄清相反数与绝对值的性质与求法的几何意义；（四）能够利用数轴比较有理数的大小，解决一些有关相反数、绝对值的复杂问题。二、重点、难点：（一）重点1、树立数形结合的意识，能够利用数轴描述有理数的有关概念和运算；2、能够利用数轴进行有理数大小的比较；3、能够利用数轴解决有关相反数与绝对值的一些问题。（二）难点1、有理数运算法则的理解；2、利用相反数与绝对值的几何意义解题。课堂教学（一）知识要点1、利用数轴上的点表示有理数通过具有原点、正方向和单位长度的直线建立数轴，从而使所有有理数在数轴上都能找到它们的对应点，这样把有理数的一些问题直观形象化，达到快速、有效解决问题的目的。例如：有理数的分类，原点右侧的点表示有理数为正有理数，左侧的点表示的有理数为负有理数，通过数轴可直观反映出正、负有理数所在的范围。-3-2-1012345原点右边的点表示的数比0大，所以正数通常表示为a-0，类似的有负数表示为a.■非负数表示为a一0,非正数表示为a<0。再如，一些特殊的有理数可由数轴直接观察到。最小的正整数为1,最大的负整数为-1，没有最大或最小的有理数，最小的自然数为0等。如：大于-3且小于2的整数有：-2、-1、0、1。2、相反数与绝对值的几何定义引入数轴后，使抽象的数变成了具体的点，为我们的研究和应用带来了极大的方便。在数轴上原点的两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数（注：0的相反数为°），由此在数轴上可直接观察到-3的相反数为3；a的相反数为-瓦相反数为本身的数只有°。-5-4-3-2-1012一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a，观察可知5=5,0=0。正数的绝对值等于其本身，负数的绝对值为它的相反数。aa■总结得到：a=*0a=0-aay0可知：任何一个数的绝对值总是非负数，即la_°。绝对值为本身的数为非负数；绝对值最小的数是0。从数轴上观察可知，绝对值为一个正数的有两个，如a|=2，则a=±2。注意：从数轴上正负两个方向考虑。绝对值不小于5的整数有：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5；距离-3两个单位长度的点有两个：-1、-5。a二^有两种可能，即a=b或a二-b（即a、b互为相反数）。3、利用数轴比较有理数的大小由于数轴的某些点与有理数是一一对应关系，即所有的有理数都可以在数轴上找到一个点与之相对应，而数轴上的点表示的数，右边表示的数比左边的大，因此，可以直观准确地比较数的大小，女口02、-2-1、一-—±O233■■■■■■■■一M--MMM-2-1--012

2注意：进行数的比较时，可考虑这些数的对应点在数轴上的位置，再写出其大小关系。观察cb0a可知cb0a，c、b为负数，a为正数。数轴上表示有理数的点的位置决定了正数大于一切负数，负数都小于零。而两个负数比较，表示负数的点离原点越远则越靠左，因而越小。由此得到两个负数比较大小的法则：两个负数相比较，绝对值越大反而该数小。4、有理数的加减运算有理数的加减法运算结果可以通过数轴直接得到。-3+5可以理解为从表示-3的点向正方向移动5个单位长度，其结果为2o3-5可以理解为从表示3的点向负方向移动5个单位长度，其结果为-2。可以得知：a3一定比a大。【典型例题】例1.在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“>”连接起来。

分析：在画数轴时，原点、单位长度、正方向不能少；个单位的点。解：-1上是在原点左侧距离原点122—4-3-2-10112.5—1—0—-1—-14-1上是在原点左侧距离原点1222例2.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下式。c0ba求.c—a—a—b—c分析：由数轴观察可知c0ba,a、b为正数，c为负数则c-a为较小数减去较大数，结果为负数；而负数的绝对值为其相反数，因此有c-a=-(c-a)=-c+a；a-b为较大数减去较小数，结果为正数，而正数的绝对值等于其本身，于是有a-b=a—b；c为负数，因此有c=-co解.c—a—a-b-c--ca_(a_b)_(-c)例3.判断若aA|b，则aab()分析：a的绝对值大于b的绝对值，是指表示的a点比表示b的点距离原点远，但在数轴上可以看到，可以分别从正负两个方向取得到原点距离某一单位长度的点，若正负不能确定，不能得到a、b大小关系的结论。对于判断题还可以采用举反例的方法，即举出一个符合条件却不满足结论的例子，即可以判断其为错误。例如a=—7，b=—2，则a订匕，但是ayb；同时，若aab，也不能判断aAb。若a=—1，b=—2，aab，但是a~bo解：(x)例4.若aAb,aA°,bY°，把a、b、—a、—b按由小到大的顺序排列。分析：按照所给条件将在数轴上对应点的位置找出来，就可以比较大小了。利用数轴把抽象的字胃直观形象化是解决这类问题的好方法。解：由a'0,b0可知，a为正数，b为负数，a、b的对应点分别在原点的右边和左边；由aYb可知，表示a的点比表示b的点距离原点近，首先确定a、b的位置，而表示-a、-b的点分别与表示a、b的点到原点的距离相等，而在原点的另一侧，可以得到-a、-b的位置。可以得到表示的a、b、-a、-b点在数轴上的位因此由小到大的顺序排列为b<_a<a<「bo例5.如果a=3,b=4且ayb,求a、b的值。分析：a=3从正负两个方向考虑，a有两个可能，即a二3；同理，b=4。利用ab,即表示a的点在表示b的点的左侧。(可以标在数轴上观察)。baab——■—■—■—.—.—*—.〜■—■"-4-32T0~1~2"3"4解：》a=3b=4.a=3或-3,b=4或-4ab.a=-3,b=4或a=3,b=4例6.(1)X-4=0,那么X=x=x,那么x=x=—x,那么x=分析：(1)绝对值为0的数只有0,即x-4=0正数的绝对值为本身，但是零的绝对值为零，也可以说零的绝对值为本身；负数与零的绝对值都是其相反数；解：(1)x=4x是非负数x是非正数例7.已知-ba-ab则①ab-0②a-b0③-2a-0④-ab0错误的有分析：观察可以得知a0b,a为绝对值较小的负数，b为绝对值较大的正数，可分别画出表示-a>—b的点。则①a+ba0:②a—b可以看作a+(—b)为两个负数相加，a—b=a+(—b)y0；③a为负数，所以-'2a=-2a'0；q—a■b为两个正数相加，—ab'0o解：④小结：1、初步树立数形结合的思想意识2、理解相反数、绝对值的几何意义3、会利用数轴进行相反数绝对值有关问题的分析；利用相反数、绝对值几何定义解决问题，深入理解相反数、绝对值的性质；4、能够利用数轴比较有理数大小。【模拟试题】（答题时间：50分钟）「、填空1在数轴上表示-2—的点在表示-3—的点的2边,-2-比—3（填大小）。2、3、绝对值最小的数是，最大的负整数是_在数轴上，表示a的点A在表示b的点B的左边，B两点的距离可以表示8、数轴上距离原点3个单位长度的数是绝对值小于4的整数之积为如果a是非正数，则a=比较大小（1）-0但55⑶一610、a-0，则at（（填>或.yV)t〉二、选择正确的个数是（1、在下列关于0的说法中①0既不是正数也不是负数；②0是整数也是有理数；③0没有倒数；④0没有相反数D.4A.1B.2C.3正确的个数是（D.422、下列说法中正确的是（A.a表示正数C.任何数都有倒数3、如图）B.|a一定大于0D.a-3一定比a大下列各式正确的是A.-c'a'bB.b--c-aC.|c—b「-aD.b下列各式正确的是A.-c'a'b4、在数轴上有A、B两点对应的有理数A.aabA■比a0bB.a»bC.-aY—bD.b一a，下列不等式关A、B、C三点对应的有理数是a、b、^且有a=ca、b的大小关系中正确的是5、如图，在数轴上有系中错误的是（A.ab0B.ab—c7C.-bc■0>”号连接。2、一（一5>”号连接。2、一（一5）、2-5,1一1、0、「1—、<”号连接。四、已知有理数a、b、c,试比较a、-a、b、-b、c、-c的大小，并用〃abt)五、已知A、B如图所示，-1a01b<”号连接。茨学的三个条件是:爹观察.粤吃